2022-2023学年重庆市部分学校高二下学期5月联考数学试题含答案

2022-2023学年重庆市部分学校高二下学期5月联考数学试题

一、单选题

1．现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，3幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ）

A．10种 B．12种 C．20种 D．36种

【答案】A

【分析】根据分类加法计数原理求得正确答案.

【详解】依题意，不同的选法共有种.

故选：A

2．某物体沿直线运动，其位移（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则在这段时间内，该物体位移的平均速度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据平均速度的求法求得正确答案.

【详解】，

所以平均速度为.

故选：B

3．随机变量的分布列为

则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据分布列的性质求出，再根据方差公式可求出结果.

【详解】由，得，

，

.

故选：A

4．已知函数，且，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．

【答案】B

【分析】先求得，由得，再求即可.

【详解】由得，

由得，即，

，

故选：B

5．用0，1，2，3，4可以组成无重复数字的三位数的个数为（    ）

A．16 B．36 C．48 D．60

【答案】C

【分析】根据分步乘法计数原理可求出结果.

【详解】第一步，从中任选一个数字排在百位，有种；

第二步，从剩下的个数字中任选个排在十位和个位，有种，

根据分步乘法计数原理得共有个无重复数字的三位数.

故选：C

6．某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ）

A．720种 B．1440种 C．1560种 D．2520种

【答案】C

【分析】先对图中不同的区域命名，分与布置相同的花卉、与布置不同的花卉两种情况，再运用分步计数和分类计数的方法从开始计数即可.

【详解】

如图，不同的布置方案分两类：

当与布置相同的花卉时，

先安排，有6种不同的选择；再安排与，有5种不同的选择；再安排，有4种不同的选择；最后安排，有4种不同的选择，共有种.

当与布置不同的花卉时，

先安排，有6种不同的选择；再安排与，有种不同的选择；再安排,有3种不同的选择；最后安排，有3种不同的选择，共有种.

所以不同的布置方案有种.

故选：C

7．已知是定义在R上的奇函数，的导函数为 ，若 恒成立，则的解集为（    ）

A．  B． C．  D．

【答案】D

【分析】根据函数的单调性求解.

【详解】令函数，则 ，

因为 所以. 是增函数，

因为是奇函数，所以，，

所以的解集为，即≥的解集为；

故选：D.

8．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而可得a，b，c的大小．

【详解】令，则，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

因为，

所以，即.

故选：D.

二、多选题

9．已知名同学排成一排，下列说法正确的是（    ）

A．甲不站两端，共有种排法

B．甲、乙必须相邻，共有种排法

C．甲、乙之间恰有两人，共有种排法

D．甲不排左端，乙不排右端，共有种排法

【答案】ACD

【分析】A选项先排甲，再排其他人即可判断；B选项利用捆绑法进行排序；C选项先排列两人在甲乙之间，再排列其余两人；D选项采用间接法进行排列计算.

【详解】甲不站两端，优先将甲排在中间四个位置，故有种排法，A正确；

甲、乙必须相邻，用捆绑法进行排列，共有种排法，B错误；

甲、乙之间恰有两人，先其余四人任选两人排在甲乙之间，剩余两人可排在甲或乙旁边，也可分别排列在甲乙两边，共有种排列法，C正确；

名同学排成一排共有种排法，甲排左端有种排法，乙排右端有排法，其中甲乙同时在左右两端有种，故用间接法可知甲不排左端，乙不排右端共有种排法，D正确.

故选：ACD

10．已知为两个随机事件，且，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则

B．

C．若B和C是两个互斥事件，则

D．当时，

【答案】ACD

【分析】根据条件概率的公式和性质逐一判断即可.

【详解】因为，所以．A正确．

，B错误．

若B和C是两个互斥事件，则，C正确．

因为，所以．

，D正确．

故选：ACD.

11．已知，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ACD

【分析】对于A，令，由此即可判断；对于BD，因为， 然后根据二项式定理分别求出，由此即可判断；对于D，分别令，联立化简即可判断.

【详解】对于A，令，则，故A正确；

对于B，因为，

所以，B错误；

对于C，令，则，

令，则 ，

所以，故C正确；

对于D，由选项B可知，，

，

所以

，故D正确.

