河南省濮阳市第一高级中学2023届高三高考模拟质量检测理科数学试题

濮阳市一高2020级高三高考模拟质量检测

理科数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则中的元素个数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

2．在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，则等于（    ）

A． B． C． D．

3．平面向量与相互垂直，已知，，且与向量的夹角是钝角，则（    ）

A． B． C． D．

4．某高中高一学生从物化生政史地六科中选三科组合，其中选物化生组合的学生有600人，选物化地组合的学生有400人，选政史地组合的学生有250人，现从高一学生中选取25人作样本调研情况．为保证调研结果相对准确，下列判断错误的是（    ）

A．用分层抽样的方法抽取物化生组合的学生12人

B．用分层抽样的方法抽取政史地组合的学生5人

C．物化生组合学生小张被选中的概率比物化地组合学生小王被选中的概率大

D．政史地组合学生小刘被选中的概率为

5．是无穷等差数列，其前项和为，则“为递增数列”是“存在使得”的（    ）

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

6．焦点为的抛物线（）上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

7．将函数（）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，直线与曲线仅交于，，三点，为，的等差中项，则的最小值为（    ）

A．8 B．6 C．4 D．2

8．古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即（表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，表示平面图形的面积，表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）．如图直角梯形，已知，，，，则重心到的距离为（    ）

A． B． C．3 D．2

9．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

10．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的是（    ）

①当时，的周长为定值；

②当时，三棱锥的体积为定值；

③当时，有且仅有一个点，使得；

④若，则点的轨迹所围成的面积为．

A．①②  B．②③ C．②④ D．①③

11．已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，，则（    ）

A． B． C． D．2

12．函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若的展开式中常数项为160，则的最小值为______．

14．的内角、、的对边分别为、、，满足．若为锐角三角形，且，则当面积最大时，其内切圆面积为______．

15．已知点，，若圆上存在点满足，则实数的取值的范围是______．

16．若函数存在两个极值点，，且，则______．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

设是数列的前项和，，，（）．

（1）求的通项；

（2）设，求数列的前项和．

18．（本小题满分12分）

如图1，在梯形中，，于，且，将梯形沿折叠成如图2所示的几何体，，为直线上一点，且于，为线段的中点，连接，．

（1）证明：；

（2）若图1中，，求当四棱锥的体积最大时，平面与平面所成锐角的正弦值．

19．（本小题满分12分）

河南省作为全国最后一批启动高考综合改革的省份之一，从2023年秋季学期起启动实施高考综合改革，实行高考科目“”模式。“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分计入高考成绩：“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分计入高考成绩：“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为，，，，五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：

将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整．某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：

（1）同一组数据以该组区间的中点值作代表，求实数的值并估计本次考试的平均分；

（2）按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩等级的原始分区间；

（3）用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为90，试计算其等级分．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆：（）的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为2．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线、的斜率分别为、，且．

①求证：直线经过定点．

②设和的面积分别为、，求的最大值．

21．（本小题满分12分）

已知函数（）．

（1）若时，求函数的极值；

（2）若，设函数的较大的一个零点记为，求证：．

选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标第与参数方程]（本小题满分10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求的极坐标方程；

（2）已知射线和分别与交于点，（异于点），与极轴交于点（异于点），求四边形的面积．

23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知函数（），若的解集是．

（1）求的值；

（2）若正实数，，满足，求证：．

濮阳市一高2020级高三高考模拟质量检测

理科数学参考答案

一、BDDCA  BCABC  BB

二、13．4   14．   15．   16．

17．解：（1）∵，（）

∴，即，…①

若存在，（），则，类推得，矛盾，故，

将①式两边同除以，可得，

∴数列是首项为，公差为2的等差数列．

可得，所以，

所以，（），

当时不成立，所以；

（2），

∴．

18．（1）由已知得，，且，，平面，

所以平面，因为平面，所以，

在梯形中，，

因为为线段的中点，所以，故，

又因为，且，，平面，所以平面，

因为平面，所以．

（2）过点作于点，又因为平面，平面，所以，

又，，，平面，所以平面，

所以线段的长度为点到平面的距离．

设，则（），

则四棱锥的体积，

令，，

则时，，函数单调递增；

时，，函数单调递减，

所以，即当时，四棱锥的体积最大，此时，

以点为坐标原点，直线，分别为轴、轴，在平面内过点作与垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

则，，设平面的法向量，

则有，可取，

因为平面，所以即为平面的一个法向量，

则，故，

所以平面与平面所成锐角的正弦值为．

19．（1）由频率分布直方图可知，频率之和为1，得，解得，

估计本次考试的平均分为．

（2）根据等级所占的人数比例为15%，由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间的占比为5%，位于区间的占比为20%，所以最低原始分在之间，设最低原始分为，则，解得，所以估计此次考试化学成绩等级的原始分区间为．

（3）由题意可知，化学成绩的原始分为90分，落在等级中，则，，，，，代入公式后，解得，该学生的等级分为91分．

20．（1）解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值，

且最大值为，

由题意可得，解得，

所以，椭圆的标准方程为．

（2）解：①设点、．

若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意．

设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右焦点，则，

联立可得，

，可得，

由韦达定理可得，，则，

所以，

，解得，

即直线的方程为，故直线过定点

②由韦达定理可得，，

所以，

，

∵，则，

因为函数在上单调递增，故，

所以，，当且仅当时，等号成立，

因此，的最大值为．

21．（1）当时，，则，

当时，，则在为减函数；

当时，，则在为增函数；

所以的极小值为，无极大值．

（2）由，则，

因为且．

当时，，则在为减函数；

当时，，则在为增函数；

所以当时，，

又因为，所以，当，此时，

所以必然存在，使得，

即，所以，

要证明，即证明，

即证明，即只要证明，

设（），则，

所以当时，，则在上为减函数，所以．

即，即．

22．（1）解：因为（为参数），所以，即，

平方相加，可得，即，

又由，，可得，

所以的极坐标方程为．

（2）解：因为，，

又因为，所以，

因为是圆的直径，所以，

又因为，所以，

所以．

23．（1）∵，∴

作出函数的图像，

由的解集及函数图像得，得．

（2）由（1），从而．

，

当且仅当，，时，“＝”成立