2022-2023学年江西省赣州市南康重点中学高二（下）期中数学试卷

2022-2023学年江西省赣州市南康重点中学高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知等比数列的公比为正数，且，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某研究机构为了了解初中生语文成绩的平均分单位：分与每周课外阅读时间单位：分钟是否存在线性关系，搜集了组数据，并据此求得关于的线性回归方程为若一位初中生的每周课外阅读时间为个小时，则可估计她的语文成绩的平均分为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  函数的图像大致是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  提丢斯波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是年由德国的一位中学老师戴维提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即太阳系第颗行星与太阳的平均距离以天文单位为单位构成数列，且数列从第二项开始各项乘以后再减构成一个等比数列已知，，则太阳系第颗行星与太阳的平均距离为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知正项数列中，，则数列的前项和为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列求导运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  已知函数，下列结论中正确的是(    )

A. 是的极小值点
B. 有三个零点
C. 曲线与直线只有一个公共点
D. 函数为奇函数

11.  已知函数，若的图象存在两条相互垂直的切线，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知数列的前项和为，且，，，则(    )

A.  B. 数列为等差数列
C. 数列为等差数列 D. 为奇数时，

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  函数的单调递减区间为______．

14.  已知函数满足以下三个条件：的导函数为奇函数；；在区间上单调递增，则的一个解析式为______．

15.  若为虚数单位，则计算 ______ ．

16.  当时，函数有两个极值点，则实数的取值范围______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知等差数列的前三项依次为、，，前项和为，且．
求及的值；
设数列的通项公式为，求数列前项和．

18.  本小题分
已知．
求曲线在处切线的方程；
求函数在区间上的最值．

19.  本小题分
某企业计划新购买台设备，并将购买的设备分配给名年龄不同视为技术水平不同的技工加工一批模具，因技术水平不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同．若用变量表示不同技工的年龄，变量为相应的效益值元，根据以往统计经验，他们的工作效益满足最小二乘法，且关于的线性回归方程为．
试预测一名年龄为岁的技工使用该设备所产生的经济效益；
试根据的值判断使用该批设备的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性强弱，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性不强；
若这批设备有，两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是，若两道工序都没有出现故障，则生产成本不增加；若工序出现故障，则生产成本增加万元；若工序出现故障，则生产成本增加万元；若，两道工序都出现故障，则生产成本增加万元．求这批设备增加的生产成本的期望．
参考数据：，．
参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，．

20.  本小题分
已知数列的前项和为，且，等比数列中，，且，，成等差数列．
求数列和的通项公式；
记为区间中的整数个数，求数列的前项和．

21.  本小题分
已知函数为自然对数的底数．
讨论的单调性；
若，当时，恒成立，求实数的取值范围．

22.  本小题分
已知函数，为函数的导函数．
求的图象在处的切线方程；
求函数的零点个数；
若函数在区间上有最小值，其中为正整数，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为为常数，
所以．
故选：．
为常数，则其导数为．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：设等比数列的公比为，
由，得，则，解得，
又，所以．
故选：．
设等比数列的公比为，由可得，从而求出值后再根据即可求解．
本题考查等比数列的通项公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，，
所以，
则，当时，．
故选：．
结合线性回归方程的性质，求出线性回归方程，再将代入上式，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由得得或，排除，，
当，，排除，
故选：．
由得方程两个根，利用极限思想进行排除即可．
本题主要考查函数图像的识别和判断，利用极限思想进行判断是解决本题的关键，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设数列从第二项开始各项乘以再减得到的等比数列为，公比为，
因为，，
所以，，
所以，
所以．
因为，
所以，
故．
故选：．
由题意得到数列为等比数列，结合已知条件写出的第项和第项，继而求出的通项，根据数列与的关系求得即可．
本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
或．
故选：．
求出，令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围．
本题考查导数的运算及其几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由，可得数列是首项为公差为的等差数列，
则，又，则，
则，
则数列的前项和为．
故选：．
先利用题给条件求得，进而求得，再利用裂项相消法即可求得数列的前项和．
本题主要考查数列的求和，裂项求和法的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查导数中的恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．
根据题意可得函数在上是单调增函数，求导，分离参数，构造函数，利用导数求出最值即可．
【解答】
解：，，
恒成立．
又，
函数在上是单调增函数．
则在上恒成立．
在上恒成立，
令，，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
，
故实数的取值范围为
故选D．  

9.【答案】 

【解析】解：对于选项，，故正确；
对于选项，，故正确；
对于选项，，故错误；
对于选项，，故错误．
故选：．
根据导数运算法则依次讨论求解即可．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：：，
易得在，上单调递增，上单调递减，
故为函数的极小值点，A正确；
因为在，上单调递增，上单调递减，
又，，故函数在上存在唯一零点，
，，故函数在存在唯一零点，
，，故函数在存在唯一零点，
故函数有个零点，B正确；
令可得，
令，则恒成立，
所以在上单调递增，
因为，
故只有一个零点，C正确；
为非奇非偶函数，D错误．
故选：．
先对函数求导，结合导数与单调性及极值关系检验选项A；
结合函数的单调性及零点判定定理检验选项B；
由已知构造新函数，结合导数研究函数单调性，再由函数零点判定定理检验选项C；
结合基本初等函数的奇偶性检验选项D．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系，函数零点判定定理，函数的奇偶性的综合应用，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：函数，定义域为，，
，当且仅当时，取等号，
要使的图象存在两条相互垂直的切线，则，，，
所以的值必有一正一负，
当时，，易知符合题意，
当时，，易知符合题意，
当时，，不符题意，
当时，，不符题意，
所以的值可以是或．
故选：．
由题可得，利用基本不等式可得，由条件知，即可得出答案．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程，考查了分类讨论思想，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于选项A：令，得，，故选项A正确，
对于选项B：，，
两式相减得，，
数列不是等差数列，故选项B错误，
对于选项C：由可知，
，
数列为等差数列，故选项C正确，
对于选项D：为奇数时，前项有个奇数项，有个偶数项，
数列的所有奇数项成首项为，公差为的等差数列，
所有偶数项成首项为，公差为的等差数列，
为奇数时，，
故选项D正确，
故选：．
令可求出的值，可判断，由数列的递推式可得，可判断，结合，可判断C正确，当为奇数时，求出数列前项中的奇数项和偶数项，再利用等差数列的前项和公式即可求出，进而判断．
本题主要考查了数列的递推式，考查了等差数列的定义和前项和公式，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为

