2022-2023学年广东省深圳市龙岗区四校高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年广东省深圳市龙岗区四校高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．六个人站成一排照相，其中甲乙要相邻的站法种数有（    ）

A．720 B．120 C．240 D．360

【答案】C

【分析】相邻问题，由捆绑法求解

【详解】将甲乙捆绑视为整体，共有种

故选：C

2．函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出，然后可得答案.

【详解】因为，所以，

所以由可得，

所以函数的单调递增区间为，

故选：A

3．已知，，，则（    ）

A．0.2 B．0.3 C．0.75 D．0.25

【答案】C

【分析】先求得，由此求得.

【详解】，

所以.

故选：C

4．已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】D

【分析】根据导函数不同区间上函数值的符号，判断的区间单调性，即可确定答案.

【详解】由图可知，当x＜0时，即在(－∞,0)上单调递减；

当0＜x＜2时，即在(0,2)上单调递增；

当x＞2时，即在(2,＋∞)上单调递减.

结合各选项，只有D符合要求.

故选：D

5．已知二项式展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（    ）

A． B． C．15 D．20

【答案】B

【分析】首先利用求出，然后再利用二项式展开式的通项即可求解.

【详解】根据题意可得，解得，

则展开式的通项为，

令，得，

所以常数项为：.

故选：B.

6．已知随机变量，且，则（    ）

A． B．12 C．3 D．24

【答案】C

【分析】结合，求得，即可求解．

【详解】由题意，随机变量，可得，

又由，解得，

即随机变量，可得，

故选：C．

7．已知数列的前项和为，满足，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可知数列是公差为1的等差数列，先求出数列的通项公式，再利用与的关系求出即可.

【详解】∵a1 = 1，－ = 1，

∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，

∴，即，

∴（）.

当时，也适合上式，.

故选：A.

8．对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（    ）

A．0 B．1 C． D．

【答案】A

【分析】对函数求导，再求导，然后令，求得对称点即可.

【详解】依题意得，，，

令，解得x＝1，

∵，∴函数的对称中心为，

则，

∵

∴．

故选：A.

二、多选题

9．将甲，乙，丙，丁4个志愿者分别安排到学校图书馆，食堂，实验室帮忙，要求每个地方至少安排一个志愿者帮忙，则下列选项正确的是（    ）

A．总其有36种安排方法

B．若甲安排在实验室帮忙，则有6种安排方法

C．若图书馆需要安排两位志愿者帮忙，则有24种安排方法

D．若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则有6种安排方法

【答案】AD

【分析】先将4人分成3组，再将3组安排到3个场馆，即可判断A；分实验室只安排甲1人和实验室安排2人，即可判断B；先安排2人去图书馆，再将其他2人安排到其他两个场馆，即可判断C；将甲､乙看成一人，则将3人安排到3个不同的地方，即可判断D.

【详解】解：对于A，先将4人分成3组，再将3组安排到3个场馆，

有种安排方法，故A正确；

对于B，若实验室只安排甲1人，则有种安排方法，

若实验室安排2人，则有种安排方法，

所以若甲安排在实验室帮忙，则有12种安排方法，故B错误；

对于C，先安排2人去图书馆，再将其他2人安排到其他两个场馆，

则有种安排方法，故C错误；

对于D，若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则有种安排方法，故D正确.

故选：AD.

10．已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，能表示图中阴影部分面积的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】由正态密度曲线的对称性逐一分析四个选项即可得答案.

【详解】解：由正态分布的正态密度曲线关于直线对称，

对A：由对称性可得图中阴影部分可表示为

，

故选项A符合题意；

对B：由对称性可得，所以图中阴影部分可表示为

，故选项B符合题意；

对C：由对称性可得，选项C不符合题意；

对D：由对称性可得，

所以图中阴影部分可表示为，

故选项D符合题意.

故选：ABD.

11．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．随机变量服从超几何分布 D．随机变量服从二项分布

【答案】BC

【分析】根据超几何分布的定义以及概率公式，可得答案.

【详解】由题意知随机变量服从超几何分布；

的取值分别为0，1，2，3，4，

则，，

，，，

故选：BC．

12．定义；在区间上，若数是减函数且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”，根据定义可得（    ）

A．在上是“弱减函数”

B．在上是“弱减函数”

C．在上是“弱减函数”

D．若在上是“弱减函数”，则

【答案】BCD

【分析】利用基本初等函数的单调性可判断A选项；利用函数的单调性与导数的关系、并结合题中定义可判断BCD选项.

【详解】对于A选项，因为函数在上不是增函数，A不满足条件；

对于B选项，当时，，函数在上为减函数，

令，则，函数在上为增函数，B满足条件；

对于C选项，当时，，

令，其中，则，

所以，函数在上为减函数，

故当时，，则，

则函数在上为减函数，

又因为函数在上为增函数，C满足条件；

对于D选项，因为在上是“弱减函数”且该函数的定义域为，

由，解得，所以，，

又因为函数在上为增函数，D满足条件.

