2022-2023学年新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州且末县第一中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州且末县第一中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角.

【详解】直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为，故选C.

【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.

2．双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由双曲线的方程知再由求得，即可求得双曲线的离心率.

【详解】由双曲线知，则，

则离心率.

故选：B

3．若数列－1，a，b，c，－9是等比数列，则实数b的值为（    ）

A．－5 B．－3 C．3 D．3或－3

【答案】B

【分析】根据等比数列的性质求解．

【详解】由题意，又数列的奇数项同号，即，所以．

故选：B．

4．已知，则等于（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，求得，令，即可求解.

【详解】由，可得，

令，可得，解得.

故选：A.

5．在等差数列中，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由等差中项的性质求出的值，再利用等差数列的基本性质可求得所求代数式的值.

【详解】在等差数列中，，可得，

所以，

.

故选：C.

6．已知函数在处有极小值，则实数m的值为（　　）

A．3 B．－1或－3 C．－1 D．－3

【答案】D

【分析】根据在处导数等于0可得m的值，然后讨论是否满足原函数在处有极小值即得.

【详解】由，可得

令，得，

由题知，或

当时，，当时，，时，，

∴在处有极大值，不满足题意；

当时，，当时，，时，

∴在处有极小值，所以.

故选：D.

7．设等比数列满足，，则（    ）

A．8 B． C．4 D．

【答案】B

【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.

【详解】解：设等比数列的公比为，，，

，，

解得：，.

则.

故选：.

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

8．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可知，对任意的，，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围.

【详解】因为，则，

因为函数在区间单调递增，

则对任意的，，即，

当时，，故.

因此，实数的取值范围是.

故选：C.

9．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据导数运算公式逐项求解即可.

【详解】，故A错误；

，故B错误；

，故C错误；

，故D正确.

故选：D.

二、多选题

10．已知，，则（    ）

A． B．

C． D．∥

【答案】AD

【分析】根据向量的坐标模长公式、线性运算、数量积的坐标表示、共线向量定理逐项判断即可.

【详解】对A，因为，所以，故A正确；

对B，，故B不正确；

对C，，所以不垂直，故C不正确；

对D，，所以∥，故D正确.

故选：AD.

11．数列满足，，则（    ）

A．数列是递减数列 B．

C．点()都在直线 D．数列的前项和的最大值为32

【答案】AC

【分析】根据数列的递推关系式，可判断数列的单调性及，可判断A；又可得数列为等差数列，求得等差数列通项公式，即可判断B,C；由等差数列的前项和公式结合二次函数的性质，即可求得的最大值，可判断D.

【详解】数列满足，，即，所以数列是递减数列，故A正确；

且数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以，则点()都在直线上，故B不正确，C正确；

数列的前项和，

又因为，所以时，，时，，则的最大值为，故D不正确.

故选：AC.

12．函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（    ）

A．函数在处取得最小值 B．是函数的极值点

C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零

【答案】ACD

【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．

【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，，

函数在上单调递减，在上单调递增，且故C正确；

易知函数在处取得最小值，故正确；

在上单调递增，故不是函数的极值点，故B不正确；

函数在处的导数大于0，切线的斜率大于零，故D正确.

故选：ACD．

三、填空题

13．经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是         

【答案】

【分析】联立方程组求得交点，根据题意求得所求直线的斜率为，结合点斜式方程，即可求解.

【详解】设两直线和的交点为，

联立方程组，解得，即两直线的交点为，

由直线的斜率为，可得所求直线的斜率为，

所以所求直线的方程为，即.

故答案为：.

14．等差数列的通项公式是，其前项和为，则数列的前项和为      .

【答案】

【分析】利用等差数列的求和公式求出的表达式，求出的表达式，再利用等差数列的求和公式可求得数列的前项和.

【详解】因为等差数列的通项公式是，

则，所以，，

因此，数列的前项和为.

故答案为：.

15．函数的图象在处的切线方程为           

【答案】

【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义即可求解作答.

【详解】函数，求导得：，则，而，

所以函数的图象在处的切线方程为.

故答案为：

16．，若，则         

【答案】/

【分析】求出，然后解方程，即可出的值.

【详解】因为，则，

则，解得.

故答案为：.

四、解答题

17．已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，且弦被点平分.

(1)求直线的方程；

(2)求弦的长度.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由点差法得出斜率，再写出方程；

（2）联立直线和抛物线方程，由韦达定理以及弦长公式求出弦的长度.

【详解】（1）设则，

由，可得

所以，得直线的方程为.

（2）联立方程，得，

得，所以

18．已知是各项均为正数的等比数列，.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】(1)本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果；

(2)本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．

【详解】(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，，

所以令数列的公比为，，，

所以，解得(舍去)或，

所以数列是首项为、公比为的等比数列，．

(2)因为，所以，，，

所以数列是首项为、公差为的等差数列，．

【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．

19．设函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若直线与函数的图象有一个交点，求的取值范围.

【答案】(1)减区间为，增区间为和

(2)

【分析】（1）求得，分别令和，即可求得函数的单调区间；

（2）由（1）求得函数的极大值和极小值，结合题意，即可求得实数的取值范围.

【详解】（1）解：由函数，可得，

令，可得；令得或，

所以的减区间为，增区间为和.

（2）解：由（1）知的减区间为，增区间为和，

所以的极大值为，函数的极小值为，

且当时，，当时，，

要使得直线与函数的图象有一个交点，

则满足或，即实数的取值范围为.

20．如图，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点．

(1)求与所成角的余弦值；

(2)求证：平面.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与所成角的余弦值；

（2）利用空间向量法证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立.

【详解】（1）解：在直三棱柱中，，，，

以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，，，

，

所以，与所成角的余弦值为.

（2）证明：由题意可得、、、，

则，，，

则，，所以，，，

因为，、平面，所以，平面.

21．已知等差数列满足，的前项和为

(1)求及；

(2)记，求．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得的值，等差数列的通项公式，结合等差数列的求和公式，即可求解；

（2）由（1）得到，结合裂项法求和，即可求解.

【详解】（1）解：设等差数列的公差为，

因为，可得，解得，

所以，

由等差数列的前项和公式，可得.

（2）解：由，可得，

所以.

22．已知，函数.

(1)若的图象在处的切线与直线平行，求的值.

(2)当时，求在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）求出，由导数的几何意义可得，结合可求得实数的值；

（2）当时，利用导数分析函数在上的单调性，即可求得函数在上的最小值和最大值.

【详解】（1）解：因为，则，

又因为直线的斜率为，

由题意可得，即，

又因为，解得.

（2）解：当时，，对任意的恒成立，

所以，函数在上单调递增，

故当时，函数的最小值为，最大值为.