2022-2023学年河北省石家庄市正中实验中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省石家庄市正中实验中学高二（下）开学数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x3≤1}，B={x|x+1>0}，则A∩B=( )
A. −1,1B. 0,1C. −1,1D. 0,1
2.复数z=(a+2)−(a+3)i在复平面上对应的点Z在第二象限，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,−2)B. (−2,−3)C. (−2,+∞)D. (−∞,−3)
3.设x，y∈R，则“x<1且y<1”是“x+y<2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为an(n≤9,n∈N*)，已知a1=1，a2=1，按规则有an=an−1+2an−2+1(n≥3,n∈N*)，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为( )
A. 4B. 7C. 16D. 31
5.若圆锥的母线长为2 3，侧面展开图的面积为6π，则该圆锥的体积是( )
A. 3πB. 3πC. 3 3πD. 9π
6.已知sin(α+π4)=− 32，则sin2α的值为( )
A. − 32B. 32C. −12D. 12
7.如图，某建筑物是数学与建筑的完美结合，该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )
A. y23−x2=1B. y2−x23=1C. y29−x23=1D. y23−x29=1
8.已知等比数列{an}各项均为正数，且满足：01的最小正数n为( )
A. 36B. 35C. 34D. 33
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图是国家统计局于2021年3月10日发布的2020年2月到2021年2月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图，其中同比是指本期与同期作对比，如2020年10月与2019年10月相比；环比是指本期与上期作对比，如2020年12月与2020年11月相比．
注：同比增长率=本月价格水平−去年同月价格水平去年同月价格水平，环比增长率=本月价格水平−上月价格水平上月价格水平．
下列关于“居民消费价格涨跌幅”图表的理解，正确的选项是( )
A. 2020年10月，全国居民消费价格同比下降
B. 2020年11月，全国居民消费价格环比下降
C. 2020年2月至2021年2月，全国居民消费价格环比在2021年1月涨幅最高
D. 2020年4月的全国居民消费价格高于2019年5月的全国居民消费价格
10.已知向量OP=(1,2)，将OP绕原点O旋转−30°，30°，60°到OP1，OP2，OP3的位置，则( )
A. OP1⋅OP3=0B. |PP1|=|PP2|
C. OP⋅OP3=OP1⋅OP2D. 点P1坐标为( 3−12,1+2 32)
11.曲线y=e2xcs3x在点(0,1)处的切线与其平行直线l的距离为 5，则直线l的方程可能为( )
A. y=2x+6B. y=2x−4C. y=3x+1D. y=3x−4
12.已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为p1，p2，则( )
A. d>1B. p1+p2=2dC. p1p2=d2D. 1p1+1p2>2d
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等比数列{an}，其前n项和为Sn.若a2=4，S3=14，则a3=______．
14.中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼⋅春宫⋅大师》，八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.某同学计划从“金、石、匏、竹、丝5种课程中选2种作兴趣班课程进行学习，则恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的概率为______．
15.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且2|FO|=|AB|，若∠BAF=π6，则椭圆C的离心率是______．
16.已知函数f(x)=e−x−ex，若函数h(x)=f(x−4)+x，则函数h(x)的图象的对称中心为______；若数列{an}为等差数列，a1+a2+a3+⋯+a11=44，h(a1)+h(a2)+⋯+h(a11)=______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 2c=asinC+ccsA.△ABC的面积为S．
(1)求A；
(2)若S=6，b=3，求a．
18.(本小题12分)
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn=n2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{1an⋅an+1}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=5，c−b=1，csC=17．
(1)求角B的大小；
(2)若角B的平分线交AC于点D，求△ABD的面积．
