2022-2023学年陕西省渭南市蒲城中学高二（下）期中数学试卷（理科）（含解析）

这是一份2022-2023学年陕西省渭南市蒲城中学高二（下）期中数学试卷（理科）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年陕西省渭南市蒲城中学高二（下）期中数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知i为虚数单位，复数z满足i⋅z+2=z−2i，则|z|=(    )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
2. 函数f(x)=x2+cosx的导数f′(x)为(    )
A. x−sinx B. 2x−sinx C. x+sinx D. 2x+sinx
3. −11(sinx+ 1−x2)dx=(    )
A. π B. π2+2sin2 C. π+2sin2 D. π2
4. 设z=1+2i，则z−的虚部是(    )
A. 2 B. 1 C. −2 D. −2i
5. 在复平面内，若复数z对应的点为(−1,1)，则z(1+i)=(    )
A. 2 B. 2i C. −2i D. −2
6. 设集合A={(x,y)||x|+|y|≤2}，B={(x,y)∈A|y≤x2}，从集合A中随机地取出一个元素P(x,y)，则P(x,y)∈B的概率是(    )
A. 112 B. 1724 C. 23 D. 56
7. f0(x)=cosx，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…，fn+1(x)=fn′(x)，n∈N，则f2007(x)为(    )
A. sinx B. −sinx C. cosx D. −cosx
8. i为虚数单位，复数(1−i)(3+i)=(    )
A. 3−i B. 4−2i C. 2 D. 4+2i
9. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，则“y=f′(x)在(0,2)上有两个零点”是“f(x)在(0,2)上有两个极值点”的(    )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 观察九宫格中的图形规律，在空格内画上合适的图形应为(    )
A.
B.
C.
D.
11. 已知函数f(x)=ax−ex，g(x)=x2−2x−1，若对任意x1∈[12,2]，都存在x2∈[12,2]满足f(x1)−g(x2)≥1，则实数a的取值范围是(    )
A. [2e2,+∞) B. [2e2−2,+∞) C. [ e2,+∞) D. (−∞,1]
12. 设定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)+f′(x)>2，f(0)=2021，则不等式f(x)>2+2019ex(其中e为自然对数的底数)的解集为(    )
A. (2018,+∞) B. (0,+∞)
C. (2020,+∞) D. (−∞,0)∪(2018,+∞)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数y=x−x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于______．
14. 复数z满足z(1+i)=1−i，|z|=______．
15. 已知函数f(x)=1x，则Δx→0limf(2+Δx)−f(2)Δx= ______ ．
16. 曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为          ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
(1)在复平面内，若OA、OB对应的复数分别为7+i、3−2i，求|AB|；
(2)复数z满足(1+2i)z−=4+3i，求z；
(3)已知m∈R，复数z=m(m−2)m−1+(m2+2m−3)i，当m为何值时，
①z∈R；②z是纯虚数．
18. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=x3−ax−1为增函数，求实数a的取值范围．
19. (本小题12.0分)
设函数f(x)=ax3+bx+1在x=1处取得极值−1．
(1)求a、b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
20. (本小题12.0分)
已知复数z=(2+i)m2−3m(1+i)−2(1−i).当实数m取什么值时，复数z是：
(1)虚数；
(2)纯虚数．
21. (本小题12.0分)
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y=ax−5+10(x−8)2，其中5 (Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)若该商品的成本为5元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=xlnx．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)k为正常数，设g(x)=f(x)+f(k−x)，求函数g(x)的最小值；
(3)若a>0，b>0证明：f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)−f(b)
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：∵i⋅z+2=z−2i，
∴z=2+2i1−i=2i，∴|z|=2．
故选：C．
根据复数的基本运算进行化简，然后求出z的模．
本题考查了复数的运算和复数的模，属基础题．

