2022-2023学年西藏林芝市第二高级中学高二下学期第一学段考试（期中）数学（理）试题含答案

2022-2023学年西藏林芝市第二高级中学高二下学期第一学段考试（期中）数学（理）试题

一、单选题

1．复数，则复数的实部和虚部分别是（    ）

A．3，2 B．3，2i C．1，2 D．1，2i

【答案】C

【分析】应用复数乘法运算化简复数，即可确定实部、虚部.

【详解】由题意，则复数的实部和虚部分别是1和2.

故选：C

2．下列导数运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据导数公式判断各项正误即可.

【详解】由，，，，

所以A、B、D错，C对.

故选：C

3．已知函数，则在上的平均变化率为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】根据平均变化率的定义直接求解.

【详解】因为函数，

所以该函数在区间上的平均变化率为

，

故选：C

4．已知点为椭圆上一点，椭圆的两个焦点分别为，，则的周长是（    ）

A．20 B．36 C．64 D．100

【答案】B

【分析】根据给定的椭圆方程，求出长短半轴长、半焦距即可作答.

【详解】椭圆的长半轴长，短半轴知，半焦距，

依题意，的周长为.

故选：B

5．展开式中含项的系数为（    ）

A．30 B．24 C．20 D．15

【答案】D

【分析】利用二项式通项求解即可.

【详解】，令，解得，

所以含项的系数为.

故选：D

6．某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（    ）

A．14 B．64 C．72 D．80

【答案】B

【分析】按照分步乘法计数原理计算可得.

【详解】因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法，

所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出不同的套餐有种.

故选：B．

7．已知函数，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据正弦函数与对数函数的求导公式求解即可.

【详解】由题意，，故.

故选：D

8．曲线在点处的切线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由导数的几何意义求解即可.

【详解】因为，所以，，

设线在点处的切线的倾斜角为，

由导数的几何意义知，即.

所以曲线在点处的切线的倾斜角为.

故选：B.

9．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（    ）

A．为的极小值点 B．2为的极大值点

C．在区间上，是增函数 D．在区间上，是减函数

【答案】B

【分析】根据导函数符号与函数单调性的关系，结合极值点定义判断即可.

【详解】对AD，在，，单调递增；在，，单调递减，故为的极大值点，AD错；

对B，在，，单调递增；在，，单调递减，故2为的极大值点，B对；

对C，在，，单调递减；在，，单调递增，C错.

故选：B

10．设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据渐近线方程求出a与b的关系即可.

【详解】双曲线 的渐近线方程为： ，

又 ；

故选：A.

11．抛物线的焦点坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将已知抛物线方程整理成标准形式，从而可求出焦点坐标.

【详解】由可得，焦点在轴的正半轴上，设坐标为，

则，解得，所以焦点坐标为.

故选:D.

12．函数的图象在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用导数的几何意义求切线方程即可.

【详解】由，则，而，

所以点处的切线方程为，即.

故选：A

二、填空题

13．已知复数满足，则        ．

【答案】

【分析】先解方程求出z，再根据复数模的定义求解.

【详解】由题意可得，则；

故答案为： .

14．函数在取得极值，则      ．

【答案】/

【分析】由在取得极值，得，求出的导数，代入求解，再检验即可．

【详解】因为，

所以，

因为在取得极值，

所以，

解得，

所以，

当时，，当时，，

所以时取得极大值，

故答案为：．

15．的二项展开式中的常数项为      ．

【答案】

【分析】首先写出展开式的通项，再令的指数为，求出所对应的，再代入计算可得.

【详解】二项式展开式的通项为，

令，解得，所以，所以展开式中常数项为.

故答案为：

16．若双曲线的离心率为，则渐近线方程为：        ．

【答案】

【分析】由题意首先由离心率求得m的值，然后求解渐近线方程即可.

【详解】依题意，，

则，解得．

渐近线方程是，即．

故答案为：.

三、解答题

17．已知复数当实数m为何值时，复数z为

(1)实数；

(2)纯虚数；

(3)零

【答案】(1)或

(2)

(3)

【分析】(1)复数为实数的条件是虚部为0；(2)复数为纯虚数的条件是实数为0，虚部不为0；(3)复数为0的情况是实部虚部均为0.

【详解】（1）z为实数的充要条件是z的虚部为0，即

，解得或，

所以当或时，z为实数.

（2）为纯虚数的充要条件是z的虚部不为0，而实部为0，即

，解得，

所以当时，z为纯虚数.

（3）z为零的充要条件是z的实部与虚部同时为零，即

，解得，

所以当时，.

18．分别求适合下列条件的方程：

(1)长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；

(2)经过点的抛物线的标准方程.

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）根据长轴和焦距的定义求出a、c，进而求出b，即可求解；

（2）设抛物线方程为或，将点P坐标代入，即可求解.

【详解】（1）设椭圆的长轴长为，焦距为

由条件可得.所以.

所以，

当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；

当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为.

（2）当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，

将点的坐标代入抛物线的标准方程得，

此时，所求抛物线的标准方程为；

当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，

将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，

此时，所求抛物线的标准方程为.

综上所述，所求抛物线的标准方程为或.

19．从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？

(1)三位数；

(2)三位数的偶数．

【答案】(1)24

(2)12

【分析】（1）根据乘法原理分步完成即可；

（2）先排个位，再排十位与百位,根据乘法原理得出结果即可.

【详解】（1）三位数有三个数位，故可分三个步骤完成：

第1步，排个位，从1，2，3，4中选1个数字，有4种方法；

第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；

第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．依据分步乘法计数原理， 共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．

（2）分三个步骤完成：

第1步，排个位，从2，4中选1个，有2种方法；

第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；

第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．

故共有2×3×2＝12个三位数的偶数．

20．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)求函数在上的最大值和最小值.

【答案】(1)递增区间为，；递减区间为

(2)最大值为59，最小值为-49

【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，得到单调区间；

（2）求出极值和端点值，比较后确定最值.

【详解】（1）的定义域为R，且，

令得，令得，

所以函数在上的最大值为59，最小值为 -49.

21．班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单；

(1)3个中唱歌节目要排在一起，有多少种排法？

(2)相声节目不排在第一个节目，魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用捆绑法可求解即可；

（2）根据相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目等价于用6个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数即可求解．

【详解】（1）将3个唱歌节目捆绑在一起，看成1个节目有种，与其余3个节目一起排，

则共有种不同排法．

（2）若相声节目排在第一个节目，则有种不同排法，

若魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，

若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，

则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目等价于用6个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，

再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数，

所以共有种不同排法．

22．已知双曲线的离心率为，且右焦点F与抛物线的焦点相同.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过点F的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且，求直线l的方程.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）根据抛物线焦点得到，再根据离心率和关系即可得到答案；

（2）设直线，，，将直线方程与双曲线方程联立得

，再利用弦长公式即可求出值，则得到直线方程.

【详解】（1）抛物线的焦点为，可得，则；

由，可得，由得，

故双曲线的标准方程为；

（2）当直线垂直于轴时，，不合题意；

当直线不垂直于轴时，可设过双曲线右焦点的直线，且与双曲线的交点为，，

由可得，则，

因为焦点在双曲线的内部，则直线斜率存在且时，直线与双曲线必有两交点，，

则，

则，

解得，即直线的方程为或.