2022-2023学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高二下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高二下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．集合的子集个数为(   )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】对集合进行化简，即可求出对应的子集个数

【详解】，

故其子集为，共两个，

故选:B.

2．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ）

A．必要条件 B．充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】直接根据必要性和充分性的定义判断得到答案

【详解】解：“攻破楼兰”不一定会“返回家乡”，不充分；

“返回家乡”一定是在“攻破楼兰”的前提下，

所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.

故选：．

3．已知且，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先根据已知条件得到，，无法判断，再依次判断选项即可.

【详解】因为且，所以，即.

又因为，即.

所以，，无法判断.

对选项A，当时，，故A错误；

对选项B，因为，，所以，故B错误；

对选项C，因为，，所以，故C正确；

对选项D，当时，，故D错误.

故选：C

4．已知关于x的不等式对任意恒成立,则k的取值范围是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】分和对不等式进行讨论即可得到答案

【详解】当时,不等式可化为,恒成立,

当时,要满足关于x的不等式对任意恒成立,

只需，解得，

综上所述,k的取值范围是.

故选：A

5．若，则的最小值为（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】C

【分析】由可得，利用基本不等式即可求解.

【详解】因为，

所以，

则，当且仅当时，等号成立，

故的最小值为4.

故选：C.

【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题.

6．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（　　）

A．72 B．120 C．192 D．240

【答案】D

【详解】尾数是2或6时，有种方法；尾数是4时，有种方法；所以共有，应选答案D．

7．的展开式的各项系数和为，则该展开式中含项的系数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为的展开式的各项系数和为，令，可得，解得，结合二项式展开通项公式，即可求得答案.

【详解】的展开式的各项系数和为

令，可得

故：

解得：

故：

设展开通项公式为：

设展开通项公式为：

则展开通项公式为展开式中含

即中的幂是

故，可得

又 且

可得或

当，由

当，由

该展开式中含项的系数为

故选：B.

【点睛】本题主要考查了根据二项式展开式求指定项的系数问题，解题关键是掌握二项式展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

8．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻.若每一枚钱币正面向上的概率为，则一卦中恰有三个变爻的概率为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意每抛撒钱币一次得到变爻的概率为，结合独立重复试验概率公式可得，即可得解.

【详解】由题意每抛撒钱币一次得到变爻的概率为，

则一卦中变爻个数，

则一卦中恰有三个变爻的概率.

故选：C.

【点睛】本题考查了独立重复试验概率公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

二、多选题

9．设随机变量的分布列为，，，分别为随机变量的数学期望与方差，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】利用分布列的性质求，而，根据期望、方差公式即可求、、，进而可确定选项的正误.

【详解】因为随机变量的分布列为，

由分布列的性质可知，，解得，

∴，A选项正确；

，即有，B选项正确；

，C选项正确

，D选项不正确.

故选：ABC.

10．高考数学引入多选题后增加了区分度，突出了选拔性.四个选项中有多个选项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.若选项中有个选项是符合题目要求的.随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量则有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【详解】根据题意，由于随机作答，所以所有选择的可能为，再分别求得，，时的期望，逐项判断即可得解.

【点睛】由于随机作答，故各选项被选中的概率相同，

故选一项的可能为，选两项的可能，

选三项的可能为，选，共有15中可能，

若，即选项中有两项正确，

则，故A正确；

当时，，

当时，，

所以正确，

故选：ABC

11．甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据题意，分别求得可判断A，由独立事件概率乘法公式，可判断BCD.

【详解】由已知，，

由已知有，，，

所以，则A正确；

，则B正确；

事件、、不相互独立，故错误，即C错误

，则D正确；

综上可知正确的为ABD.

故选:ABD．

【点睛】本题考查了古典概型概率计算公式的应用，概率乘法公式的应用，属于基础题.

12．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则（    ）

A．an＝－

B．an＝

C．数列为等差数列

D．－5050

【答案】BCD

【分析】利用数列通项和前n项和的关系求解.

