2022-2023学年新疆哈密市第八中学高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年新疆哈密市第八中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．曲线的图像在处切线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出倾斜角.

【详解】因为，所以，所以，

所以函数在处的切线的斜率，则倾斜角为.

故选：D.

2．4名男生2名女生排成一排，要求两名女生排在一起的排法总数为（    ）

A．48 B．96 C．120 D．240

【答案】D

【分析】相邻元素运用捆绑法解决即可.

【详解】第一步将两名女生看作一个整体与4名男生全排列，第二步将两名女生内部排列，即：.

故选：D.

3．已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】D

【分析】由是函数的极小值点，可得，进而可得的解析式，即可得函数单调递区间及极大值点为，代入求解即可.

【详解】解：因为

所以，

又因为是函数的极小值点，

所以，

解得，

所以，，

令，得，

所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以在处取极大值，在处取极小值，

所以的取极大值为.

故选：D.

4．在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先写出展开式的通项，再令求出，即可求出含项的二项式系数.

【详解】二项式的展开式的通项为，

令，解得，所以展开式中项的二项式系数为.

故选：A

5．在的二项展开式中，的系数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】写出二项展开式的通项公式令，即得解；

【详解】由题意，二项展开式的通项为：

令因此二项展开式中的系数是：；

故选：B.

6．已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先得到的定义域，由题意得到在上有解，参变分离后得到在上有解，利用配方求出，得到实数的取值范围.

【详解】的定义域为，

由题意得在上有解，

即在上有解，

其中，

故，故实数的取值范围是.

故选：B

7．的展开式中的系数是（    ）

A．9 B．-9 C．10 D．-10

【答案】B

【分析】，所以的展开式中的系数是展开式中的系数和的系数之和.

【详解】由于，

所以的展开式中的系数是展开式中的系数和的系数和，的展开式中第项为，

分别令和，得到的展开式中的系数和的系数，

因此的展开式中的系数是.

故选：B.

8．某单位安排甲、乙、丙、丁四人去、、三个劳动教育基地进行社会实践，每个人去一个基地，每个基地至少安排一个人，则乙被安排到基地的排法总数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】对基地安排的人数进行分类讨论，利用分类加法计数原理可得结果.

【详解】分以下两种情况讨论：

若基地只安排乙一人，将其余人分为组，人数分别为、，

此时不同的排法种数为种；

若基地安排两人，则需从甲、丙、丁中再选择一人安排至基地，

此时不同的排法种数为.

综上所述，乙被安排到基地的排法总数为种.

故选：B.

二、多选题

9．已知函数的导函数为，则（    ）

A．函数的极小值点为

B．

C．函数的单调递减区间为

D．若函数有两个不同的零点，则

【答案】BCD

【分析】求出函数的导数，利用导数判断ABC；分析函数的性质，作出图象判断D作答.

【详解】由，得，当时，，B正确；

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

因此函数在处取得极小值，递减区间为，A错误，C正确；

函数在上单调递减，且恒有，在上单调递增，，，

函数有两个不同的零点，即函数的图象与直线有两个公共点，

在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图，

观察图象知，当时，直线与函数的图象有两个公共点，

所以函数有两个不同的零点时，，D正确.

故选：BCD

10．若，其中为实数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据给定的条件，把写成，再利用二项式定理结合赋值法，逐项计算判断作答.

【详解】依题意，令，

对于A，，A错误；

对于B，是按展开的第4项系数，因此，B正确；

对于C，，，

所以，C正确；

对于D，，D错误.

故选：BC

11．已知随机变量X服从二项分布，随机变量，则下列说法正确的是（    ）

A．随机变量X的数学期望 B．

C．随机变量X的方差 D．随机变量Y的方差

【答案】AC

【分析】利用服从二项分布，

则有，，

可判断出选项ABC的正误；利用时，，即可判断出选项D的正误.

【详解】因为X服从二项分布，

故，，故选项A，C正确；

又，故B选项错误，

又，则，故选项D错误.

故选：AC.

12．甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ）

A．事件B与事件相互独立 B．

C． D．

【答案】BD

【分析】本题主要考察条件概率与全概率公式，对学生基础知识的考察比较广泛。由题意可得B与Ai(I=1,2,3...)是两两互斥的事件，利用条件概率的概率公式求出即可，求出相应的概率与条件，全概率，进而得到答案.

