2022-2023学年江苏省盐城市滨海县部分学校联考高二下学期5月第二次月考数学试题含答案

2022-2023学年江苏省盐城市滨海县部分学校联考高二下学期5月第二次月考数学试题

一、单选题

1．抛物线的焦点到准线的距离是（    ）.

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【分析】根据抛物线方程及其定义确定焦点到准线的距离.

【详解】由抛物线方程知：，即，

根据抛物线定义知：焦点到准线的距离是.

故选：B

2．某学校参加抗疫志愿服务社团的学生中，高一年级有40人，高二年级有30人，高三年级有30人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了6人，则从高一年级的学生中应抽取的人数为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【分析】利用分层抽样等比例的性质求从高一年级的学生中应抽取的人数.

【详解】由分层抽样等比例性质，从高一年级的学生中应抽取的人数为人.

故选：D

3．在平行四边形中，是线段的中点，若，则的值为（     ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】由向量对应线段的位置及数量关系，用表示出，即可确定参数值.

【详解】由，

所以，则.

故选：C

4．某大学有两个图书馆，学生小李周六随机选择一图书馆阅读，如果周六去图书馆，那么周日去图书馆的概率为0.4；如果周六去图书馆，那么周日去图书馆的概率为0.6.小李周日去图书馆的概率为（    ）

A．0.5 B．0.24        . C．0.16 D．0.36

【答案】A

【分析】根据题设写出对应事件的概率，利用全概率公式求小李周日去图书馆的概率.

【详解】记事件表示小李周六去图书馆，事件表示小李周六去图书馆，事件表示小李周日去图书馆，

则，其中与为互斥事件，

依题意，

由全概率公式得

.

故选：A

5．《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ）

A．6种 B．12种 C．36种 D．72种

【答案】B

【分析】将香菌、新笋、豆腐干看作一个元素，利用捆绑法结合倍缩法求解.

【详解】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素，

此时共有5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，

定序问题用倍缩法，共有种不同的排列方式.

故选：B.

6．一组样本数据在一条直线附近波动，拟合的回归直线记为，满足：.令，得到新样本数据，且，则直线的方程为（    ）

附：.

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用最小二乘法公式求解线性回归方程.

【详解】由，

则直线的方程为.

故选：A.

7．下列说法不正确的是（    ）

A．设随机变量服从二项分布，则

B．已知随机变量服从正态分布且，则

C．小赵、小钱、小孙、小李到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则

D．；

【答案】D

【分析】根据二项分布概率公式可求得A正确；由正态分布曲线的对称性可求得B正确；根据条件概率公式可求得C正确；根据均值和方差的性质可得D错误.

【详解】对于A，，，A正确；

对于B，，，B正确；

对于C，，，，C正确；

对于D，由均值性质知：；由方差性质知：，D错误.

故选：D.

8．已知点P为双曲线的右支上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，若（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用向量运算可得，即，由为的中位线，得到，所以，再根据双曲线定义即可求得离心率.

【详解】取的中点，则由，得，

即；

在中，为的中位线，

所以，

所以；

由双曲线定义知，且，故，

所以，

解得：，

故选：.

【点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.

二、多选题

9．下列命题中，假命题的是（    ）

A．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的70％分位数是7.5

B．若回归方程，则变量与正相关

C．线性回归分析中相关指数刻画回归的效果，若值越大，则模型的拟合效果越好

D．若数据，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为4

【答案】BD

【分析】由百分数定义求数据的70％分位数判断A；根据回归方程、相关指数的意义判断B、D；利用方差的性质求新数据的方差判断D.

【详解】A：，则70％分位数是，对；

B：由变量的系数为负数，故变量与负相关，错；

C：根据相关指数的实际意义知：相关指数值越大，则模型的拟合效果越好，对；

D：若数据，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为，错.

故选：BD

10．一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（    ）

A． B．事件A和事件B互为对立事件

C． D．事件A和事件B相互独立

【答案】ACD

【分析】求得的值判断选项A；举反例否定选项B；求得的值判断选项C；利用公式是否成立判断选项D.

【详解】选项A：.判断正确；

选项B：事件B：第一次向下的数字为偶数, 第二次向下的数字为奇数，

则两次向下的数字之和为奇数.则事件A和事件B不是对立事件.判断错误；

选项C：，则.判断正确；

选项D：，又，,

则有成立，则事件A和事件B相互独立.判断正确.