20.(本小题12分)
设各项非负的数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=an+12−n(n∈N*)，且a2，a3，a5成等比数列．
(Ⅰ)求{an}的通项公式；
(Ⅱ)若bn=an+12an，数列{bn}的前n项和Tn．
21.(本小题12分)
如图，在四棱锥V−ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=2BC=4，E为CD的中点，且△VBC为等边三角形．
(1)若VB⊥AE，求证：AE⊥VE；
(2)若二面角A−BC−V的大小为30°，求直线AV与平面VCD所成角的正弦值．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x28+y24=1，直线l：y=kx+n(k>0)与椭圆C交于M，N两点，且点M位于第一象限．
(1)若点A是椭圆C的右顶点，当n=0时，证明：直线AM和AN的斜率之积为定值；
(2)当直线l过椭圆C的右焦点F时，x轴上是否存在定点P，使点F到直线NP的距离与点F到直线MP的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A={x|x3≤1}={x|x≤1}，B={x|x+1>0}={x|x>−1}，
则A∩B=(−1,1]．
故选：A．
先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由复数z=(a+2)−(a+3)i在复平面上对应的点Z在第二象限，
可得a+2<0−(a+3)>0，解得a<−3，
故实数a的取值范围为(−∞,−3)．
故选：D．
由复数z=(a+2)−(a+3)i在复平面上对应的点Z在第二象限，得到关于a的一元一次不等式组，再求出a的范围．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：①当x<1且y<1时，则x+y<2成立，∴充分性成立，
②当x=0，y=1.5时，满足x+y<2，但不满足x<1且y<1，∴必要性不成立，
∴x<1且y<1是x+y<2的充分不必要条件，
故选：A．
利用不等式的性质，充要条件的定义判定即可．
本题考查了不等式的性质，充要条件的判定，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由题意得a1=1，a2=1，an=an−1+2an−2+1(n≥3,n∈N*)，
由解下第4个圆环可得n=4，
又a3=a2+2a1+1=4，
则a4=a3+2a2+1=4+2+1=7，
故选：B．
题意即为求出a4，根据数列的递推关系an=an−1+2an−2+1(n≥3,n∈N*)和a1=1，a2=1，即可得出答案．
本题考查数列的应用及数列的递推关系，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，因为母线长为2 3，
所以侧面展开图的面积为πr×2 3=6π，
解得r= 3，
所以圆锥的高为h= (2 3)2−( 3)2=3，
所以圆锥的体积是V=13π×( 3)2×3=3π．
故选：B．
求出圆锥的底面圆半径，再求出圆锥的高和体积．
本题考查了圆锥的结构特征与侧面展开图的面积和体积的计算问题，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为sin(α+π4)=− 32，
所以 22sinα+ 22csα=− 32，
可得sinα+csα=− 62，
两边平方，可得1+2sinαcsα=1+sin2α=32，
所以sin2α=12．
故选：D．
利用两角和与差的三角函数化简已知条件，然后通过平方，结合二倍角公式求解即可．
本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，是基础题．
7.【答案】D
【解析】【分析】
求出双曲线的下焦点坐标和渐近线方程，再根据下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，求得a2，b2，即可得出答案．
本题主要考查双曲线方程的求解，圆锥曲线的实际应用等知识，属于中等题．
【解答】
解：双曲线的下焦点坐标为(0,−c)，
渐近线方程为y=±abx，即ax±by=0，
则下焦点到渐近线的距离为bc a2+b2=bcc=b=3，
又离心率e=ca= 1+b2a2=2，所以a2=3，
所以该双曲线的标准方程为y23−x29=1．
故选：D．
8.【答案】B
【解析】解：由a17a18+1∴a17<1a18>1或a17>1a18<1，
∵an>0，0∴0又∵a17a18+1<2，∴a17a18<1，
∴T33=(a1a33)332=(a17)2×332=a1733<1，T34=(a1a34)17=(a17a18)17<1，T35=(a1a35)352=(a182)352=a1835>1，
则使得Tn>1的最小正数n为35，
故选：B．
先由已知条件判断出a17，a18，a17a18的范围，即可判断出使得Tn>1的最小正数n的数值．
本题主要考查了等比数列的性质，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于选项A：从图中可以看出2020年10月，全国居民消费价格同比为0.5>0，故全国居民消费价格同比上升，A错误；
对于选项B：2020年11月，全国居民消费价格环比为−0.6<0，故全国居民消费价格环比下降，B正确；
对于选项C：2020年2月至2021年2月，全国居民消费价格环比在2021年1月涨幅为1.0，最高，C正确；