【详解】，，

先发生，则乙袋中有4个红球3白球3黑球，

先发生，则乙袋中有3个红球4白球3黑球，，

先发生，则乙袋中有3个红球3白球4黑球，．

，B对．

，C错．

，A错．

，D对．

故选:BD.

三、填空题

13．已知函数的图像与直线相切，则实数          .

【答案】1

【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可.

【详解】设函数的图像与直线相切于点，

由，

所以有，

，

于是有，

故答案为：1

14．若二项式的常数项为－80，则      .

【答案】5

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x的指数为零，求出r，从而利用常数项建立方程求解.

【详解】二项式的通项为，

由题意，且r，n为整数，解得，

故答案为：5

15．设随机变量X服从二项分布，若，则        

【答案】

【分析】由随机变量X服从二项分布可得，然后利用即可得到答案

【详解】因为随机变量X服从二项分布，

所以，

所以，

因为，所以，

故答案为：.

16．已知随机变量，且，则          

【答案】

【分析】利用正态分布的对称性即可计算求解.

【详解】因为随机变量服从正态分布，且，

所以，

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数（a，），其图象在点处的切线方程为．

(1)求a，b的值；

(2)求函数的单调区间和极值；

(3)求函数在区间上的最大值．

【答案】(1)，；

(2)的增区间是和，减区间是，极大值是，极小值是；

(3)最大值是，最小值是．

【分析】（1）由出导函数，计算和，由切线方程列方程组解得；

（2）由得增区间，由得减区间，从而可得极值；

（3）结合（2）可得函数在上的单调性，再计算出区间端点处的函数值，，与（2）中极值比较可得最值．

【详解】（1），，，

又图象在点处的切线方程为，

所以，解得；

（2）由（1）得，，

或时，，时，，

所以的增区间是和，减区间是，

极大值是，极小值是；

（3）由（2）知在和上递增，在上单调递减，

又，，

所以在上的最大值是，最小值是．

18．若，其中．

(1)求m的值；

(2)求；

(3)求．

【答案】(1)1

(2)255

(3)0

【分析】（1）写出展开式的通项，然后由条件可得答案；

（2）分别令、可得答案；

（3）令可得，然后利用平方差公式可得答案.

【详解】（1）的展开式的通项为，

所以，所以，解得；

（2）由（1）知，令，可得，

令，可得，所以；

（3）令，可得，

由（2）知，

所以．

19．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求导可得，分和进行讨论即可得解；

（2）根据题意参变分离可得恒成立，令，求出的最大值即可得解.

【详解】（1）依题意，，

当时，显然，所以在上单调递增；

当时，令，得；令，；

即在上单调递增，在上单调递减．

（2）由题意得恒成立，等价于恒成立，

令，即时成立．

则，当时，，当时，，

那么在上单调递增，在上单调递增减，所以，

所以．

20．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，白粽8个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．

(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；

(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列详见解析，数学期望为

【分析】（1）根据古典概型以及组合数的计算求得正确答案.

（2）根据超几何分布的知识求得的分布列并求得数学期望.

【详解】（1）依题意，既有豆沙粽又有白粽的概率为.

（2）的可能取值为，

则，

，

，

所以的分布列如下：

所以.

21．求下列方程中的n值：

(1)；

(2)．

【答案】(1)5

(2)4

【分析】（1）利用排列数公式求解；

（2）组合数的性质和组合数和排列数公式求解.

【详解】（1）解：因为，

所以，

化简得：，

∵且，

解得：；

（2）因为，

所以，

则，

化简得：

解得：.

22．某校为了调查网课期间学生在家锻炼身体的情况，随机抽查了150名学生，并统计出他们在家的锻炼时长，得到频率分布直方图如图所示．

(1)求a的值，并估计锻炼时长的平均数（同组数据用该组区间的中点值代替）；

(2)从锻炼时长分布在，，，的学生中按分层抽样的方法抽出7名学生，再从这7名学生中随机抽出3人，记3人中锻炼时长超过40分钟的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．

【答案】(1)，平均值为

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据题意结合频率的性质求，进而可求平均数；

（2）根据分层抽样求各层抽取的人数，结合超几何分布求分布列和期望.

【详解】（1）由题意可得：，解得，

样本数据在，，，，，的频率分别为0.06，0.10，0.12，0.36，0.24，0.12，

则平均值为，

故估计锻炼时长的平均数.

（2）20分钟到60分钟中各组的频率比为，

所以应抽人，抽取人，抽取人，抽取人．

∴X的所有可能取值为0，1，2，3．

，，

，，

∴X分布列为

∴．