2022-2023学年新疆维吾尔自治区和田地区策勒县高二上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年新疆维吾尔自治区和田地区策勒县高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．若A（1，2），B（3，5），C（5，m）三点共线，则m=

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【分析】根据两点间斜率公式，表示出kAB、kAC，由共线条件可知斜率相等，进而求得m的值．

【详解】kAB=，kAC=．

∵A（1，2），B（3，5），C（5，m）三点共线，

∴．解得m=8．

故选C．

【点睛】本题考查了利用两点求直线的斜率，属于基础题．

2．等差数列前项和为，，，则公差　　

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【解析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解公差．

【详解】解：因为，，

所以，

即，

解可得．

故选：．

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础题．

3．椭圆的长轴长为5，焦距为3，则它的短轴长等于

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据椭圆定义及a、b、c的关系，求得b，进而得到短轴长．

【详解】因为，，

所以，，所以，即，

所以该椭圆的短轴长为4．

故选D．

【点睛】本题考查了椭圆方程中a、b、c的关系，属于基础题．

4．若直线与直线平行，则实数a的值为（    ）

A．0 B．－1 C．1 D．－1或1

【答案】B

【分析】结合已知条件利用直线的平行关系求解即可.

【详解】因为直线与直线平行，

所以，解得，

当 时，易知两条直线重合，不符合题意；

当时，符合题意.

综上所述，实数a的值为.

故选：B.

5．过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线方程是（    ）

A． B． C． D．或

【答案】D

【分析】由于直线过点，所以直线在轴上的截距为，结合题意，即可求出直线在轴上的截距为1或，最后根据直线的截距式方程，即可求出直线方程.

【详解】解：由题可知，直线过点，所以直线在轴上的截距为，

又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在轴上的截距为1或，

则所求直线方程为或．

故选：D.

【点睛】本题考查直线的截距式方程的求法，属于基础题.

6．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意列出满足的等量关系式，求解即可.

【详解】因为在双曲线的一条渐近线上，

故可得；

因为抛物线的准线为，故，

又；解得，

故双曲线方程为：.

故选：D.

7．过双曲线的左焦点作圆的切线，此切线与的左支、右支分别交于，两点，则线段的中点到轴的距离为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】根据直线与圆的关系可得直线方程，然后联立双曲线方程，利用韦达定理法可得中点的纵坐标，即得.

【详解】由题可得，可设直线为，

由，可知圆心为，半径为，

所以，解得或，

当时，不与双曲线右支相交，故舍去，

所以直线方程为，

由，消元得，

所以，即中点的纵坐标为3，

所以线段的中点到轴的距离为3.

故选：B.

8．已知圆C：，点是圆上的动点，与圆相切，且，则点的轨迹方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】依题意可得，设，根据平面直角坐标系上两点的距离公式得到方程，即可得解；

【详解】解：因为圆C：，所以圆心，半径，因为点是圆上的动点，所以，又与圆相切，且，则，设，则，即，所以点的轨迹方程为；

故选：B

二、多选题

9．过点，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】设所求直线横、纵截距分别为，，分别讨论，，当且时，解方程组求出的值即可得所求直线的方程，进而可得正确选项.

【详解】设所求直线在，轴上的截距分别为，，

当时，过点的直线为即，

当且时，设直线的方程为，

则，可得或 ，

此时直线方程为或即或，

综上所述：所求直线的方程为：或或，

故选：ABC.

10．已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（    ）

A．的准线方程为

B．直线与相切

C．若，则的最小值为

D．若，则的周长的最小值为11

【答案】BCD

【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D.

【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误；

由，即，解得，所以直线与相切，故B正确；

设点，所以，

所以，故C正确；

如图过点作准线，交于点，，，

所以，

当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确；

故选：BCD

11．将一个椭圆绕其对称中心旋转，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据对偶椭圆的定义求出，再根据关系逐一判断即可.

【详解】由题意，根据对偶椭圆定义，在椭圆标准方程中，，则，

，，，，是对偶椭圆；

B，，，不满足，不是对偶椭圆；

C，，，满足，是对偶椭圆；

D，，，不满足，不是对偶椭圆．

故选：AC

12．已知圆上存在两个点到点的距离为，则m的可能的值为

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】根据题意，圆与圆相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.

【详解】由题知，圆与圆相交，

所以，，即，

解得，即的值可以为：或或.

故选：ACD.

【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题.

三、填空题

13．若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是        .

【答案】

【分析】根据题意用表示出等边三角形的边长和高，利用长度关系，构造出关于的等式，然后利用，得到关系，求出离心率.

【详解】由题意，等边的边为，高为，

所以

即

即

所以离心率

【点睛】本题考查椭圆中的几何关系，构造等式，求离心率，属于简单题.

14．已知等差数列的公差为3，若成等比数列，则    .

【答案】

【分析】由题意得,即=-12,即可得出结论.

【详解】解: 等差数列的公差为3，若成等比数列,

.

=-12,

=-9,

故答案为:-9.

【点睛】本题考查等差数列的通项,涉及等比中项的应用,属中档题.

15．在中，，，，平分交于点，则的面积为      ．

【答案】

【分析】根据三角形的面积公式及角平分线即可求解.

【详解】由题意得，

则，

所以．

故答案为：.

四、双空题

16．已知抛物线的焦点为，在抛物线上任取一点，则到直线的最短距离为          ，到轴的距离与到直线的距离之和的最小值为       .

【答案】         

【分析】先设点，再根据点到线的距离公式即可得得到直线的距离为，再结合和二次函数性质即可求得最小值为；由于到轴的距离等于，故到轴的距离与到直线的距离之和为：，再根据图象即可得最小值.

