2022-2023学年河北省石家庄市河北正中实验中学高二下学期开学考试数学试题含答案

2022-2023学年河北省石家庄市河北正中实验中学高二下学期开学考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据不等式的解法求集合，再根据集合的交集运算求解.

【详解】∵，

∴

故选：A.

2．已知复数在复平面上对应的点Z在第二象限，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由复数确定点的坐标，再根据第二象限坐标的特点，解关于的一元一次不等式组即可求出的范围.

【详解】复数在复平面上对应的点的坐标为，根据第二象限坐标的特点可得 即可得.

故选：D.

3．设x，，则“且”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】依据“且”与“”之间的逻辑关系进行推导即可解决.

【详解】由且，可得

当，时，满足，但不满足且

则“且”是“”的充分不必要条件

故选：A

4．如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，按规则有，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为（    ）

A．4 B．7 C．16 D．31

【答案】B

【分析】由题意，根据递推公式求数列中的某一项，可得答案.

【详解】由题意，，，，

解下第4个圆环，则，即，

而，则，

故选：B.

5．若圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据圆锥侧面积和体积公式求解即可.

【详解】设圆锥的高为，底面半径为，

则，解得.

所以.

则圆锥的体积.

故选：B

6．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用诱导公式和二倍角的余弦公式计算作答.

【详解】因，所以.

故选：A

7．如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合.该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式及离心率公式求出a，b即可作答.

【详解】双曲线的渐近线方程为：，设双曲线下焦点为，

则有，依题意，，离心率，解得，

所以该双曲线的标准方程为.

故选：D

8．已知等比数列各项均为正数，且满足：，，记，则使得的最小正数n为（    ）

A．36 B．35 C．34 D．33

【答案】B

【分析】先由已知条件判断出的取值范围，即可判断使得的最小正数n的数值.

【详解】由得：，.

，又，

，，

，则使得的最小正数n为35.

故选：B.

二、多选题

9．如图是国家统计局于2021年3月10日发布的2020年2月到2021年2月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图，其中同比是指本期与同期作对比，如2020年10月与2019年10月相比；环比是指本期与上期作对比，如2020年12月与2020年11月相比.下列关于“居民消费价格涨跌幅”图表的理解，正确的选项是（    ）

注：，

A．2020年10月，全国居民消费价格同比下降

B．2020年11月，全国居民消费价格环比下降

C．2020年2月至2021年2月，全国居民消费价格环比在2021年1月涨幅最高

D．2020年4月的全国居民消费价格高于2019年5月的全国居民消费价格

【答案】BCD

【分析】A选项，由于，故可判断2020年10月，全国居民消费价格同比上升；B选项，，故2020年11月全国居民消费价格环比下降；C选项，2020年2月至2021年2月，全国居民消费价格环比在2021年1月涨幅为1.0，最高，C正确；设2019年4月的全国居民消费价格为，表达出2020年4月的全国居民消费价格为，及2019年5月的全国居民消费价格，比较大小，从而作出判断.

【详解】从图中可以看出2020年10月，全国居民消费价格同比为，故全国居民消费价格同比上升，A错误；

2020年11月，全国居民消费价格环比为，故全国居民消费价格环比下降，B正确；

2020年2月至2021年2月，全国居民消费价格环比在2021年1月涨幅为1.0，最高，C正确；

设2019年4月的全国居民消费价格为，则2020年4月的全国居民消费价格为，则2020年5月的全国居民消费价格为，故2019年5月的全国居民消费价格为，而，故2020年4月的全国居民消费价格高于2019年5月的全国居民消费价格，D正确.

故选：BCD

10．已知向量，将绕原点O旋转﹣30°，30°，60°到的位置，则（    ）.

A． B．

C． D．点坐标为

【答案】ABC

【分析】根据向量的夹角判断A，再由全等三角形可判断B，根据向量的数量积的定义判断C，根据向量的模相等判断D.

【详解】因为绕原点O旋转﹣30°，30°，60°到，

所以与的夹角为，故，A选项正确；

由题意知，,所以，即，故B正确；

因为,,

所以由数量积的定义知，故C正确；

若点坐标为，则，故D不正确.

故选：ABC

11．曲线在点处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】由导数的几何意义求出切线方程，再根据平行直线间的距离公式可求出结果.

【详解】，，

所以曲线在点处的切线方程为，即，

设直线（），

依题意得，解得或，

所以直线的方程为或.

故选：AB

12．已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据动圆C与圆A和直线l都相切，分圆C与圆A相外切和圆C与圆A相内切，分别取到A的距离为d+1，d-1，且平行于l的直线，，利用抛物线的定义求解.

【详解】解：动圆C与圆A和直线l都相切，

当圆C与圆A相外切时，取到A的距离为d+1，且平行于l的直线，

则圆心C到A的距离等于圆心C到的距离，

由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线；

当圆C与圆A相内切时，取到A的距离为d-1，且平行于l的直线，

则圆心C到A的距离等于圆心C到的距离，

由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线；

所以，当时，抛物线不完整，

所以，，，，

故选：ABD

三、填空题

13．已知等比数列，其前n项和为．若，，则      ．

【答案】或

【分析】设等比数列的公比为，进而得，再解方程得或，进而得答案.

【详解】解：设等比数列的公比为，因为，，

所以，即，

所以，解得或，

所以当时，；

当时，

所以，或.

