2022-2023学年内蒙古呼和浩特市第二中学高二上学期期中数学（理））试题（含解析

这是一份2022-2023学年内蒙古呼和浩特市第二中学高二上学期期中数学（理））试题（含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年内蒙古呼和浩特市第二中学高二上学期期中数学（理））试题（ 一、单选题1．抛物线的焦点到准线的距离为（    ）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可.【详解】由，焦点到准线的距离是，故选：D.2．已知球的半径为2，球心到平面的距离为，则球被平面截得的截面面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据球的性质可求出截面圆的半径即可求解.【详解】设截面圆半径为，由球的性质可知：则截面圆的半径，所以球被平面截得的截面面积为，故选：.3．若双曲线的离心率为，则（    ）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】首先将双曲线化为标准式，即可表示出，，再根据及离心率为得到方程，解得即可；【详解】解：因为，所以，即，，所以，因为离心率为，即，解得故选：D4．过点与抛物线只有一个交点的直线有（　　）条.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先验证点在抛物线外，进而根据抛物线的图象和性质可得到答案．【详解】解：由题意可知点在抛物线外故过点且与抛物线只有一个公共点时只能是：①过点且与抛物线相切，此时有两条直线；②过点且平行对称轴轴，此时有一条直线；则过点与抛物线只有一个交点的直线有3条.故选：C．5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是 （       ）A． B． C． D．3【答案】B【分析】根据三视图作出三棱锥的直观图，计算四个侧面的面积进行比较即可得结果.【详解】解：作出三棱锥的直观图如图所示，过作，垂足为，连接，由三视图可知平面，，，，，，，，，，，，三棱锥的四个面中，侧面的面积最大为；故选：B.6．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线与左支相交于、两点．如果，那么（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的定义建立方程关系进行求解即可．【详解】解：如图，由双曲线的定义得：①，②，①②可得：，即，，，即.故选：C．7．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用线面平行判定定理可知B，C，D均不满足题意，A选项可证明出直线AB与平面MNQ不平行，从而可得答案.【详解】对于选项B，如图1，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CDMQ，由于ABCD，所以ABMQ，因为平面，平面，所以AB平面MNQ，B选项不满足题意；对于选项C，如图2，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CDMQ，由于ABCD，所以ABMQ，因为平面，平面，所以AB平面MNQ，C选项不满足题意；对于选项D，如图3，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CDNQ，由于ABCD，所以ABNQ，因为平面，平面，所以AB平面MNQ，可知D不满足题意；如图4，取BC的中点D，连接QD，因为Q是AC的中点，所以QDAB，由于QD与平面MNQ相交，故AB与平面MNQ不平行，A正确.故选：A8．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件求出圆锥的高，再利用圆锥体积公式计算即可得解.【详解】因为轴截面的顶角为，所以底角，在中，依题意，该圆形攒尖的底面圆半径，高，则()，所以该屋顶的体积约为.故选：B.9．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，为等腰三角形，且顶角为135°，则E的离心率为（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出点M的坐标，代入双曲线方程得关系，即可求出离心率.【详解】设双曲线方程为 ()，如图所示：因为为等腰三角形，且顶角为135°，所以，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在BMN中，则，故点M的坐标为，代入双曲线方程得，解得，即，即，解得，故选：D10．已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，，，且轴．若点是圆上的一个动点，则的取值范围是　　A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意及比例求得和点坐标，代入椭圆方程，求得和与的值，求得焦点坐标，设圆的参数方程，利用两点之间的距离公式及三角函数的最值即可求得的取值范围．【详解】解：因为，，且轴．则，，将，代入椭圆方程，解得，，所以椭圆方程，所以椭圆的焦点，，由在圆上，设，所以，又，所以的取值范围.故选：A． 二、多选题11．（多选）下列选项中，正确是（　　）A．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内任取两条直线，两直线平行B．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行C．如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行D．如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行【答案】BC【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可.【详解】解：对于A，如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面，故A不正确；对于B，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一平面平行，故B正确；对于C，如果一个平面内的一个锐角的两边分别平行于另一个平面内的一个角的两边，那么这两个平面平行，故C正确；对于D，如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或者相交，故D不正确.故选：BC.12．一个棱柱是正四棱柱的条件是（　　）A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形的直四棱柱，且对角线长度相等D．