故选：ACD.

12．已知函数，下列结论正确的是（    ）

A．在上单调递增

B．的最大值为1

C．当时，

D．若函数恰有2个零点，则的取值范围为

【答案】BCD

【分析】对于选项AB，通过对函数求导，直接求出函数的单调区间和最大值，即可判断出选项AB的正误；对选项C，通过构造函数，利用的单调性即可判断出选项C的正误；对于选项D，令，从而得到，再利用的单调性即可判断出选项D的正误.

【详解】选项AB，易知的定义域为，，所以，

当时，，即在区间上单调递增，

当时，，即在区间上单调递减，

则，故选项A错误，选项B正确；

选项C，令，则 ，因为，所以，即在区间上单调递增，

则，即，故选项C正确；

选项D，令，由，得到，

因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，，

当趋近于0时，趋近于0，当趋近于时，趋近于0，

所以时，恒有，所以，

如图1，当或时，无解，

则无零点，不合题意；

当时，时，，由，得到，即时，

则有且只有一个零点，不合题意；

当时，有两个解，

因为，如图2，有且仅有两解，，无解，

则有且两个零点，符合题意；

所以恰有两个零点时，，故选项D正确.

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：

（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；

（2）求导数，得单调区间和极值点；

（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．

三、填空题

13．已知随机变量，则          ．

【答案】

【分析】根据二项分布的方差公式求解即可．

【详解】因为，所以.

故答案为：

14．某科研院校培育枇杷新品种，新培育的枇杷单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种枇杷100000个，估计单果质量不低于28g的枇杷有      个.

附：若，则，，.

【答案】

【分析】根据正态分布特殊区间的概率可求出结果.

【详解】因为，所以，，

所以

，

所以估计单果质量不低于28g的枇杷有个.

故答案为：.

15．已知函数，直线．若A，B分别是曲线和直线l上的动点，则的最小值是         

【答案】

【分析】求出与平行的切线为，从而得到与的距离即为的最小值，得到答案.

【详解】，设在点处的切线与平行，即斜率为-2，

所以，解得，

则在点处的切线方程为，即

则与的距离即为的最小值，

即，故的最小值为.

故答案为：

16．某地区一个家庭中孩子个数的情况如下：

每个孩子的性别是男是女的概率均为，且相互独立，则一个家庭中男孩比女孩多的概率为        ．

【答案】

【分析】家庭孩子的个数不同将其分为4个互斥事件，在每个互斥事件的条件下发生男孩比女孩多的事件可用条件概率计算，再用全概率计算家庭中男孩比女孩多的概率.

【详解】记事件：“一个家庭有个孩子”，

事件：“一个家庭的男孩比女孩多”．

，，，

由全概率公式得:

．

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数．曲线在处的切线方程是．

(1)求的值；

(2)求的极值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导后，利用导数的几何意义可得，求解即可；

（2）由（1）知，求导判断单调性，从而可求解.

【详解】（1），

所以曲线在处的切线斜率为，

又，

因为在处切线的方程为，

所以，解得.

（2）由（1）知，

令得或，

所以在上单调递增，

在上单调递减，

在上单调递增，

所以.

18．某校为校级元旦晚会选拔主持人，现有来自高一年级的参赛选手5名，其中男生2名：高二年级的参赛选手5名，其中男生3名.从这10名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛.

(1)设事件A为“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级”，求事件A发生的概率；

(2)设为选出的4人中男生的人数，求随机变量的分布列.

【答案】(1)

(2)分布列见解析

【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求得答案；

（2）确定X的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列.

【详解】（1）由题意可知，从这10名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛共有种选法，

事件A的选法共有种，

故.

（2）由题意知X的取值可能为，

由于，

故X的分布列为：

19．某数师某天需要给甲、乙2个班级上课，每个班级上1节课，已知一天共7节课，上午4节，下午3节．

(1)若要求该教师先给甲班上课，再给乙班上课，试问不同的课表安排有多少种？

(2)若要求该教师不能连上节课（第4节和第5节不算连上），试问不同的课表安排有多少种？

【答案】(1)种

(2)种

【分析】（1）根据组合数的知识求得正确答案.