故选：BCD.

三、填空题

13．在等差数列中，，，则数列的通项公式      .

【答案】

【分析】根据等差数列的定义，设出其公差，整理化简方程，解得公差，利用其通项公式，可得答案.

【详解】设等差数列的公差为，

由得：，又，，

.

故答案为：.

14．曲线在点处的切线方程为           .

【答案】

【分析】利用导数的几何意义可求解.

【详解】由于，所以有，因此切点为，

由于,所以曲线在点处的切线的斜率,

故所求切线方程为:,即

故答案为：．

15．已知函数的导函数为，且，则      ．

【答案】

【分析】对等式两边求导得，将代入可得关于的等式，解之即可.

【详解】因为，则，故，故．

故答案为：.

16．已知函数有两个不同的极值点、，且，则实数的取值范围是           .

【答案】

【分析】由可得，分析可知函数在上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.

【详解】函数的定义域为，且，

令可得，

设，其中，则函数在上有两个不等的零点，

所以，，解得.

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数在上的最大值和最小值.

【答案】(1)

(2)最大值为，最小值0

【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得出答案；

（2）根据导数的符号求出函数的单调区间，再求出函数的极值及端点的函数值，即可求出函数的最值.

【详解】（1）解：，

则，

所以曲线在点处的切线方程为，

即；

（2）解：，

当时，，当时，，

所以函数在上递增，在上递减，

又，

所以函数在上的最大值为，最小值0.

18．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素师范对本校学生体育锻炼的经常性有影响，在全校随机抽取50名学生进行调查，其中男生有27人，坚持锻炼的男生有18人，经常锻炼的女生有8人．

(1)请根据提议完成下面的2×2列联表

(2)根据（1）中的2×2列联表，依据小概率值=0.05的独立性检验，能否认为性别因素与本校学生体育锻炼的经常性有关？

附：

参考公式：

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析.

【分析】（1）由题意进行数据分析，完成2×2列联表；

（2）套公式计算，对照参数下结论.

【详解】（1）由题意进行数据分析可得：

（2）由题意可知：.

所以我们认为性别因素与本校学生体育锻炼的经常性有关.

19．保护生态环境，提倡环保出行，节约资源和保护环境，某地区从2016年开始大力提倡新能源汽车，每年抽样1000汽车调查，得到新能源汽车y辆与年份代码x年的数据如下表：

(1)建立y关于x的线性回归方程；

(2)假设该地区2022年共有30万辆汽车，用样本估计总体来预测该地区2022年有多少新能源汽车．

参考公式：回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

【答案】(1)

(2)46800

【分析】（1）第一步分别算第x，y的平均值，第二步利用，即可得到方程.

（2）由第一问的结果，带入方程即可算出预估的结果.

【详解】（1），，

，

因为，所以，所以

（2）预测该地区2022年抽样1000汽车调查中新能源汽车数，

当时，，该地区2022年共有30万辆汽车，所以新能源汽车.

20．已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且、、成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设等差数列的公差为，则，根据题意求出的值，再利用等差数列的通项公式可求得；

（2）求得，利用裂项相消法可求得.

【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，

由题意可得，即，因为，解得，

因此，.

（2）解：由（1）可得，

所以，.

21．某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投篮投中的概率为，三分线外定位投篮投中的概率为，测试时三分线外定位投篮投中得2分，罚球位上篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三分线外定位投篮2次.

(1)求“该同学罚球位定位投篮投中且三分线外定位投篮投中1次”的概率；

(2)求该同学的总得分X的分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，数学期望为分

【分析】（1）设该同学"罚球位上定位投中"为事件，"三步篮投中"为事件，"该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次"为事件C，，根据独立事件乘法原理可求得答案；

（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出随机变量取每一个值的概率，得出随机变量的分布列，从而再由数学期望公式 可求得答案.

【详解】（1）（1）设该同学"罚球位上定位投中"为事件，三步篮投中"为事件，该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次"为事件C，

 则，

所以 ;

（2）(2) X的可能取值为0，1，2，3，4，

所以 ,

,

,

,

,

所以X的分布列为：

故 ， 则该同学得分的数学期望是分.

22．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数有两个不同的零点、，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；

（2）根据（1）中的结果，结合函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.

【详解】（1）解：函数的定义域为，

，

当时，对任意的，，此时函数的单调递增区间为；

当时，由可得，由可得，

此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

综上所述，当时，函数的单调递增区间为；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）解：由（1）可知，当时，函数在上单调递增，此时函数至多一个零点，不合乎题意；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

则，

令，其中，则，

所以，函数在上单调递减，且，

所以，，故.

令，其中，则.

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，，即，

所以，，

所以，，

，

又因为，由零点存在定理可知，函数在、上各有一个零点，合乎题意.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.