【详解】Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，

则Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，

整理得－＝－1(常数)，

所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列．故C正确；

所以＝－1－(n－1)＝－n，故Sn＝－.

所以当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝－，不适合上式，

故an＝故B正确，A错误；

所以，

故D正确．

故选：BCD

三、填空题

13．某病毒会造成“持续的人传人”，即存在传，又传，又传的传染现象，那么，，就被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.7．已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为      ．

【答案】0.83

【分析】设事件“小明与第一代传播者接触”，事件“小明与第二代传播者接触”，事件“小明与第三代传播者接触”，事件“小明被感染”， 则，，，，，，根据全概率公式计算可得答案.

【详解】解：设事件“小明与第一代传播者接触”，事件“小明与第二代传播者接触”，事件“小明与第三代传播者接触”，事件“小明被感染”，

则，，，，，，

所以．所以所求概率为0.83．

故答案为：0.83.

14．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠．若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝        ．

【答案】

【分析】一位乘客是否在20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，，用n次独立重复试验概率公式即可求出P(X＝4).

【详解】一位乘客是否在20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，，

则有，4，5.

所以.

故答案为.

【点睛】独立重复试验的特点：（1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；（2）每次试验的结果相互独立．

四、双空题

15．在某市高二的联考中，这些学生的数学成绩服从正态分布，随机抽取位学生的成绩，记表示抽取的位学生成绩在之外的人数，则        ，的数学期望        ．

附：若随机变量服从正态分布，则，，取，．

【答案】         

【分析】根据题意得出，，可计算出，可知，进而可计算出的值，并利用二项分布的期望公式可计算得出的值.

【详解】由题意，数学成绩服从正态分布，则，，

，，则，

从而数学成绩在之外的概率为，故，

因此，

所以，的数学期望为．

故答案为：；.

【点睛】本题考查利用正态分布原则求概率，同时也考查了二项分布期望的计算，考查计算能力，属于中等题.

五、填空题

16．函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝        .

【答案】21

【详解】在点处的切线方程为：，当时，解得，

所以，，故答案为21.

六、解答题

17．袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一个球,ξ表示所取球的标号.

(1)求ξ的分布列、期望和方差;

(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求a,b的值.

【答案】（1）分布列见解析；E(ξ)D(ξ)

（2）

【详解】本题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力．

（Ⅰ）的分布列为：

所以．

．

（Ⅱ）由，得，即，又，所以

当时，由，得；

当时，由，得．

，或，即为所求．

18．新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是50岁以上人群，该病毒进入人体后有潜伏期．潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间，潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对400个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期平均数为7.2，方差为，如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，50岁以上人数占70%，长期潜伏人数占25%，其中50岁以上长期潜伏者有60人．

(1)请根据以上数据完成列联表，并根据小概率的独立性检验，是否可以认为“长期潜伏”与年龄有关；

单位：人

(2)假设潜伏期X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，现在很多省市对入境旅客一律要求隔离14天，请结合原则通过计算概率解释其合理性．

附：，其中．

若，，，．

【答案】(1)列联表见解析，可以认为“长期潜伏”与年龄有关

(2)答案见解析

【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，与3.841比较后得到结论；

（2）得到，，根据正态分布原则得到，为小概率事件，得到14天是合理的．

【详解】（1）列联表补充如下：

单位：人

零假设：“长期潜伏”与年龄无关，则，

∴根据小概率的独立性检验，可以认为“长期潜伏”与年龄有关．

（2），故，

所以，所以潜伏期超过14天的概率很低，

因此14天是合理的．

19．某人统计了近5年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如下表：

(1)请根据上表提供的数据，用样本相关系数r说明y与x的线性相关程度，样本线性相关系数保留三位小数；（统计中用样本相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱．若相应于变量x的取值，变量y的观测值为，则两个变量的样本相关系数的计算公式为．统计学认为，对于变量x，y，如果，那么负相关很强；如果，那么正相关很强；如果或，那么相关性一般；如果，那么相关性较弱）

(2)求出y关于x的经验回归方程，并预测2023年该网站“双11”当天的交易额．

附：参考公式：，；

参考数据：．

【答案】(1)，变量y与x的线性相关程度很强

(2)，29.9百亿元

【分析】（1）求出，从而代入公式计算出，得到结论；

（2）代入公式求出y关于x的经验回归方程为，代入，预测2023年该网站“双11”当天的交易额.

