2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第二高级中学高一下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第二高级中学高一下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周形成的几何体是

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由旋转体的概念知正方形绕对角线旋转应该得两个圆锥，从而得解.

【详解】如图，正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周形成的几何体有公共底面的两个图锥的几何体．故选D．

【点睛】本题主要考查了旋转体的概念，属于基础题.

2．已知向量，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量的坐标运算公式直接计算即可.

【详解】因为，

所以．

故选：A.

【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.

3．复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（    ）

A．1011 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据虚部的概念求解.

【详解】.

故虚部为

故选：D

4．一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面积为，则球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出平面截球体所得的圆的半径，即可求出球半径，得出体积.

【详解】设球的半径为，平面截球体所得的圆的半径为，

则由题可得，解得，所以,

所以球的体积为.

故选：B.

5．设是两条不同的直线是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若，那么；

②若，那么；

③若，那么；

④若，则，

其中正确命题的序号是（    ）

A．①② B．②③ C．①③ D．②④

【答案】C

【分析】根据空间直线和平面平行、垂直的判定与性质分别进行判断即可．

【详解】对于①，因为，过作平面与交于，所以，

又，则，所以，所以①正确；

对于②，如果，，根据线面垂直与线面平行性质可知与可以垂直，也可以平行，还可以相交，所以②错误；

对于③，如果，根据平面与平面平行的性质可知，所以③正确；

对于④，设平面是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有且，但是，推不出，故④不正确.

故选：C.

6．若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形

【答案】A

【分析】利用向量运算化简已知条件，由此确定正确选项.

【详解】依题意，

,

，

所以，所以三角形是等腰三角形.

故选：A

7．已知，若向量共面，则（    ）

A．2 B． C．3 D．6

【答案】C

【分析】根据所给的三个向量的坐标，写出三个向量共面的条件，点的关于要求的两个方程组，解方程组即可．

【详解】,,，,3,，,6,，三个向量共面，

，

,,,3,,6,

，解得：

故选：C．

8．如图，正方体的棱长为，下面结论错误的是（    ）

A．平面

B．平面

C．异面直线与所成角为

D．三棱锥体积为

【答案】D

【解析】根据线面平行的判定定理，证明A正确；根据线面垂直的判定定理，证明B正确；在正方体中，作出异面直线与所成角，结合题中条件，可判断C正确；根据三棱锥的体积公式，可判断D错.

【详解】A选项，在正方体中，，又平面，平面，所以平面，即A正确；

B选项，连接，，在正方体中，，，平面，平面，

因为平面，平面，

所以，，

又，平面，平面，所以平面，

因此；

同理，

又，平面，平面，

所以平面；即B正确；

C选项，因为，所以即等于异面直线与所成角，

又，即为等边三角形，即异面直线与所成角为，故C正确；

D选项，三棱锥的体积为.故D错；

故选：D.

【点睛】方法点睛：

求解空间中空间位置关系的证明以及空间角、空间距离的方法：

（1）定义法：根据空间中线面平行、线面垂直、空间角等相关概念，结合线面垂直、平行的判定定理及性质等，即可求解；

（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，求出对应的直线的方向向量，以及平面的法向量，结合空间位置的向量表示，空间角的向量求法等，即可求解.

二、多选题

9．已知是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（    ）

A．的夹角是 B．的夹角是或

C．或 D．或

【答案】BC

【分析】由已知可得的最小值为，展开后利用二次函数求最值，即可得到，进一步分析四个选项得答案．

【详解】由题意，，

又的最小值为，的最小值为，

由，

，可得，

则，的夹角是或，故A错误，B正确；

，

或．故C正确，D错误；

故选：BC．

10．如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中正确的是（    ）

A．点的坐标为

B．点关于点对称的点为

C．点关于直线对称的点为

D．点关于平面对称的点为

【答案】BCD

【分析】对于A，根据图示分析即可；对于B，设点关于点对称的点为，再根据为的中点列式求解即可；对于C，根据四边形为正方形判断即可；对于D，根据平面求解即可.