2.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了导数的运算法则和求导公式，属于基础题．
根据导数的运算法则和求导公式计算即可．
【解答】
解：函数f(x)=x2+cosx的导数f′(x)=2x−sinx，
故选B．  
3.【答案】D 
【解析】解：由于y=sinx为奇函数，y= 1−x2表示的是以原点为圆心，以1为半径的圆的上半部分，
又积分区间关于原点对称，所以原式=0+−11 1−x2dx=π2．
故选：D．
利用函数的奇偶性结合定积分的几何意义进行计算．
本题主要考查定积分的几何意义，属中档题．

4.【答案】C 
【解析】解：∵z=1+2i，
∴z−=1−2i，
则z−的虚部是−2，
故选：C．
根据共轭复数以及虚部的定义求出z−的虚部即可．
本题考查了共轭复数以及虚部的定义，是基础题．

5.【答案】D 
【解析】解：∵复数z对应的点为(−1,1)，
∴z=−1+i，
∴z(1+i)=(−1+i)(1+i)=−(1−i)(1+i)=−2．
故选：D．
根据已知条件，先求出z，再结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

6.【答案】B 
【解析】解：集合A是一个正方形区域的内部及边界，4个顶点是(0,2)(0,−2)(2,0)(−2,0)，集合B是抛物线y=x2下方的区域
由y=x2x+y−2=0，可求得两图象在第一象限的交点坐标为(1,1)
∵抛物线y=x2下方的区域的面积，根据对称性，可得面积为4+ 201x2dx+2×12×1×1=5+2×13x3 |01=173，

正方形的面积为4×42=8，
∴P(x,y)∈B的概率是1738=1724
故选B．
集合A是一个正方形区域的内部及边界，4个顶点是(0,2)(0,−2)(2,0)(−2,0)，集合B是抛物线y=x2下方的区域，分别求出面积，即可求出P(x,y)∈B的概率．
本题考查几何概型，考查学生分析解决问题的能力，其中确定抛物线y=x2下方的区域的面积是关键．

7.【答案】A 
【解析】解：∵f0(x)=cosx，f1(x)=f0′(x)=−sinx，f2(x)=f1′(x)=−cosx，f3(x)=f2′(x)=sinx，f4(x)=f3′(x)=cosx，…，
∴fn+4(x)=fn(x)，
∴fn(x)的下标是以4为周期的函数，∴f2007(x)=f2004+3(x)=f3(x)=sinx．
故选：A．
根据题意求得f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)，…从中找出规律(周期)，从而使问题解决．
本题考查导数的运算与函数的周期性，得到fn+4(x)=fn(x)是关键，属于中档题．

8.【答案】B 
【解析】解：(1−i)(3+i)=3+1−2i=4−2i．
故选：B．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

9.【答案】D 
【解析】解：只有当f′(x)在(0,2)上有两个变号零点时，f(x)在(0,2)上才有两个极值点，故充分性不成立；
若f(x)在(0,2)上有两个极值点，则f′(x)在(0,2)上有两个变号零点，则f′(x)在(0,2)上至少有两个零点，故必要性不成立．
综上，“f′(x)在(0,2)上有两个零点”是“f(x)在(0,2)上有两个极值点”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
结合充分、必要条件定义及极值点的概念即可可判断．
本题以充分必要性的判断为载体，主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于基础题．

10.【答案】B 
【解析】解：观察已知的8个图象，
每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，
根据这些规律观察四个答案，
发现B符合要求．
故选：B．
本题考查的归纳推理，要根据九宫格中的图形变化规律，探究变化趋势，并进行猜测，根据猜想的结论，进行判断．因为图中8个图形中，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，所以不难根据些规律选择正确的答案．
本题主要考查了归纳推理，它的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．

11.【答案】B 
【解析】解：令h(x)=g(x)+1=x2−2x=(x−1)2−1，x∈[12,2]，
所以h(x)min=h(1)=−1，即ax−ex≥−1在x∈[12,2]上恒成立，
故a≥−x+xex在x∈[12,2]上恒成立，
令φ(x)=xex−x，则φ′(x)=(x+1)ex−1，
令t(x)=(x+1)ex−1，x∈[12,2]，则t′(x)=(x+2)ex>0，
即函数t(x)在[12,2]上单调递增，故φ′(x)=t(x)≥t(12)=3 e2−1>0，
即函数φ(x)在[12,2]上单调递增，故φ(x)max=φ(2)=2e2−2，
所以a≥2e2−2，
故选：B．
令h(x)=g(x)+1，将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，结合导数得出实数a的取值范围．
本题主要考查等价转化的数学思想，利用导数研究函数的单调性和函数最值的方法等知识，属于中等题．