故选：ACD

11．已知点，，点P为圆C：上的动点，则（    ）

A．面积的最小值为 B．的最小值为

C．的最大值为 D．的最大值为

【答案】BCD

【分析】对于A，点P动到圆C的最低点时，面积的最小值，利用三角形面积公式；对于B，当点P动到点时，取到最小值，通过两点间距离公式即可求解；对于C，当 运动到与圆C相切时，取得最大值，利用正弦值，求角即可求解；对于D，利用平面向量数量积的几何意义进行求解.

【详解】，

圆C是以为圆心，为半径的圆.

对于A，面积的最小值为点P动到圆C的最低点时，，

，故选项A错误；

对于B，连接交圆于点，当点P动到点时，取到最小值为，故选项B正确；

对于C，当 运动到与圆C相切时，取得最大值，设切点为,，，

，故选项C正确；

对于D，，当点P动到点时，取得最大值，即在上的投影，，故选项D正确；

故选：BCD.

12．已知正方体的棱长为1，点为侧面内一点，则（    ）

A．当时，异面直线与所成角的正切值为2

B．当时，四面体的体积为定值

C．当点到平面的距离等于到直线的距离时，点的轨迹为拋物线的一部分

D．当时，四面体的外接球的表面积为

【答案】ABC

【分析】A项可通过找异面直线所成的角的平面角判断；B项先证线面平行，得点到平面的距离为定值，得体积为定值；C项将两个距离具体化，得点到定点的距离等于到定直线的距离；D项利用球的性质得BD即直径，计算表面积.

【详解】正方体的棱长为1，

对于A，如图，CP与AD所成的角即CP与BC所成的角，因为，所以，，，由余弦定理，，由正弦定理，，所以，即CP与AD所成的角的正切值为2，A正确；

对于B，因为，所以平面，所以当即点P在线段上时，点P到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值，B正确；

对于C，点P到平面的距离即点P到直线的距离，点P到直线的距离即点P到的距离，依据抛物线的定义当两距离相等时点P的轨迹为抛物线一部分，C正确；

对于D，当即点P为中点时，因为，所以，又因为，所以DB为四面体BCDP外接球的一条直径，外接球半径，

外接球表面积，D错误.

故选：ABC.

【点睛】思路点睛：根据点是否满足圆锥曲线的定义来判断动点轨迹是否是圆锥曲线；

外接球问题关键找到几何体外接球球心.

三、填空题

13．二项式的展开式中的常数项是           ．

【答案】45

【详解】二项式的展开式中通项公式为.

令．解得.

所以当时，二项展开式的常数项为.

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.

14．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=(0<<2)，则点G到平面D1EF的距离为    .

【答案】

【分析】先证明A1B1∥平面D1EF，进而将问题转化为求点A1到平面D1EF的距离，然后建立空间直角坐标系，通过空间向量的运算求得答案.

【详解】由题意得A1B1∥EF，A1B1⊄平面D1EF，EF⊂平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，则点G到平面D1EF的距离等于点A1到平面D1EF的距离.

以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，A1(2，0，2)，所以，，.

设平面D1EF的法向量为，则，

令x=1，则y=0，z=2，

所以平面D1EF的一个法向量.

点A1到平面D1EF的距离==，即点G到平面D1EF的距离为.

故答案为：.

15．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME—7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．已知为直角顶点，设，，，…，构成数列，令，为数列的前n项和，则            ．

【答案】8

【分析】先根据勾股定理得到，然后得到，利用裂项求和可得.

【详解】由题意：

因，

故，

所以，

，

，

所以.

故答案为：8.

16．已知函数，若对任意两个不相等的正实数，都有，则实数的取值范围是          

【答案】

【分析】设，令，将问题转化为在上单调递增，即在上恒成立，采用分离变量的方式可得，结合二次函数性质可确定，由此可得结果.

【详解】不妨设，

由得：，

令，则在上单调递增，

在上恒成立，，

当，即时，取得最大值，，解得：，

实数的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知等差数列的前项和为，且满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）结合等差数列下标性质可得，再由前项和公式，即可求解；

（2）由（1），再结合错位相减法即可求解；

【详解】（1）设数列的公差为，∵，∴，，∴，

∴，∴.

