2022-2023学年河南省开封市五校高二下学期期末联考数学试题含答案

2022-2023学年河南省开封市五校高二下学期期末联考数学试题

一、单选题

1．2023《中国好声音》报名即将开始，选手们可通过拨打热线电话或登陆官网两种方式之一来报名．现有甲､乙､丙三人均要报名参加，则不同的报名方法有（    ）

A．4种 B．6种 C．8种 D．9种

【答案】C

【分析】根据题意，结合分步计数原理，即可求解.

【详解】由题意，每人选择的方式有种，根据分步计数原理，可得总共有种．

故选：C．

2．若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用基本不等式等号成立的条件可求得取最大值时的值.

【详解】因为正实数、满足，则，可得，

当且仅当时，即当时，等号成立.

故选：A.

3．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先化简集合，再利用交集运算即可得解.

【详解】因为，

，

所以.

故选：D.

4．若幂函数的图象不经过坐标原点，则实数的取值为（    ）

A． B． C．-1 D．1

【答案】B

【分析】根据幂函数的定义，解出或，，分别验证和时图像是否经过原点，即可得到答案.

【详解】由题意有，解得或，

①当时，，函数图象过原点，不合题意；

②当时，，函数图象不过原点，合题意.故.

故选：B

5．函数的图象大致是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】C

【分析】由函数的奇偶性和区间内的取值范围，利用排除法求解.

【详解】由，解得，所以函数定义域为，

，是偶函数，排除A，B；

由时，，排除D.

故选：C

6．已知函数在上单调递减的概率为，且随机变量，则（附：若，则，，（    ）

A．0.1359 B．0.01587 C．0.0214 D．0.01341

【答案】C

【分析】根据二次函数的单调性可求得，从而可得，再根据三段区间法即可求解.

【详解】根据题意在上单调递减，可得，故，，，

所以

.

故选：C.

7．已知函数设，若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分类讨论，分别解不等式求出a的取值范围.

【详解】当时，，

，当时，，

，当时，，则，

当时，，

（当且仅当时等号成立），当时，，（当且仅当时等号成立），当时，，

则.

综上，

故选：A．

8．已知函数，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先判断出为偶函数，再求导确定单调性，借助指数、对数运算比较的大小，再由单调性即可求解.

【详解】显然，定义域为R，由可知函数为偶函数，又当时，，有，

可知函数的减区间为，增区间为，又由，

，由，可得．

故选：D.

二、多选题

9．有下列式子：①；②；③；④.其中，可以是的一个充分条件的序号为（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】BCD

【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】，，

，，.

②③④是的充分条件.

故选：BCD.

10．下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】利用常见函数的奇偶性和单调性逐一判断即可.

【详解】A选项中：设，其定义域为，，故为偶函数，

且幂函数在上是减函数，故A正确；

B选项中，设，其定义域为，，则为偶函数，

且，则其在上单调递减，故B正确；

C选项中，设，其定义域为，则，

故是偶函数，且函数在上单调递减,

函数在定义域上为增函数，

所以在 上单调递减,故C正确；

D选项中，设，是，

且其定义域为，关于原点对称，故其为奇函数，故D错误.

故选：ABC.

11．已知函数若互不相等的实数满足，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】首先根据题意画出函数的图象，得到，，即可得到答案.

【详解】函数的图象图所示：

设，因为，

所以，

当时，，时，，

所以，即.

故选：CD

12．已知函数对都有，若函数的图象关于直线对称，且对，，当时，都有，则下列结论正确的是（   ）

A． B．是偶函数

C．是周期为4的周期函数 D．

【答案】ABC

【分析】由的图象关于直线对称，得到关于轴对称，赋值后得到，进而得到，判断出ABC均正确；

根据，，当时，都有，得到在上单调递增，结合函数的周期及奇偶性得到，，判断出.

【详解】的图象关于直线对称，故关于轴对称，是偶函数，B正确；

中，令得：，

因为，所以，解得：，A正确；

故，是周期为4的周期函数，C正确；

对，，当时，都有，

故在上单调递增，又是周期为4的周期函数，且是偶函数，

故，，

因为，

所以，D错误.

故选：ABC

三、填空题

13．已知定义在上的函数的周期为2，当时，，则        .

【答案】1

【分析】由周期性可知，代入函数解析式求值即可.

【详解】由题设，是周期为2的偶函数，

所以

.