【详解】对于A，由图形及其已知可得：点的坐标为，故A错误；

对于B，由图，，，设点关于点对称的点为，

则，解得，故，故B正确；

对于C，在长方体中，

所以四边形为正方形，与垂直且平分，

即点关于直线对称的点为，故C正确；

对于D，因为平面，故点关于平面对称的点为，即，故D正确.

故选：BCD.

11．如图所示，正方体中，分别在上，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．与异面 D．

【答案】BD

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断两直线的位置关系.

【详解】以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

设正方体棱长为3，则

与不垂直，故A错误；

，故B正确；

，故C错误，D正确.

故选：BD.

12．如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，正确的为

A．

B．截面

C．

D．异面直线与所成的角为

【答案】ABD

【解析】根据线线、线面平行判定和性质逐一判断即可.

【详解】解：因为截面是正方形 ，所以，

又平面

所以平面

又平面,平面平面

截面，故B正确

同理可证

因为，所以，故A正确

又

所以异面直线与所成的角为，故D正确

和 不一定相等，故C错误

故选：ABD

【点睛】考查线线、线面平行的判定和性质以及异面直线所成的角；基础题.

三、填空题

13．如图所示，中，，边AC上的高，则其水平放置的直观图的面积为      ．

【答案】.

【分析】直接根据直观图与原图像面积的关系求解即可.

【详解】的面积为，

由平面图形的面积与直观图的面积间的关系.

故答案为:.

14．设复数，满足，，，则             ．

【答案】

【分析】设，进而根据复数的模的公式计算求解即可.

【详解】设，

则，，，

由于，，

所以，整理得：，

所以

.

故答案为：.

15．在中，若，，点在边上，且，则      ．

【答案】/

【分析】利用余弦定理求得以及，进而求得.

【详解】依题意，

在三角形中，由余弦定理得：

，

在三角形中，由余弦定理得：

.

在三角形中，由余弦定理得：

.

所以.

故答案为：

16．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起．下列说法正确的是        （填上所有正确的序号）．

①不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥平面DEC；

②不论D折至何位置都有MN⊥AE；

③不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥AB；

④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.

【答案】①②④

【分析】连接MN交AE于点P，

对于①，根据面面平行的判定和性质可判断；

对于②，根据线面垂直的判定和性质可判断；

对于③，由NP∥AB可得不论D折至何位置（不在平面ABC内）都不可能有MN∥AB；

对于④，由在折起的过程中，根据线面垂直的判定和性质可判断．

【详解】解：连接MN交AE于点P，则MP∥DE，NP∥AB，

∵AB∥CD，∴NP∥CD.

对于①，由题意可得平面MNP∥平面DEC，∴MN∥平面DEC，故①正确；

对于②，∵AE⊥MP，AE⊥NP，∴AE⊥平面MNP，∴AE⊥MN，故②正确；

对于③，∵NP∥AB，∴不论D折至何位置（不在平面ABC内）都不可能有MN∥AB，故③不正确；

对于④，由题意知EC⊥AE，故在折起的过程中，当EC⊥DE时，EC⊥平面ADE，∴EC⊥AD，故④正确．

故答案为：①②④.

四、解答题

17．如图，已知平面，底面为矩形，分别为的中点.求证：平面.

【答案】证明见解析

【分析】根据线线平行即可由线面平行的判断求解，或者建立空间直角坐标系，根据向量法求证.

【详解】方法一：如图，建立空间直角坐标系，

.

是的中点，

又是平面的一个法向量，

，平面,

平面.

方法二：取中点为，连接,

由于为的中点，所以,

又底面为矩形，所以,

故,

因此四边形为平行四边形，所以,

由于平面,平面,所以平面,

18．已知在直角坐标系中（为坐标原点），，，．

（1）若，，共线，求的值；

（2）当时，直线上存在点使，求点的坐标．

【答案】（1）；（2）或．

【分析】（1）利用，结合向量共线的坐标表示列方程，解方程求得的值.

（2）设点的坐标为，利用，结合向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值，进而求得点的坐标.

【详解】（1）；

∵、、共线，∴

∴

∴．

（2）∵在直线上，∴设

∴

∵

∴

即：

解得：或.

∴或．

∴点的坐标为或．

【点睛】本小题主要考查向量共线、垂直的坐标表示，属于中档题.