故答案为：或

14．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春宫·大师》，八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学计划从“金、石、匏、竹、丝5种课程中选2种作兴趣班课程进行学习，则恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的概率为      ．

【答案】/0.4

【分析】由列举法和古典概型的概率公式可求出结果.

【详解】从“金、石、匏、竹、丝5种课程中选2种作兴趣班课程进行学习，基本事件有：（金，石） ，（金，匏），（金，竹），（金，丝），（石，匏），（石，竹），（石，丝），（匏，竹），（匏，丝），（竹，丝），共10个，

其中恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的基本事件为：（金，匏），（金，竹），（石，匏），（石，竹），共4个，

故所求概率为.

故答案为：

15．已知椭圆的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且，若，则椭圆C的离心率是           .

【答案】

【分析】设右焦点为，连接，.判断出四边形为矩形.在中，解三角形求出，，利用椭圆的定义得到，即可求出离心率.

【详解】设右焦点为，连接，.

因为，即，可得四边形为矩形.

在中，，.

由椭圆的定义可得，所以，所以离心率.

故答案为：.

四、双空题

16．已知函数，若函数，则函数的图象的对称中心为      ；若数列为等差数列，，      ．

【答案】          44

【分析】根据题意计算的值，从而可求出其对称中心，由等差数列的性质结合，可得，再利用等差数的性质和的对称性可求出的值

【详解】因为，

所以

，

所以的图象的对称中心为，即为，

因为等差数列中，，

所以，得，

因为的图象的对称中心为，

所以， ，，，，

因为，

所以 ，

故答案为：，44

五、解答题

17．记的内角的对边分别为，且满足．的面积为S．

(1)求A；

(2)若，求a．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理边化角得，再根据两角和的正弦公式变形可求出结果；

（2）由面积公式求出，再由余弦定理求出即可.

【详解】（1）由及正弦定理得，

因为，，所以，

所以，即，

因为，所以，所以，即.

（2）由得，得，

由余弦定理得，

所以.

18．已知是数列的前项和，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用求得.

（2）利用裂项求和法求得.

【详解】（1）当时，由，得，

则.

当时，有，符合上式.

综上，.

（2）由（1）得，，

则

.

19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，.

(1)求B；

(2)若内角B的平分线交AC于点D，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先根据余弦定理求出，再利用余弦定理求出;

（2）先利用余弦定理及三角形内角关系求出,再利用正弦定理求出，结合面积公式可得答案.

【详解】（1）在中，由余弦定理得

，解得，.

由余弦定理得.

因为，所以.

（2）由（1）知，，，.

在中，.

由正弦定理得，所以，得.

所以的面积.

20．设各项非负的数列的前项和为，已知，且成等比数列.

(1)求的通项公式；

(2)若，数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用得出的递推关系，从而得数列从第2项起为等差数列，结合等比数列的性质可求得，这样可得通项公式，然后由已知式中令求得，比较后可得结论；

（2）用错位相减法求和．

【详解】（1）当时，，

当时，①，②.

①-②得，即，

∵，∴，

∴数列从第2项起是公差为1的等差数列.

∴，

又，，成等比数列，∴，即，

解得，∴，

∵，∴，适合上式，

∴数列的通项公式为.

（2），

∴数列的前项的和为

③

④

③-④得

，

∴.

21．如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD为矩形，，E为CD的中点，且△VBC为等边三角形．

(1)若VB⊥AE，求证：AE⊥VE；

(2)若二面角A－BC－V的大小为，求直线AV与平面VCD所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证明线面垂直，再证明线线垂直即可；

（2）建立空间直角坐标系，以向量的方法去求直线AV与平面VCD所成角的正弦值．

【详解】（1）因为E为CD的中点，所以，所以△ADE为等腰直角三角形，

所以．同理，．所以AE⊥BE．

又因为VB⊥AE，且，面VBE，面VBE，

所以AE⊥面VBE．

因为面VBE，所以AE⊥VE．

（2）取BC中点O，AD中点G、连接OG，VO，则OG⊥BC．

又△VBC为等边三角形，所以VO⊥BC，

所以∠GOV为二面角A－BC－V的平面角．所以

以，方向分别作为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系O－xyz．

于是A（1，－4，0），C（－1，0，0），D（－1，－4，0），，

，，．

令为平面VCD的一个法向量，

则，即，令z＝2，得．

设直线AV与平面VCD所成的角为，则

，

故直线AV与平面VCD所成角的正弦值为．

22．已知椭圆 ，直线l：与椭圆交于两点，且点位于第一象限.

(1)若点是椭圆的右顶点，当时，证明：直线和的斜率之积为定值；

(2)当直线过椭圆的右焦点时，轴上是否存在定点，使点到直线 的距离与点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)见解析；

(2)存在，.

【分析】(1) 联立直线方程和椭圆方程得，由韦达定理可得的关系，再由计算即可得证；

(2)由题意可得直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程得，由韦达定理之间的关系，假设存在满足题意的点，设，由题意可得.代入计算，如果有解，则存在，否则不存在.

【详解】（1）证明：因为，所以直线l：，

联立直线方程和椭圆方程： ，得，

设，

则有，

所以，

又因为，

所以，，

所以==

所以直线和的斜率之积为定值；

（2）解：假设存在满足题意的点，设，

因为椭圆的右焦点，所以,即有，

所以直线的方程为.

由，可得，

设，

则有；

因为点到直线的距离与点到直线的距离相等，

所以平分,

所以.

即==，

又因为，

所以，

代入，

即有，

解得.

故轴上存在定点，使得点到直线 的距离与点到直线的距离相等.