陕西省咸阳市永寿县中学2022-2023学年高二上学期月考(一)数学试题（含答案）

永寿中学2022~2023学年度高二上学期月考（一）

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．

4．本卷主要考查内容：北师大版必修5第一章、第二章2.1．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列四个数中，哪个是数列中的一项（    ）

A．380    B．392    C．321    D．232

2．在中，若，则A等于（    ）

A．或    B．或    C．或    D．或

3．设，数列是公比为2的等比数列，则等于（    ）

A．64    B．160    C．79.5    D．31.5

4．在中，若，则最大角的余弦值是（    ）

A．    B．    C．    D．

5．A为的内角，则的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

6．等比数列的第四项等于（    ）

A．    B．0    C．12    D．24

7．为等差数列，公差为其前n项和．若，则的值是（    ）

A．18    B．20    C．22    D．24

8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的面积为（    ）

A．    B．    C．    D．

9．各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则等于（    ）

A．80    B．30    C．26    D．16

10．数列的前99项和为（    ）

A．    B．    C．    D．

11．在中，若，则的形状是（    ）

A．直角三角形    B．等腰三角形或直角三角形     C．不能确定    D．等腰三角形

12．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（    ）

A．2    B．3    C．4    D．5

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边．若，则三角形的面积为___________．

14．已知数列中，（且），则数列的通项公式为_________．

15．在中，，其面积为，则___________．

16．一同学在电脑中打出如下若干个圆：○●○○○●○○○○○●○○○○○○○●○○○○○○○○○●…若依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前420个圆中●的个数是_________________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17．（本小题满分10分）

在中，．

（1）求的值；

（2）设，求的值．

18．（本小题满分12分）

已知等差数列的前n项和为，且．

（1）求的通项公式；

（2）若是等比数列，且，求数列的前n项和．

19．（本小题满分12分）

在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．

（1）求内角B的大小；

（2）若，求面积的最大值．

20．（本小题满分12分）

已知数列满足，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，求证：．

21．（本小题满分12分）

如图，在四边形中，．

（1）求四边形的面积；

（2）求的值．

22．（本小题满分12分）

已知函数的图像经过坐标原点，且，数列的前n项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前n项和；

（3）设，其中，试比较与的大小，并证明你的结论．

永寿中学20222023学年度高二上学期月考（一）·数学

参考答案、提示及评分细则

1．A  ．

2．D  ∵，∴，∴，∴或．

3．C  ．

4．C  ∵，∴B为最大角，∴．

5．C  ，而，，．

6．A  由题意知，，即，解得或（舍去），所以等比数列的前三项是，则第四项为．

7．B  由，得．

8．A  因为，所以，所以．

9．B  四个数仍找等比，∵，∴或（舍）．

10．A  ．

11．B  ∵，∴，∴，即，∴或．又∵A，B为三角形的内角，∴或．

12．D  由，得，要使为整数，则需为整数，所以，共有5个．

13．  ∵，，∴．

14．，则，则是以3为首项，3为公比的等比数列，∴．

15．  由，得．又∵，得，∴．

16．20   将圆分组：

第一组：○●，有2个圆；

第二组：○○○●，有4个圆；

第三组：○○○○○●，有6个圆；

…

每组圆的总个数构成了一个等差数列，前n组圆的总个数为

令，

解得，

即包含了20整组，

即有20个黑圆．

17．解：（1）由和，得，

故，即．

又因为，

所以．

（2）由题意可知，C为钝角，A，B均为锐角，

又∵，

∴，

则中，，

由正弦定理可得：，

18．解：（1）设等差数列的公差为d，∵，

∴

即解得首项，公差．

∴数列的通项公式．

（2）设等比数列的公比为q，∵，

∴公比，

．

∴数列的前n项和．

19．解：（1）∵，

∴由余弦定理，得

，

化简，得，

结合余弦定理

，

∴．又∵，∴．

（2）由正弦定理知，，

．

∴

．

∵，

∴，

∴

∴，

即面积的最大值是．

20．解：（1）由，得数列为等差数列．

设等差数列的首项为，公差为d．

∵，

∴，

∴．

（2），

∴

．

∴当时，．

21．解：（1）由已知条件，得，

∴，则

．

∵，∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴四边形的面积

．

（2）在中，

，

∴，∴．

22．解：（1）因为的图像过原点，所以，所以，

所以．

当时，，

又因为适合，

所以数列的通项公式为．

（2）由，得，

所以，①

．②

②-①，得，

所以．

（3）组成以0为首项，6为公差的等差数列，

所以；

组成以18为首项，4为公差的等差数列，

所以．

故，

所以，对于正整数n，当时，；

当时，；

当时，．