【详解】（1）由题意，根据表格中的数据，

可得，，

则，

，

所以，

所以变量y与x的线性相关程度很强．

（2）由（1）可得，，，

又由，

所以，则．

可得y关于x的经验回归方程为，令，可得，

即2023年该网站“双11”当天的交易额为29.9百亿元．

20．随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户．某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：

(1)若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取6个，求恰好有3个水果是二等级别的概率；

(2)若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层随机抽样的方法从这500个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，Y表示抽取的优级水果的数量，求Y的分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）设抽到二等级别水果的个数为X，根据题意可得，从而利用二项分布的概率公式可求得结果，

（2）由题意得Y服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3，然后利用超几何分布的概率公式求出相应的概率，从而可求得Y的分布列及数学期望.

【详解】（1）设从500个水果中随机抽取一个，抽到二等级别水果的事件为A，

则，随机抽取6个，设抽到二等级别水果的个数为X，则，

所以恰好抽到3个二等级别水果的概率为．

（2）用分层随机抽样的方法从500个水果中抽取10个，则其中优级水果有3个，非优级水果有7个．现从中抽取3个，则优级水果的数量Y服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3．

则，，

，．

所以Y的分布列如下：

所以．

21．在①，，成等差数列.②，，成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答.

在公比为2的等比数列中，______

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）若选①，根据三个数成等差数列，建立等量关系，求得，进而求得通项公式；若选②，根据，，成等差数列，建立等量关系，求得，进而求得通项公式；

（2）将代入，求得，，裂项之后求和得结果.

【详解】（1）选①：因为，，成等差数列，

所以，

所以，

解得，所以.

选②：因为，，成等差数列，

所以，即，

所以，解得，所以.

（2）因为，

所以，

所以，

所以

.

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有三数成等差数列的条件，等比数列的通项公式，裂项相消法求和，属于中档题目.

22．已知函数

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）若函数在定义域上具有单调性，求实数的取值范围；

（3）求证：

【答案】（1） （2）a≤2．（3）详见解析

【详解】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率等于该点处导数值，再利用点斜式求切线方程，（2）先按单调递增与单调递减分类讨论，再将函数单调性转化为函数导数值恒非负或非正，利用变量分离转化为求对应函数最值，进而确定实数的取值范围；（3）利用导数证明数列求和不等式，一般方法为先构造目标函数（利用前面小题的结论），再代入数列，利用裂项相消法放缩求和，进而得证不等式.

试题解析：（1）当a=1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x+2，（x＞0），

f′（x）=lnx+，f′（1）=1，f（1）=1，

所以求在x=1处的切线方程为：y=x

（2）f′（x）=lnx++1﹣a，（x＞0）．

（i）函数f（x）在定义域上单调递减时，

即a≥lnx+时，令g（x）=lnx+，

当x＞ea时，g′（x）＞0，不成立；

（ii）函数f（x）在定义域上单调递增时，a≤lnx+；

令g（x）=lnx+，

则g′（x）=，x＞0；

则函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；

所以g（x）≥2，故a≤2．

（3）由（ii）得当a=2时f（x）在（1，+∞）上单调递增，

由f（x）＞f（1），x＞1得（x+1）lnx﹣2x+2＞0，

即lnx＞在（1，+∞）上总成立，

令x=得ln＞，

化简得：ln（n+1）﹣lnn＞，

所以ln2﹣ln1＞，

ln3﹣ln2＞，…，

ln（n+1）﹣lnn＞，

累加得ln（n+1）﹣ln1＞，

即命题得证．