2022-2023学年陕西省西安市高陵区第一中学高二下学期5月期中数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市高陵区第一中学高二下学期5月期中数学（理）试题

一、单选题

1．复数在复平面内对应的点位于（    ）．

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】由复数乘法法则计算出，然后可得其对应点的坐标，得所在象限．

【详解】∵，

∴z在复平面内对应的点为，位于第一象限．

故选：A．

2．设函数在处存在导数为2，则.

A． B．6 C． D．

【答案】A

【分析】根据导数定义，化为导数表达式即可．

【详解】根据导数定义，

所以选A

【点睛】本题考查了导数定义的简单应用，属于基础题．

3．一质点的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为（    ）

A．4 B．12 C．15 D．21

【答案】B

【分析】由瞬时变化率的定义，代入公式求解计算.

【详解】由题意，该质点在时的瞬时速度为.

故选：B

4．用反证法证明命题“，至少有一个为0”时，应假设（    ）

A．，没有一个为0 B．，只有一个为0

C．，至多有一个为0 D．，两个都为0

【答案】A

【分析】由题意结合反证法的概念，直接写出原命题的否定即可得解.

【详解】在使用反证法时，需要假设原命题的否定正确，

对命题“，至少有一个为0”的否定为“，没有一个为0”，

所以应假设，没有一个为0.

故选：A.

【点睛】本题考查了反证法的概念辨析，关键是对于概念的准确理解，属于基础题.

5．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出即可.

【详解】因为，，

，，

所以，即.

故选：C.

【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．

6．用数学归纳法证明“”时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分别求出当和时，不等式左边，二者比较即可得到答案.

【详解】当时，左边为，

当时，左边为

所以增加的项为：

故选：D

7．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？

A．正三角形的顶点 B．正三角形的中心 C．正三角形各边的中点 D．无法确定

【答案】B

【详解】分析：由题意结合几何体的空间关系进行类比推理即可求得最终结果.

详解：绘制正三棱锥的内切球效果如图所示，很明显切点在面内而不在边上，则选项AC错误，由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的正三角形的中心.

本题选择B选项.

点睛：在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．

8．定积分的值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】用定积分公式即可.

【详解】.

故选:D

【点睛】本题考查了定积分计算，属于基础题．

9．为贯彻教育部关于全面推进素质教育的精神，某学校推行体育选修课，甲、乙、丙、丁四人分别从太极拳、足球、击剑、游泳四门课程中选择一门课程作为选修课，他们分别有以下要求：

甲：我不选太极拳和足球；

乙：我不选太极拳和游泳；

丙：我的要求和乙一样；

丁：如果乙不选足球，我就不选太极拳．

已知每门课程都有人选择，且都满足四个人的要求，据此推断选击剑的是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】C

【分析】根据题意可知乙、丙只能从足球和击剑中选，分乙选足球，丙选击剑和乙选击剑，丙选足球，两种情况讨论，从而可得出答案.

【详解】解：根据题意乙、丙只能从足球和击剑中选，

若乙选足球，则丙选击剑，

则甲只能选游泳，故丁只能选太极拳，符合题意；

若乙选击剑，则丙选足球，

此时甲丁都不能选太极拳，只有游泳可选，则无法满足条件，故不符合题意，

综上所述选击剑的是丙.

故选：C.

10．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据在上恒成立求解．

【详解】∵，∴．

又函数 在上单调递减，∴在上恒成立，即在上恒成立．

∵当时，，∴．

所以实数的取值范围是．

故选：B．

【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当时，则函数在区间上单调递减；而当函数在区间上单调递减时，则有在区间上恒成立．解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题．

11．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是(　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的导函数，利用导数有两个不同的零点，说明函数恰好有三个单调区间，从而求出a的取值范围．

【详解】解：∵函数f（x）＝ax3﹣3x2+x+1，

∴f′（x）＝3ax2﹣6x+1，

由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f′（x）有两个不相等的零点，

∴3ax2﹣6x+1＝0满足：a≠0，且△＝36﹣12a＞0，解得a＜3，

∴a∈（﹣∞，0）∪（0，3）．

故选D．

【点睛】本题考查导数在研究函数单调性的应用，运用了函数与方程思想．属于基础题．

12．设函数是偶函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的形式构造函数，利用导数的性质，结合函数的奇偶性和单调性进行求解即可.

【详解】令，则，

∵，∴，∴在上为减函数，

又∵，

∴函数为定义域上的奇函数，在上为减函数.

