2022-2023学年河北省石家庄市第二中学高三下学期开学考试数学试题含答案

  2020级高三下学期开学考试数学试卷

（时间：120分钟，分值：150分）

一､单选题（共8题，每题5分，共40分.）

1.已知集合，则中元素的个数为（    ）

A.3    B.2    C.1    D.0
2.已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.已知的夹角为，则在上的投影向量为（    ）

A.    B.    C.    D.

4.已知函数的局部图象如图所示，则的解析式可能为（    ）

A.    B.

C.    D.

5.已知正四面体的内切球的表面积为，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，则所得截面的面积为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计3分，摸出白球计0分，记随机变量X表示摸球8次后的总分值，则（    ）

A.16    B.    C.    D.8
7.已知，则的大小关系为（    ）

A.    B.

C.    D.

8.已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，过点的直线与椭圆交于，且满足，设和的中点分别为，若四边形为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题（共4题，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分，共20分.）

9.投掷一枚质地均匀的骰子，事件A=“朝上一面点数为奇数”，事件B=“朝上一面点数不超过2"，则下列结论正确的为（    ）

A.事件互斥    B.事件相互独立

C.    D.

10.已知数列为等比数列，首项，公比，则下列结论正确的为（    ）

A.的最大项为    B.的最小项为

C.为递增数列    D.为递增数列

11.已知为圆锥底面圆的直径（为顶点，为圆心），点为圆上异于的动点，，则下列结论正确的为（    ）

A.圆锥的侧面积为

B.的取值范围为

C.若为线段上的动点，则

D.过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为

12.已知是的导函数，，则下列结论正确的为（    ）

A.与的图象关于直线对称

B.与有相同的最大值

C.将图象上所有的点向右平移个单位长度可得的图象

D.当时，与都在区间上单调递增

三、填空题（共4题，每题5分，共20分.）

13.的展开式中，的系数为__________.（用数字作答）

14.某省示范性高中安排5名教师去三所乡村中学支教，每所中学至少去1人，因工作需要，其中的教师甲不能去中学，则分配方案的种数为__________.

15.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，离心率为，动点在双曲线的右支上且不与右顶点重合，若恒成立，则双曲线的渐近线方程为__________.

16.已知，若过点的动直线与有三个不同交点，自左向右分别为，则线段的中点纵坐标的取值范围为__________.

四､解答题（共6题，17题10分，其余各题12分，共70分.）

17.（10分）在中，a､b，c分别是角A､B､C的对边，且.

（1）求角A的大小；

（2）若是方程的一个根，求的值.

18.（12分）某中药企业计划种植两种药材，通过大量考察研究得到如下统计数据.药材的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：

药材的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：

（1）若药材的单价（单位：元/公斤）与年份编号间具有线性相关关系；请求出关于的回归直线方程，并估计2024年药材A的单价；

（2）利用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量（同一组数据用中点值为代表）；

（3）若不考虑其他因素影响，为使收益最大，试判断2024年该药企应当种植药材A还是药材B？并说明理由.

参考公式：回归直线方程，其中.

19.（12分）已知数列的前项和满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

20.（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，是上的点.

（1）若平面，求的值：

（2）若是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.

21.（12分）设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，两点，点A在第二象限，当在上时，A与的横坐标和为.

（1）求抛物线的方程；

（2）过作斜率为的直线与轴交于点，与直线交于点（为坐标原点），求.

22.（12分）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.

数学参考答案

一､单选题

1.C    2.A    3.C    4.D    5.B    6.A    7.B    8.D

二､多选题

9.BD    10.ABC    11.AC    12.BC

三､填空题

13.30    14.100    15.    16.

四､解答题

17.（1）∵，

∴，即，

∴，

又∵三角形内角，

∴；

（2）等价于，解得或；

∵，∴，∴，

∴

.

18.（1）

，故回归直线方程为，

当时，，从而2024年药材A的单价预计为元/公斤.

（2）解：组距为20，自左向右各组的频率依次为

从而B药材的平均亩产量为

公斤

（3）解：预计2024年药材A每亩产值为元，

药材B每亩产值为元元，

所以药材A的每亩产值更高，应该种植药材A.

19.（1）当时，，即

当时，由，故，得.

易见不符合该式，故

（2）由，易知递增；

当时，.

从而.

又由，故，解得或

即实数的取值范围为或

20.（1）连接交于点，连接

由平面，平面平面，所以.

由题可知，故.

（2）令为中点，易知两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系令，

则

易知面的法向量为

由，

令面的法向量为，则

即，令，故，则

依题意，解得.

于是，设直线与平面所成角为，则

21.解：（1）设，，由题，，

由，则直线斜率为，

又，，则，从而有，所以，

从而抛物线的方程为.

（2）由题意直线斜率存在，设，

由得，

则，解得或，

又点在第二象限，所以，，.

设，由题，.

联立解得，

，

将，代入上式得

，即.

22.（1）解：函数的定义域为，且.

①当时，因为，则，此时函数的单调递减区间为；

②当时，由可得，由可得.

此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

综上所述，当时，函数的单调递减区间为；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）解：，

设，其中，则，

设，则，

当时，，，且等号不同时成立，则恒成立，

当时，，，则恒成立，则在上单调递增，

又因为，，

所以，存在使得，当时，；当时，.

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，

作出函数的图象如下图所示：

由（1）中函数的单调性可知，

①当时，在上单调递增，当时，，当时，，

所以，，此时，不合乎题意；

②当时，，且当时，，此时函数的值域为，即.

（i）当时，即当时，恒成立，合乎题意；

（ii）当时，即当时，取，结合图象可知，不合乎题意.

综上所述，实数的取值范围是.