【详解】解：设点，则满足，

由点到直线的距离公式得到直线的距离为：

，

当且仅当，时等号成立；

根据抛物线的定义知，到轴的距离等于，

所以到轴的距离与到直线的距离之和为：

过点作直线的垂线，垂足为，

则.

如图，根据图象得：，

当且仅当三点共线时等号成立；

故到轴的距离与到直线的距离之和的最小值为：.

故答案为：；

【点睛】本题考查抛物线上的点到直线的距离的最值与抛物线的概念，考查化归转化思想和运算能力，是中档题.

五、解答题

17．已知数列是公差不为零的等差数列，且，又成等比数列

（I）求数列的通项公式；

（II）设为数列的前项和，求使成立的所有的值.

【答案】（I）；（II）或

【分析】（I）由可得关于的方程，解方程求得，根据等差数列通项公式求得结果；（II）根据等差数列求和公式求得，利用得到关于的方程，解方程求得结果.

【详解】（I）成等比数列    

设等差数列的公差为，则

即：，整理得：

（II）由题意得：

解得：或

【点睛】本题考查等差数列通项公式、前项和公式的应用，关键是能够根据已知中的等比关系求得等差数列的基本量，从而利用公式求得通项，并得到前项和，考查学生对于基础公式的应用.

18．已知直线l：y=x+m，m∈R.若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程.

【答案】

【分析】根据圆M与直线L相切，求出P的坐标，然后根据两点间距离公式求出圆的半径，进而求得圆的方程.

【详解】解：依题意，点P的坐标为（0，m），因为，所以，

解得m=2，即点P的坐标为（0，2）

从而圆的半径

故所求圆的方程为.

【点睛】本题主要考查圆与圆的方程，由圆M与直线L相切，求出P的坐标是解题的关键，注意运算准确.

19．已知点，直线，圆.

(1)若连接点与圆心的直线与直线垂直，求实数的值；

(2)若直线与圆相交于两点，且弦的长为，求实数的值．

【答案】(1)3

(2)实数的值为和

【分析】（1）由直线垂直，斜率乘积为可得值；

（2）求出加以到直线的距离，由勾股定理求弦长，从而可得参数值．

【详解】（1）圆，，，，

，　，

（2）圆半径为，设圆心到直线的距离为，

则

又由点到直线距离公式得：　

化简得：，解得：或

所以实数的值为和.

20．已知△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(－2，6)，C(－8，0)．

(1)求边AC和AB所在直线的方程；

(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；

(3)求AC边上的中垂线的方程．

【答案】(1)直线：，直线：

(2)2x－y＋10＝0

(3)2x＋y＋6＝0

【分析】（1）由截距式写出直线方程并整理，求出斜率，用斜截式写出方程后整理；

（2）求出中点的坐标，由两点式得直线方程并整理；

（3）再求出直线的斜率，得中垂线斜率，写出点斜式方程并整理．

【详解】（1）解：由已知直线方程为，即，

，直线方程为，即；

（2）由已知，，即，

所以中线方程为，整理得；

（3），所以边中垂线斜率为，

中垂线方程为，即．

21．过点P(-4,0)的动直线l与抛物线相交于D、E两点，已知当l的斜率为时，.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设的中垂线在轴上的截距为,求的取值范围.

【答案】；

【解析】根据题意,求出直线方程并与抛物线方程联立,利用韦达定理,结合,即可求出抛物线C的方程；

设，的中点为，把直线l方程与抛物线方程联立,利用判别式求出的取值范围,利用韦达定理求出,进而求出的中垂线方程,即可求得在轴上的截距的表达式,然后根据的取值范围求解即可.

【详解】由题意可知,直线l的方程为,

与抛物线方程方程联立可得,

,

设,由韦达定理可得,

,

因为,,

所以,解得,

所以抛物线C的方程为;

设,的中点为,

由,消去可得,

所以判别式,解得或,

由韦达定理可得,,

所以的中垂线方程为,

令则,

因为或,所以即为所求.

【点睛】本题考查抛物线的标准方程和直线与抛物线的位置关系,考查向量知识的运用;考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力;属于中档题.

22．已知椭圆的焦点在轴上，右焦点为，且经过点且与x轴垂直的直线交椭圆于点，左顶点为.

(1)求椭圆的离心率和的面积；

(2)已知直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，判断直线是否过定点？若是，求出该定点：若不是，请说明理由．

【答案】(1)，

(2)存在直线是否过定点，定点

【分析】（1）由题意得到，又由椭圆经过点，求得的值，得出椭圆的方程，结合离心率的定义求得离心率，进而求得的面积；

（2）联立方程组，求得，设点，得出的方程，令，化简得到，根据，求得，即可得到答案.

【详解】（1）解：由题意，经过右焦点且与x轴垂直的直线交椭圆于点，

可得，则，可得椭圆

则，解得，即椭圆，

所以椭圆的离心率为，

又由左顶点为，右焦点为，所以，

所以的面积为.

（2）解：设过点作直线的垂线的方程为，

由点，，可得直线的方程为，

当时，直线的方程为，交轴于点，

当时，直线的方程为，

此时交轴于点，

若直线经过轴上的定点，则，解得，直线交轴于点，

下面证明存在实数，使得直线经过轴上定点，

联立方程组，整理得，

设，则，

设点，所以的方程为，

令，可得，

因为，所以，

所以直线经过定点，

综上可得，存在实数，使得直线经过轴上定点.