又∵，∴，

∴不等式，

∴，或，，

∴，或，

∵成立的x的取值范围是，

故选：D

二、填空题

13．设函数的导函数为，已知函数，则      ．

【答案】2

【分析】对求导函数，令，即可得到的方程，求解即可

【详解】由题，，所以，可解得，

故答案为：2

14．已知是虚数单位，若复数z满足，则            ．

【答案】

【分析】根据复数的除法与的指数性质求解即可.

【详解】则

故答案为：

15．曲线与轴所围成的图形面积为      ．

【答案】2

【解析】直接利用定积分求解.

【详解】由题得.

所以所求的图形的面积为2.

故答案为：2

【点睛】方法点睛：求定积分的方法：(1)代数法：利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求.

16．若定义在区间D上的函数的导函数为增函数，则为D上的凹函数．下列四个函数中为上的凹函数的是      ．（填序号）

①；②；③；④．

【答案】②④

【分析】根据凹函数的定义，分别判断各个函数的导函数的单调性，即可得出答案

【详解】解：对于①，

，

则函数在上递减，在上递增，

故函数不是上的凹函数；

对于②，

在上递增，

故函数是上的凹函数；

对于③，

在上递减，

故函数不是上的凹函数；

对于④，

在上递增，

故函数是上的凹函数.

故答案为：②④.

三、解答题

17．求下列函数的导函数：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】根据基本导数公式以及导数的运算法则求解即可.

【详解】（1）

（2）

18．已知复数，i为虚数单位．

（1）当z是纯虚数时，求m的值；

（2）当时，求．

【答案】（1）0；（2）．

【分析】（1）根据复数有分类求解；

（2）由复数的除法法则计算．

【详解】（1）由题意，解得；

（2）由题意．

19．已知函数，曲线在处的切线方程为.

（Ⅰ）求实数，的值；

（Ⅱ）求在区间上的最值.

【答案】（Ⅰ）最大值为，最小值为.（Ⅱ）最大值为，最小值为.

【分析】（Ⅰ）切点在函数上，也在切线方程为上，得到一个式子，切线的斜率等于曲线在的导数，得到另外一个式子，联立可求实数，的值；（Ⅱ）函数在闭区间的最值在极值点或者端点处取得，通过比较大小可得最大值和最小值.

【详解】解：（Ⅰ），

∵曲线在处的切线方程为，

∴解得，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则，

令，解得，

∴在上单调递减，在上单调递增，

又，，，

∴在区间上的最大值为，最小值为.

【点睛】本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题.

20．已知数列{an}满足：，点在直线上．

（1）求的值，并猜想数列{an}的通项公式；

（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．

【答案】（1），，；；（2）证明见解析.

【分析】（1）先将点坐标代入直线方程，得到递推关系，再依次求出前几项，猜想通项公式；

（2）结合递推关系，用数学归纳法证明.

【详解】(1)点在直线上可知，数列满足： ，

，．可猜得．

(2)当时，成立，

假设当时，成立，

则当时，成立，

就是说，猜想正确；

综上，．

【点睛】（1）数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时两个步骤缺一不可，第一步是基础，第二步是递推的依据；

（2）在用数学归纳法证明时，第一步验算的不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第二步，用时命题成立的结论证明时命题也成立，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.

21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c互不相等，且．

(1)试比较与的大小；

(2)求证：B不可能是钝角．

【答案】(1)，证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用分析法可以证明，逐步分析到已知条件即可；

（2）利用反证法可以证明，假设不成立，推出矛盾即可.

【详解】（1）.

证明如下：要证，只需证，

由题可知，只需证（已知条件），所以．

（2）假设是钝角，则，

而，

这与矛盾，故假设不成立，所以B不可能是钝角．

22．已知函数.

（1）若a= -2，求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)有两个极值点x1，x2，求证.

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析.

【解析】（1）由a= -2，求导，再由，求解即可,

（2）求导，根据f(x)有两个极值点x1，x2，得到x1，x2为方程的两个不等实根，然后结合韦达定理得到，再

令，用导数法证明即可.

【详解】（1）f(x)的定义域是.

当a= -2时，，，

当时，，当时，，

所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2），

因为f(x)有两个极值点x1，x2，

故x1，x2为方程的两个不等实根，

所以，

.

,

令，

则，

在单调递增，

故

.

【点睛】思路点睛：利用导数证明不等式常构造函数φ(x)，将不等式转化为φ(x)＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x)的单调性、最值，判定φ(x)与0的关系，从而证明不等式．