12.【答案】B 
【解析】解：设g(x)=exf(x)−2ex，则g′(x)=exf(x)+exf′(x)−2ex=ex[f(x)+f′(x)−2]，
∵f(x)+f′(x)>2，∴f(x)+f′(x)−2>0，
又∵ex>0，
∴g′(x)=ex[f(x)+f′(x)−2]>0，
∴g(x)在R上单调递增，
又∵g(0)=f(0)−2=2019，
∴g(x)>2019的解集为(0,+∞)，
即不等式exf(x)>2ex+2019的解集为(0,+∞)，
故选：B．
构造函数g(x)=exf(x)−2ex，利用函数g(x)的导数判断函数g(x)的单调性，再利用函数g(x)的单调性解不等式即可．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了构造函数的数学思想，属于中档题．

13.【答案】16 
【解析】解：由方程组y=0y=x−x2，解得，x1=0，x2=1．
故所求图形的面积为S=01(x−x2)dx
=(12x2−13x3)|01=16．
故答案为：16．
本题考查的知识点是定积分的几何意义，首先我们要联立两个曲线的方程，判断他们的交点，以确定积分公式中x的取值范围，再根据定积分的几何意义，所求图形的面积为S=01(x−x2)dx，计算后即得答案．
在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分．

14.【答案】1 
【解析】解：∵z(1+i)=1−i，
∴z=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−i，
∴|z|=1，
故答案为：1．
根据复数的基本运算法则进行化简，再利用复数模长即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，复数模长的计算，比较基础．

15.【答案】−14 
【解析】解：Δx→0limf(2+Δx)−f(2)Δx=f′(2)，
f(x)=1x，
则f′(x)=−1x2，
故f′(2)=−14．
故答案为：−14．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．

16.【答案】y=2x 
【解析】
【分析】
本题考查导数的几何意义，求切线的方程，属于基础题．
求得函数y=lnx+x+1的导数，设切点为(m,n)，可得切线的斜率，解方程可得切点，进而得到所求切线的方程．
【解答】
解：y=lnx+x+1的导数为y′=1x+1，
设切点为(m,n)，可得k=1+1m=2，
解得m=1，即有切点(1,2)，
则切线的方程为y−2=2(x−1)，即y=2x．
故答案为：y=2x．
  
17.【答案】解：(1)∵OA，OB对应的复数分别为7+i、3−2i，
∴OA=(7,1)，OB=(3,−2)，∴AB=OB−OA=(−4,−3)，
|AB|= (−4)2+(−3)2=5；
(2)∵(1+2i)z−=4+3i，
∴(1−2i)(1+2i)z−=(1−2i)(4+3i)，
∴5z−=10−5i，∴z−=2−i，∴z=2+i；
(3)①∵z∈R，∴m2+2m−3=0m−1≠0，解得m=−3；
②∵z是纯虚数，∴m(m−2)m−1=0m2+2m−3≠0，解得m=0或m=2． 
【解析】(1)根据复数的几何意义即可求解；(2)根据复数的运算法则和共轭复数的概念即可求解；(3)根据复数的概念即可求解．
本题考查复数的概念和复数的运算，属于基础题．

18.【答案】解：∵函数f(x)=x3−ax−1为增函数，
∴f′(x)=3x2−a≥0恒成立，
∴a≤0，
即实数a的取值范围是：(−∞,0]． 
【解析】求出导函数，转化为导函数大于大于0恒成立即可．
本题主要考查了导数在研究函数中的运用，属于中档题．