（2）利用对立事件的方法，结合排列数求得正确答案.

【详解】（1）若要求该教师先给甲班上课，再给乙班上课，

则不同的课表安排有种.

（2）如果没有特殊要求，则排课方法有种，

其中连上节课的可能是节、节、节、节，节，

则连上节课的方法数有种，

所以不连上节课的方法有种.

20．为庆祝共青团成立一百周年，某校高二年级组织了一项知识竞答活动，有三个问题.规则如下：只有答对当前问题才有资格回答下一个问题，否则停止答题：小明是否答对三个问题相互独立，答对三个问题的概率及答对时获得相应的荣誉积分如下表：

(1)若小明随机选择一道题，求小明答对的概率；

(2)若小明按照的顺序答题所获得的总积分为，按照___________（在下列条件①②③中任选一个）的顺序答题所获得的总积分为，请分别求的分布列，并比较它们数学期望的大小.

①；②：③

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）根据全概率公式计算可求得结果；

（2）首先确定和所有可能的取值，根据独立事件概率乘法公式依次确定每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可得期望，从而得到数学期望的大小关系.

【详解】（1）记事件：小明随机选择一道题并答对；事件：小明选择问题；事件：小明选择问题；事件：小明选择问题；则，且两两互斥；

事件分别为：小明答对问题；

由题意知：，，，；

.

（2）由题意知：所有可能的取值为，

；；；；

的分布列为：

则数学期望；

若选条件①，所有可能的取值为，

；；；；

的分布列为：

则数学期望，

；

若选条件②，所有可能的取值为，

；；；；

的分布列为：

则数学期望；

；

若选条件③，所有可能的取值为，

；；

；；

的分布列为：

则数学期望；

.

21．甲，乙两人进行了一次羽毛球比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利比赛结束．假设在一局比赛中若甲先发球，则这局甲获胜的概率是；若乙先发球，则这局比赛甲获胜的概率是．已知第1局比赛甲先发球，以后每局比赛由前1局获胜的一方先发球，且各局比赛结果相互独立．每局比赛都分出胜负．

(1)求比赛只进行3局就结束的概率；

(2)记比赛结束后，甲获胜的局数为X，求X的分布列及期望．

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，期望为.

【分析】（1）分两种情况（甲获胜和乙获胜）讨论，利用独立事件的概率公式求解；

（2）由题意可知X的所有可能取值是0，1，2，3，再求出对应的概率即得解.

【详解】（1）比赛只进行3局就结束的情况有两种：

第一种情况是甲3：0获胜，其概率，             

第二种情况是乙3：0获胜，其概率，       

故比赛只进行3局就结束的概率.

（2）由题意可知X的所有可能取值是0，1，2，3．

，            

，            

，

，           

，                   

则X的分布列为

故

22．已知函数，．

(1)判断和的单调性；

(2)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，结合导函数的符号，求得函数的单调区间；再求得，令，求得，得到的单调性与最大值，进而求得的单调性；

（2）根据题意转化为在内恒成立，令，求得，再，利用导数求得的单调性，进而得到在和中各存唯一的，使得， ，进而得出函数的单调区间，结合，求得最小值，即可求解.

【详解】（1）解：由函数，可得，

若时，，在定义域上单调递减；

若时，令，解得，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

又由函数的定义为，且，

令，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当时，取得极大值，也为最大值，

所以，所以在上单调递减.

（2）解：由不等式，即在内恒成立，

即在内恒成立，

令，可得，

令，可得，

令，可得；令，可得，

所以在单调递减，在单调递增，

又由，

，，

所以在 中存唯一的使得，在中存在唯一的使得，

即有，

因为在单调递减，在单调递增，

所以当时，；当时，；

当时，；当时，；

又由，

所以当时，；当时，；

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以时，，

时，，

因为，可得

所以，即，所以，

代入和，则有，

同理可得，

所以，所以函数在上的最小值，既可以在处取得，也可以在处取得，所以，

所以，即实数的取值范围是.

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．