令得，
函数的单调递减区间是
故答案为，
求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于等于求出的范围，写出区间形式即得到函数的单调递减区间．
本题考查函数的单调区间的问题，一般求出导函数，令导函数大于求出的范围为单调递增区间；令导函数小于求出的范围为单调递减区间；注意单调区间是函数定义域的子集．
 

14.【答案】 

【解析】解：由得为偶函数，可设函数为，由，则，
又在区间上单调递增，所以，
故的一个解析式为，
故答案为：，答案不唯一．
由题可知，原函数为偶函数设为，由，则，又在区间上单调递增，所以，可任意写出一个解析式．
本题考查根据函数性质求函数解析式相关知识，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，，
上面两式相减可得，，
则．
故答案为：．
设，两边乘以相减，结合等比数列的求和公式和复数的乘除运算法则，计算可得所求和．
本题主要考查复数的运算，错位相减求和法的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
根据题意，可得在上两个根，
即在上有两个根，
即在上有两个根，
设，则，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以，所以，
故答案为：．
求导得，根据题意可得在上有两个根，从而得到在上有两个根，设，求导数判断的单调性，求出的最小值，进而得出答案．
本题考查导数的综合应用，极值点，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：由等差数列的性质，有，得，
，所以是以为首项，为公差的等差数列，，
所以，
令，得或，由于，所以；
结合，得，
所以前项和可以视作一个等差数列和一个等比数列的和，
由公式得，
故答案为：，；． 

【解析】根据数列的性质建立关于的等式，求出公差，进而得出数列的通项公式，再求出前项和，令其等于，解出；先求出通项公式，再利用等比、等差数列求和公式进行求和．
本题主要考查等差数列求和，思路是先求出数列的通项公式，而后利用数列求和公式进行求和，属中档题．
 

18.【答案】解：，
当时，，即切点坐标为，
切线斜率为，
故所求切线方程为，即；
当时，，所以，
故函数在区间上单调递减，
所以，． 

【解析】依据导函数几何意义去求曲线在处切线的方程；
利用导数去求函数在区间上的最值．
本题考查了利用导数求函数的最值和切线方程，属于中档题．
 

19.【答案】解：当时，，
故预测一名年龄为岁的技工使用该设备所产生的经济效益为元．
由题意可得，，，
则，
，满足，
与线性相关性很强，
故使用该批设备的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性强．
设增加的生产成本为万元，
则所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
故E万元，
故这批设备增加的生产成本的期望为万元． 

【解析】将代入线性回归方程，即可求解．
结合相关系数的公式，即可求解．
设增加的生产成本为万元，则所有可能取值为，，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查数学期望的求解，以及相关系数公式的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：，
，，
又，也满足上式．
，
等比数列中，，且，，成等差数列，
，，
，，
，，
；
由及题意可得，


． 

【解析】根据前项和作差，即可求解数列的通项公式；根据等比数列的通项公式及方程思想，即可求解的通项公式；
由题意易得，从而再根据分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，即可求解．
本题考查根据数列的前项和求通项公式，等比数列的通项公式，方程思想，分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，属中档题．
 

21.【答案】解：由 得，
当时，则，即 在 上是增函数；
当时，令 得，令 得，
故 在 上单调递减，在 上单调递增；
由题意知：，，
即，
即函数 在 上为增函数，
只需，即，
令，则，由 得，
当 时，；当 时，；
所以 在上单调递减，在 上单调递增，
所以，则，即，
所以实数 的取值范围为． 

【解析】对原函数求导数，然后讨论的符号，确定导数的零点与定义域的关系，确定导数的符号，求出函数的单调区间；
构造新函数，，令其导数在定义域上恒为正即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，以及利用导数解决不等式恒成立问题的解题思路，属于中档题．
 

22.【答案】解：因为函数，所以，
又因为，
所以，所以的图象在处的切线方程为：，
即．
由题意可知：，令，
即，令，则，
因为在上单调性递减，且，
所以当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
又，，，，
由零点存在性定理可知：函数在和上各有一个零点，
也即函数在和上各有一个零点，
故函数有两个零点．
由可知：使得，使得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，当时，且极小值，
要使在区间上有最小值，则，
由为正整数，故，解得：，
故实数的最小值为． 

【解析】对函数求导，利用导数的几何意义即可求解；
利用导数求出函数的单调性，根据单调性和零点存在性定理即可求解；
结合的结论，要使函数在区间上有最小值，则必须有，解之即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数零点个数的求法，考查运算求解能力，属于中档题．