对于选项D：设2019年4月的全国居民消费价格为a，
则2020年4月的全国居民消费价格为(1+3.3%)a，则2020年5月的全国居民消费价格为(1−0.8%)(1+3.3%)a，
故2019年5月的全国居民消费价格为(1−0.8%)×(1+3.3%)a1+2.4%≈1.0007a，
而(1+3.3%)a>1.0007a，故2020年4月的全国居民消费价格高于2019年5月的全国居民消费价格，D正确
故选：BCD．
A选项，由于0.5>0，故可判断2020年10月，全国居民消费价格同比上升；B选项，−0.6<0，故2020年11月全国居民消费价格环比下降；C选项，2020年2月至2021年2月，全国居民消费价格环比在2021年1月涨幅为1.0，最高，C正确；设2019年4月的全国居民消费价格为a，表达出2020年4月的全国居民消费价格为(1+3.3%)a，及2019年5月的全国居民消费价格，比较大小，从而作出判断．
本题主要考查了统计图表的实际应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题．
10.【答案】ABC
【解析】解：由题意作图如右图，
∵OP1⊥OP3，∴OP1⋅OP3=0，
故选项A正确；
∵PP1与PP2所对的圆心角相等，
∴|PP1|=|PP2|，
故选项B正确；
∵OP⋅OP3=|OP||OP3|cs60°=52，
OP1⋅OP2=|OP1||OP2|cs60°=52，
∴选项C正确；
若点P1坐标为( 3−12,1+2 32)，
则|OP1|= ( 3−12)2+(1+2 32)2≠5，
故选项D错误；
故选：ABC．
由题意作图，结合图象分析即可．
本题考查了平面向量的运算及数形结合的思想方法应用，属于中档题．
11.【答案】AB
【解析】解：由y=e2xcs3x，得y′=2e2xcs3x−3e2xsin3x，
∴y′|x=0=2，则曲线y=e2xcs3x在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1，即2x−y+1=0．
∵直线l与切线平行，且两平行线间的距离为 5，
∴设直线l：2x−y+m=0，则|m−1| 5= 5，解得m=−4或m=6．
∴直线l的方程可能为y=2x+6或y=2x−4．
故选：AB．
求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数值，由直线方程的斜截式写出切线方程，再由两平行线间的距离公式求解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两平行线间距离公式的应用，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：由题意，设圆A的半径为1，圆C的半径为R，当圆C与圆A相外切时，如图所示，
则有点C到直线l的距离为R，|AC|=1+R，
把直线l向左平移1个单位得到直线l′，可得C到l′的距离与到A的距离相等，
故圆C的轨迹是以A为焦点，l′为准线的抛物线，所以p1=d+1，
同理p2=d−1，∴d−1>0，∴d>1，故A正确；
所以p1+p2=2d，故B正确；
p1p2=(d+1)(d−1)=d2−1，故C错误；
1p1+1p2=1d+1+1d−1=d+1+d−1d2−1=2dd2−1>2dd2=2d，故D正确；
故选：ABD．
由题意当圆C与圆A相外切时，如图所示，有p12=R，且2R+1=d，所以p1=d−1，同理得p2=d+1，可求得结论．
本题考查抛物线的性质，属中档题．
13.【答案】8或2
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，
由a2=4，S3=a1+a2+a3=14，得4q+4+4q=14，
整理得2q2−5q+2=0，解得q=2或q=12，
当q=2时，a3=a2q=4×2=8；当q=12时，a3=a2q=4×12=2．
故答案为：8或2．
设等比数列{an}的公比为q，由题意可得S3=a1+a2+a3=4q+4+4q=14，从而可求出q值，进一步利用a3=a2q即可求解．
本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
14.【答案】25
【解析】解：从金、石、匏、竹、丝5种课程中选2种作兴趣班课程进行学习，基本事件有：(金，石)，(金，匏)，(金，竹)，(金，丝)，(石，匏)，(石，竹)，(石，丝)，(匏，竹)，(匏，丝)，(竹，丝)，共10个，
其中恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的基本事件为：(金，匏)，(金，竹)，(石，匏)，(石，竹)，共4个，
故所求概率为410=25．
故答案为：25．
由列举法和古典概型的概率公式可求出结果．
本题考查古典概型的应用，属于基础题．
15.【答案】 3−1
【解析】解：因为直线AB过原点，由椭圆及直线的对称性可得|OA|=|OB|，
所以|AB|=2|OA|，
设右焦点F′，连接BF′，AF′，又因为2|OF|=|AB|=2c，可得四边形AFBF′为矩形，
即|FF′|=|AB|，且∠ABF=∠AF′F，
在Rt△AFF′中，|AF|=|FF′|sin∠AF′F=2c⋅sin∠AF′F，
|AF′|=|FF′|cs∠AF′F=2c⋅cs∠AF′F，
由椭圆的定义可得|AF|+|AF′|=2a，
所以2a=2c⋅(sin∠AF′F+cs∠AF′F)，
因为∠BAF=π6，故∠AF′F=π6，
所以离心率e=ca=112+ 32= 3−1．
故答案为： 3−1.