19．如图，四棱锥的底面是一个矩形，与交于点是棱锥的高.若，，求锥体的体积.

(1)求四棱锥的表面积；

(2)求四棱锥的体积.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）由题意可得，，再根据勾股定理求得，再根据表面积公式即可求解；

（2）根据椎体的体积公式即可求解.

【详解】（1）因为四棱锥的底面是一个矩形，是棱锥的高，

所以，从而有

在中，，所以.

在中，.

边上的斜高，

边上的斜高.

所以四棱锥的表面积.

（2）由（1）可得，.

所以四棱锥的体积为.

20．已知中三个内角A，B，C满足．

（1）求；

（2）若，b是角B的对边，，求的面积．

【答案】（1）

（2）

【分析】（1）先根据及平方关系，可以求得；

（2）根据三角形的性质及正弦定理可求，，然后利用面积公式可得.

【详解】解：（1）在中，，即，

∴，

由题意得．

两边平方可得，

根据，

可整理为，

解得或（舍去）．

∴．

（2）由，且，

可得，为钝角，

∴，

又，

由正弦定理得，

∴，．

又为钝角，由（1）得．

∴的面积为

综上所述，的面积为．

【点睛】本题主要考查利用正弦定理和面积公式求解三角形问题，解三角形时需要注意三角形性质的使用及面积公式的选择，边角的相互转化是求解的常用策略，侧重考查数学运算和逻辑推理的核心素养.

21．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离Anmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以nmile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.

（1）求线段BC的长度；

（2）求∠ACB的大小；

（3）问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船？

参考数值：

【答案】（1）；（2）15°；（3）.

【分析】（1）在△ABC中，∠CAB＝120°由余弦定理可求得线段BC的长度；

（2）在△ABC中，由正弦定理，可求得sin∠ACB；

（3）设缉私船用th在D处追上走私船，CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中，可求得∠CBD＝120°，再在△BCD中，由正弦定理可求得sin∠BCD，从而可求得答案.

【详解】（1）在△ABC中，∠CAB＝45°+75°＝120°，

由余弦定理，得BC2＝AB2+AC2﹣2AB ACcos∠CAB

22﹣2×（1）×2×（）＝6，

所以，BC.

（2）在△ABC中，由正弦定理，得，

所以，sin∠ACB

.

又∵0°＜∠ACB＜60°，

∴∠ACB＝15°.

（3）设缉私船用th在D处追上走私船，如图，

则有CD＝10t，BD＝10t.

在△ABC中，

又∠CBD＝90°+30°＝120°，

在△BCD中，由正弦定理，得

sin∠BCD

.

∴∠BCD＝30°，

又因为∠ACB＝15°

所以1800﹣（∠BCD+∠ACB+75°）＝180°﹣（30°+15°+75°）＝60°

即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.

【点睛】解三角形应用题的一般步骤：

(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．

(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．

(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．

(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.

22．如图，正方形所在平面与四边形所在平面互相重直，是等腰直角三角形，，，.

（1）求证：平面；

（2）设线段、的中点分别为、，求与所成角的正弦值；

（3）求二面角的平面角的正切值.

【答案】（1）见解析；（2）；（3）.

【分析】（1）证明，，然后证明平面；

（2）取的中点，连接、，证明，说明与所成角为或其补角，在，求解的正弦值即可；

（3）说明为二面角的平面角．设，则，在中与在中，求解二面角的平面角的正切值．

【详解】（1）因为四边形为矩形，则，

因为平面平面，平面平面，平面，

平面，

平面，.

因为为等腰直角三角形，，所以，

又因为，，即，

，因此，平面；

（2）取的中点，连接、，

四边形为正方形，则且，

、分别为、的中点，且，

为的中点，且，且，

则四边形为平行四边形，，

所以与所成的角为或其补角，

由（1）知，平面，平面，，

设，则，，，

在中，.

因此，与所成角的正弦值为；

（3），平面平面，平面平面，平面，平面.

作，交的延长线于，则．从而，平面．

作于，连接，

平面，平面，，

，，平面，

平面，，所以，为二面角的平面角．

，，，，

设，则，，，

在中，，，

在中，.

因此，二面角的平面角的正切值为.

【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角以及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中等题.