（2）由（1）可知，

∴数列的前项和为，

，

两式作差，得，

∴.

【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，错位相减法求解数列的前项和，属于中档题

18．甲罐中有4个红球和3个白球，乙罐中有3个红球和2个白球（球除颜色外，大小质地均相同）.

(1)若从甲罐中取出3个球，记为取出的红球的个数，求的分布列和期望.

(2)若从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别表示从甲罐中取出的球是红球，白球；再从乙罐中随机取出一球，表示从乙罐中取出的球是红球.求和.

【答案】(1)分布列见解析，

(2)

【分析】（1）利用超几何分布模型求解；

（2）利用条件概率和全概率公式求解.

【详解】（1）由题可知服从参数的超几何分布.

的取值可以为.

.

的分布列为：

的期望为.

（2）由题意得，

根据全概率公式得.

19．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为．

(1)请完成上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析成绩是否与班级有关；

(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及均值．

附：

【答案】(1)联表见解析，有关；

(2)的分布列见解析，=.

【分析】（1）由题知优秀的人数为，然后可完成表格的填写,并计算得，从而得出结论；

(2)由，，可得分布列，从而计算E()即可.

【详解】（1）解:由题知优秀的人数为（人），

所以列联表如下：

假设 ：成绩和班级无关，

则：>6.635=,

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，

故成绩与班级有关；

（2）解：因为，且 ，

所以的分布列为：

 所以E()=0+1+2+3=.

20．如图，在四棱锥中，底面是菱形，是的中点．

(1)证明：平面；

(2)若直线平面，，且与平面所成的角正弦值为，求锐二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线线平行推出线面平行即可证明.

（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由与平面所成的角正弦值求出平面ACD的法向量，即可求出锐二面角的余弦值.

【详解】（1）证明：连接交于

易证为中点，又是的中点

所以

又 面，且不在面内

故平面

（2）取PC中点为Q，以为坐标原点，为x轴，OC为y轴，OQ为z轴建立空间直角坐标系，设OB=m，则

设平面的法向量为

由，令，有

由与平面所成的角正弦值为

平面ACD的法向量为

则锐二面角的余弦值为

21．已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为2，左顶点为，点是椭圆上一点．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点，直线与直线分别交于点．

①求证：两点的纵坐标之积为定值；

②求面积的最小值．

【答案】(1)

(2)①证明见解析②18

【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得，即可求得椭圆的方程；

（2）①设直线的方程为，联立方程组，得到，进而求得直线的方程得到，，化简，即可求解；

②由三角形的面积公式，结合基本不等式，即可求解.

【详解】（1）由题意，椭圆过点，且，

可得，解得，

所以椭圆的方程为．

（2）①由题意知，可设直线的方程为，

联立方程组，整理得，

设，，可得，，

直线的方程为，

令，可得，同理可得，

所以

．

②由，

当且仅当，或，时等号成立，

所以面积的最小值为．

【点睛】方法点睛：求解圆锥曲线的最值问题的解答策略：

1、若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；

2、当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围

22．已知函数．

(1)若曲线在处的切线与直线平行，求的值；

(2)当时，函数有两个零点.

①求的取值范围；

②证明：．

【答案】(1)

(2)① ；②证明见解析

【分析】（1）根据平行得到切线斜率，然后利用导数几何意义计算即可；

（2）①先将时，函数有两个零点转化为与直线有两个交点，然后判断函数在上的单调性，然后计算极值和区间端点值（或趋势值）即可求得的取值范围.

②通过对数运算并联立方程组得到，然后将待证不等式转化为证明不等式，再构造函数证明即可.

【详解】（1），

．

（2）①令，则．

设，则，

令，得．

当时，；当时，．

函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．

∵，

．

②不妨设，

由题意，取对数．

联立得，

令，则解得．

，

要证只需证，

即，

令，

，

，

即得证．

（其他方法酎情给分）

【点睛】本题第（2）问的①解题关键在于命题转化，将函数零点个数问题转化为两函数图像的交点个数问题；②的关键在于构造齐次式，然后将双变量问题转化为单变量问题进行处理.