19.【答案】解：(1)f′(x)=3ax2+b，
因为f(x)=ax3+bx+1在x=1处取得极值−1，
所以f(1)=−1，且f′(1)=0，
所以a+b+1=−1且3a+b=0，
解得a=1，b=−3．
(2)由(1)知f(x)=x3−3x+1，
f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)，
所以在(−∞,−1)，(1,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(−1,1)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
综上所述，f(x)单调递增区间为(−∞,−1)，(1,+∞)，单调递减区间为(−1,1)． 
【解析】(1)根据题意可得f(1)=−1，且f′(1)=0，解得a，b．
(2)由(1)知f(x)=x3−3x+1，求导得f′(x)，令f′(x)>0，f′(x)<0，即可解得f(x)单调区间．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．

20.【答案】解：(1)z=(2+i)m2−3m(1+i)−2(1−i)=2m2−3m−2+(m2−3m+2)i，
当复数z为虚数时，m2−3m+2≠0，m≠1且m≠2，
故当实数m≠1且m≠2时，复数z为虚数．
(2)当复数z为纯虚数时，2m2−3m−2=0m2−3m+2≠0，解得m=−12，
故当m=−12时，复数z为纯虚数． 
【解析】(1)根据复数z是虚数，列出方程，解方程即可得解；
(2)根据复数z是纯虚数，列出方程，解方程即可得出答案．
本题主要考查纯虚数、虚数的定义，属于基础题．

21.【答案】解：(Ⅰ)因为x=7时，y=11，
所以a2+10=11，a=2.…………(3分)
(Ⅱ)由(1)知，该商品每日的销售量y=2x−5+10(x−8)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x−5)[2x−5+10(x−8)2]=2+10(x−5)(x−8)2(5 f′(x)=10[(x−8)2+2(x−5)(x−8)]=30(x−6)(x−8)………(8分)
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(5,6)
6
(6,8)
f′(x)
+
0
−
f(x)
单调增
极大值
单调减
…………(10分)
由上表可得，x=6是函数f(x)在区间(5,8)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x=6时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42．
所以，当销售价格为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．…………(12分) 
【解析】(Ⅰ)代入x=7，y=11，解方程可得a的值；
(Ⅱ)求得f(x)的解析式，以及导数，得到单调区间、极值和最值，即可得到所求．
本题考查函数的解析式的求法，考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．

22.【答案】解：(1)f′(x)=ln x+1，f′(x)>0，得x>1e；
f′(x)<0，得0 ∴f(x)的单调递增区间是(1e,+∞)，单调递减区间是(0,1e).…(3分)
(2)∵g(x)=f(x)+f(k−x)=x ln x+(k−x)ln(k−x)，定义域是(0,k)
∴g′(x)=ln x+1−[ln (k−x)+1]=lnxk−x                               …(5分)
由g′(x>0，得k2 ∴函数g(x)在(0,k2) 上单调递减；在(k2,k)上单调递增，…(7分)
故函数g(x)的最小值是：ymin=g(k2)=klnk2.…(8分)
(3)∵a>0，b>0∴在(2)中取x=2aa+b，k=2，
可得f(2aa+b)+f(2−2aa+b)≥2ln1 f(2aa+b)+f(2ba+b)≥0
⇒2aa+bln2aa+b+2ba+bln2ba+b≥0
⇒alna+blnb+(a+b)ln2−(a+b)ln(a+b)≥0
⇒f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)−f(b)                                   …(12分) 
【解析】(1)先对函数y=f(x)进行求导，然后令导函数大于0(或小于0)求出x的范围，根据f′(x)>0求得的区间是单调增区间，f′(x)<0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
(2)构造函数g(x)=f(x)+f(k−x)，(k>0)，利用导函数判断出g(x)的单调性，进一步求出g(x)的最小值为g(k2)整理可得证．
(3)先研究f(x)在区间[−e2,−e−1]上的单调性，再利用导数求解f(x)在区间[−e2,−e−1]上的最大值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值即得．
本小题主要考查函数的导数，单调性，利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，中档题．