由椭圆的对称性，取椭圆的右焦点F′，由题意可得四边形AFBF′为矩形，求出|AF′|，|AF|用2c表示的代数式，由椭圆的定义可得2a与2c的关系，由∠BAF=π6，进而求出离心率．
本题考查椭圆的对称性，椭圆的简单性质的应用，三角函数的化简求值，属于中档题．
16.【答案】(4,4) 44
【解析】解：由f(x)=e−x−ex，得f(−x)=ex−e−x=−(e−x−ex)=−f(x)，
∴f(x)是奇函数，对称中心为(0,0)，
∴f(x−4)是将f(x)的图象向右平移4个单位长度得到，故其对称中心为(4,0)，
∵h(4+x)+h(4−x)=f(4+x−4)+4+x+f(4−x−4)+4−x=f(x)+f(−x)+8=8，
∴则函数h(x)的图象的对称中心为(4,4)．
∵数列{an}为等差数列，a1+a2+a3+⋯+a11=44，
∴11a6=44，∴a6=4，∴h(a6)=4，
∵函数h(x)的图象的对称中心为(4,4)，
∴h(a1)+h(a2)+⋯+h(a11)=11h(a6)=44．
故答案为：(4,4)；44．
先利用函数的奇偶性判断f(x)是奇函数，对称中心为(0,0)，即可得到函数h(x)的对称中心，再利用等差数列的性质和h(x)的对称性即可求解．
本题考查了函数的奇偶性，对称性的判断，等差数列的性质，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由 2c=asinC+ccsA及正弦定理得 2sinC=sinAsinC+sinCcsA，
因为00，
所以 2=sinA+csA，
所以 2sin(A+π4)= 2，
即sin(A+π4)=1，
因为0所以A+π4=π2，即A=π4；
(2)因为S=12bcsinA，即6=12×3c× 22，解得c=4 2，
由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccsA=9+32−2×3×4 2× 22=17，
所以a= 17．
【解析】(1)由正弦定理边化角得 2=sinA+csA，再根据两角和的正弦公式变形可求出结果；
(2)由面积公式S=12bcsinA求出c，再由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，求出a即可．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用及三角形的面积公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵Sn是数列{an}的前n项和，Sn=n2，①
∴S1=12=a1，
Sn−1=(n−1)2，②
①−②得：an=2n−1，(n≥2)，
a1=1也成立，
∴an=2n−1，
(2)∵1an⋅an+1=1(2n−1)⋅(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
∴数列{1an⋅an+1}的前n项和Tn=12(1−13+13−15++12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．
【解析】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，考查了推理能力与计算能力，属于中档题目．
(1)根据数列的递推关系，即可求解结论，
(2)直接裂项求和即可．
19.【答案】解：(1)由已知：c=b+1，在△ABC中，由余弦定理得
csC=a2+b2−b22ab=25+b2−(b+1)210b=17，解得b=7，c=8．
由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=25+64−492×5×8=12．
又因为B∈(0,π)，∴B=π3．
(2)由(1)知∠ABD=π6，csA=b2+c2−a22bc=49+64−252×7×8=1114，sinA=5 314．
在△ABD中，sin∠ADB=sin(A+π6)=sinAcsπ6+csAsinπ6=5 314× 32+1114×12=1314．
由正弦定理得ABsin∠ADB=ADsin∠ABD，∴81314=AD12，得AD=5613．
所以△ABD的面积S=12AD⋅ABsinA=12×5613×8×5 314=80 313．
【解析】(1)先利用余弦定理求出b，c的值，然后再用余弦定理求出B；
(2)先在三角形ABD中，利用余弦定理求出A，然后结合两角和与差的三角公式求出sin∠ABD，再利用正弦定理求出AD，最后利用面积公式求出面积．
本题考查正余弦定理的应用及面积公式，同时考查学生利用转化思想解决问题的意识以及学生的运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)当n=1时，2a1=a22−1，
当n≥2时，2Sn=an+12−n，①
2Sn−1=an2−(n−1)，②．
①−②得2an=an+12−an2−1，即an+12=an2+2an+1=(an+1)2，