底面是正方形，每个侧面是全等矩形的四棱柱【答案】CD【分析】根据正四棱柱的概念以及结构特征一一判断各选项，即可判断出答案.【详解】对于A，底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱，当这两个侧面是相对的侧面，并且和底面不垂直时，棱柱是斜棱柱，不能保证是正四棱柱；对于B，底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱，当这两个侧面是相对的侧面，另外两个相对的侧面可能和底面不垂直，此时棱柱是斜棱柱，不能保证是正四棱柱；对于C, 底面是菱形，且对角线长度相等,则底面是正方形，又因为是直棱柱，故能保证棱柱是正四棱柱；对于D, 每个侧面是全等矩形的四棱柱，则相邻两个侧面的交线即侧棱垂直于底面，即棱柱为直棱柱，又底面为正方形，故能保证是正四棱柱，故选：CD13．双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于点、，点满足（其中为坐标原点），则（    ）A．双曲线的一条渐近线方程为 B．双曲线的离心率为C． D．的面积为6【答案】ABD【分析】由已知可得，再由得点为三角形的重心，从而有，得，再结合可求出的值，进而可求得渐近线方程、离心率、的面积【详解】如图：设双曲线的焦距为，与轴交于点，由题可知，则，由得点为三角形的重心，可得，即，，，，，解得.双曲线的渐近线方程为，，的坐标为，，故选：ABD.【点睛】此题考查双曲线的简单的几何性质的应用，考查圆的方程，考查数形结合的思想，属于中档题 三、填空题14．若双曲线经过点，且其渐近线方程为，则此双曲线的标准方程______．【答案】【分析】根据题意设双曲线的方程为()，将点代入曲线方程求出即可.【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为，设所求的双曲线的方程为().点为该双曲线上的点，.该双曲线的方程为：，即.故答案为：.15．已知椭圆，则以点为中点的弦所在直线方程为______.【答案】【解析】设，，求出，，再利用点差法求出直线斜率，进而可求直线方程.【详解】设，，则，，由，在椭圆上，可得，，两式相减可得，，直线方程为，即，故答案为：.【点睛】处理中点弦问题常用的两种方法：（1）点差法：设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有，，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率；（2）根与系数的关系：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.16．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，以F为圆心作圆与C交于A，B两点，与l交于D、E两点，若，则F到l的距离为________．【答案】2【分析】根据题意分析求出点A的坐标，代入抛物线的方程求，即可得出F到l的距离.【详解】设与x轴的交点分别为，则，即点，∴，解得或（舍去），故F到l的距离为2.故答案为：2. 四、双空题17．如图，一个正三棱锥的顶点是圆柱上底面的圆心，正三棱锥的底面是圆柱下底面的内接正三角形（这样的正三棱锥叫做圆柱的内接正三棱锥）.如果在这个圆柱体中挖去这个正三棱锥得到的几何体如图所示，按图中所给尺寸所得几何体的表面积为______，体积为______.【答案】          【分析】确定底面圆的半径，求出棱锥的底面三角形边长，根据组合体形状特征，结合圆柱和棱锥的体积以及表面积公式，即可求得答案.【详解】由题意得圆柱体的底面圆半径，高为6，正三棱锥的高为6，底面正三角形边长为，高为，故所得几何体的表面积即为圆柱的表面积加上棱锥的侧面积减去棱锥的底面积，即 ；所得几何体的体积为︰，故答案为：； 五、解答题18．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为，(为参数).（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线有不同的两个交点分别为，，求的值.【答案】（1）：，：；（2）.【分析】（1）由，可得曲线C的直角坐标方程；消去参数t可得直线l的直角坐标方程；（2）写出过点的直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，利用韦达定理结合，的几何意义可求得答案．【详解】（1）由，所以曲线C的直角坐标方程为，由（t为参数），消去t得直线l的直角坐标方程为.（2）由题意知，过点的直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C的直角坐标方程得，又，所以方程有两个不同的解，，又，，所以，，由，的几何意义可知，.【点睛】本题考查极坐标方程和参数方程与普通方程的互化，考查直线的参数方程的应用，属于中档题．.19．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为1，且是抛物线E上异于O的两点.(1)求抛物线E的标准方程；(2)若直线的斜率之积为，求证：直线恒过定点.【答案】(1).(2)证明见解析. 【分析】（1）根据题意利用抛物线焦半径公式求得p，可得答案；（2）讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，斜率存在时，设出直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，结合直线的斜率之积为进行化简可得的关系式，即可证明结论.【详解】（1）由题意得，，点P的横坐标为1，且，则，∴抛物线E的方程为；（2）证明：当直线的斜率不存在时，设，，因为直线的斜率之积为则，化简得．所以，此时直线的方程为．当直线的斜率存在时，设其方程为，，联立，化简得，需满足，根据根与系数的关系得，因为直线的斜率之积为，所以，即，即，解得（舍去）或，所以，即，满足，所以，即，综上所述，直线过定点．【点睛】方法点睛：解决直线过定点问题，一般方法是设出直线方程，联立圆锥曲线方程，可得根与系数关系式，要结合题设进行化简得到参数之间的关系式，再结合直线方程即可证明直线过定点问题.20．已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.【答案】（1） （2） 【详解】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，所以，. 又解得，所以椭圆的方程为.（2）解：设由题意可设直线的方程为：，联立消去得，当，所以，即或时.所以点到直线的距离所以，设，则，，当且仅当，即，解得时取等号，满足所以的面积最大时直线的方程为：或.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.