∵an≥0，∴an+1=an+1，
∴数列{an}从第2项起是公差为1的等差数列，
∴an=a2+n−2(n≥2)
又a2，a3，a5成等比数列，∴a32=a2a5，
即(a2+1)2=a2(a2+3)，
解得a2=1，∴an=1+n−2=n−1(n≥2)，
∵2a1=a22−1，∴a1=0，适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an=n−1．
(Ⅱ)∵bn=n2n−1，
∴数列{bn}的前n项的和为：
Tn=120+221+322+⋯+n−12n−2+n2n−1，③
12Tn=121+222+323+⋯+n−12n−1+n2n，④
③−④得，
12Tn=1+12+122+⋯+12n−1−n2n
=1−(12)n1−12−n2n=2−12n−1−n2n=2−n+22n，
∴Tn=4−n+22n−1．
【解析】(Ⅰ)利用an=Sn−Sn−1(n≥2)得出{an}的递推关系，从而得数列从第2项起为等差数列，结合等比数列的性质可求得a2，这样可得通项公式an(n≥2)，然后由已知式中令n=1求得a1，比较后可得结论；
(Ⅱ)用错位相减法求和．
本题考查了数列的递推式和错位相减求和，属于中档题．
21.【答案】(1)证明：因为E为CD的中点，所以AD=DE=2，
所以△ADE为等腰直角三角形，所以∠AED=45°，
同理∠BEC=45°，所以AE⊥BE，
又因为VB⊥AE，且VB∩BE=B，VB⊂平面VBE，BE⊂平面BVE，
所以AE⊥平面VBE，又VE⊂平面VBE，所以AE⊥VE；
(2)解：取BC的中点O，AD的中点G，连接OG、VO，则OG⊥BC，
又△VBC为等边三角形，所以VO⊥BC，
所以∠GOV为二面角A−BC−V的平面角，所以∠GOV=30°，
以OB、GO方向分别作为x、y轴正方向，建立空间直角坐标系O−xyz，如图所示：

所以A(1,−4,0)，C(−1,0,0)，D(−1,−4,0)，V(0,−32, 32)，
DC=(0,4,0)，CV=(1,−32, 32)，AV=(−1,52, 32)，
设n=(x,y,z)为平面VCD的一个法向量，则n⋅DC=0n⋅CV=0，即4y=0x−32y+ 32z=0，
令z=2，得x=− 3，所以n=(− 3,0,2)，
设直线AV与平面VCD所成的角为α，
则sinα=|cs|=|AV⋅n||AV|×|n|= 3+0+ 3 1+254+34× 3+0+4= 4214，
所以直线AV与平面VCD所成角的正弦值为 4214．
【解析】(1)先证明AE⊥BE，再由VB⊥AE，证明AE⊥平面VBE，得出AE⊥VE；
(2)取BC的中点O，AD的中点G，得出∠GOV是二面角A−BC−V的平面角，以OB、GO方向分别作为x、y轴正方向，建立空间直角坐标系O−xyz，用坐标表示向量，求出平面VCD的一个法向量，再求直线AV与平面VCD所成角的正弦值．
本题考查了线面垂直的证明问题，也考查了线面角的正弦值计算问题，以及空间中线线、线面、面面间的位置关系和运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：(1)证明：设M(x1,y1)，则N(−x1,−y1)，
∵A(2 2,0)，∴kAM=y1x1−2 2，kAN=y1x1+2 2，
∵M(x1,y1)在椭圆上，∴x128+y124=1，
∴kAM⋅kAN=y1x1−2 2×y1x1+2 2=y12x12−8=4(1−x128)x12−8=−12，
所以直线AM和AN的斜率之积为定值．
(2)由椭圆C：x28+y24=1，可得右焦点F坐标(2,0)，
设过右焦点的直线l的方程为y=k(x−2)，P(m,0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由y=k(x−2)x28+y24=1，得(1+2k2)x2−8k2x+8k2−8=0，
由韦达定理可得：x1+x2=8k21+2k2，x1x2=8k2−81+2k2，
设x轴上存在定点P，使点F到直线NP的距离与点F到直线MP的距离相等，
则x轴是∠MPN的平分线，即kNP+kMP=0，
∴y1x1−m+y2x2−m=0，即k(x1−2)(x2−m)+k(x2−2)(x1−m)(x2−m)(x1−m)=0，
∴k2x1x2−m+2x1+x2+4m=0，
∴k2×8k2−81+2k2−8m+2k21+2k2+4m=0，
化简可得4m−4k1+2k2=0，该式对任意的k>0恒成立，所以m=4．
所以存在定点P(4,0)，使点F到直线NP的距离与点F到直线MP的距离相等．
【解析】本题主要考查椭圆中的定值、定点问题，直线与椭圆的位置关系，是较难题．
(1)首先写出直线的斜率表达式，然后结合点在椭圆上即可证得题中的结论；
(2)设过右焦点的直线l的方程为y=k(x−2)，P(m,0)，M(x1,y1)，则N(x2,y2)，组成方程组得x1+x2=8k21+2k2，x1x2=8k2−81+2k2，
由题意可得x轴是∠MPN的平分线，即kNP+kMP=0，化简可得定点P的坐标．