故答案为：1

14．已知函数，且，则的值为        .

【答案】

【分析】令，有，为奇函数，则有，可求的值.

【详解】，

令，函数定义域为R，

，为奇函数，，

则，.

故答案为：

15．已知实数，则的最小值为            ．

【答案】/

【分析】由换元法与基本不等式求解，

【详解】令，

（当且仅当，即时，取等号）．

故答案为：

16．已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是      .

【答案】

【分析】根据已知关系式可构造函数，可知在上单调递增，将所求不等式转化为，利用单调性可解不等式求得结果.

【详解】令，则，所以在上单调递增，

由，得，即，

又在上单调递增，所以，解得.

所以不等式的解集是.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：此类问题要结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而解不等式即可.

四、解答题

17．设（，且）.

(1)若，求实数的值及函数的定义域；

(2)求函数的值域.

【答案】(1)，定义域为；

(2)见解析

【分析】（1）根据，解出值，再根据对数真数大于0即可求出其定义域；

（2）对原函数化简得，再结合复合函数的单调性和值域对进行分类讨论即可.

【详解】（1）因为，且，

所以，解得，

所以的定义域需满足，

解得，即函数的定义域为.

（2）因为

则，

由，当或时，，

根据二次函数的性质可得，

①当时，在上单调递增，函数的值域为，

②当时，在上单调递减，函数的值域为.

18．生态环境部､工业和信息化部､商务部､海关总署､市场监管总局等五部门联合发布《关于实施汽车国六排放标准有关事宜的公告》，明确提出自2023年7月1日起，全国范围全面实施国六排放标准阶段，禁止生产､进口､销售不符合国六排放标准阶段的汽车．为调查市民对此公告的了解情况，对某市市民进行抽样调查，得到的数据如下表：

(1)根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为对此公告的了解情况与性别有关？并说明原因；

(2)以样本的频率为概率．在全市随机抽取5名市民进行采访，求这5名中恰有3名为“了解”的概率．

附：

参考公式：，其中．

【答案】(1)认为对此公告的了解情况与性别有关，理由见解析

(2)

【分析】（1）根据题意，求得，结合附表，即可得到结论；

（2）由样本数据可知，“了解”的概率为，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解.

【详解】（1）解：假设为：对此公告的了解情况与性别相互独立，即对此公告的了解情况与性别无关，

由题意，可得，

所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

即认为对此公告的了解情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于.

（2）解：由样本数据可知，“了解”的概率为，

设这5名市民中恰有3名为“了解”为事件，则．

19．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)若恰有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；

(2)

【分析】（1）令，，利用复合函数单调性即可得到答案；

（2）利用判别式和韦达定理即可得到，解出即可.

【详解】（1）令，，则，

当时单调递减，当时，单调递增，

是单调递增函数，，，

的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2）令，，若恰有两个不同的零点，

即在上恰有两个不同的零点，

令

所以，

解得或，即实数的取值范围是.

20．为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动.这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名.

(1)求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率；

(2)设表示选出的3人中外科医生的人数，求的均值与方差.

【答案】(1)

(2)，.

【分析】（1）首先计算出所有基本事件数，再分别求出“选出的外科医生人数多于内科医生人数”包含的各事件的概率，利用互斥事件的加法公式即可求得结果；

（2）得到X的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式和方差公式进行求解即可．

【详解】（1）推荐的6名医生中任选3名去参加活动基本事件总数，

这6名医生中，外科医生2名，内科医生2名，眼科医生2名，

设事件表示“选出的外科医生人数多于内科医生人数”，

表示“恰好选出1名外科医生和2名眼科医生”，表示“恰好选出2名外科医生”，

，互斥，且，

，，

选出外科医生人数多于内科医生人数的概率为；

（2）由于从6名医生中任选3名的结果为，

从6名医生中任选3名，其中恰有名外科医生的结果为，，那么6名中任选3人，

恰有名外科医生的概率为，

所以，，，

.

21．已知函数，且曲线在点处的切线与x轴平行．

(1)求实数a的值和的单调区间；

(2)若，且，证明：．

【答案】(1)；的单调递增区间为和，单调递减区间为

(2)证明见解析

【分析】（1）对求导，由可求出实数a的值，结合导数与单调性关系即可求解的单调区间；

（2）构造函数，利用导数判断的单调性，得到在上恒成立，即可证明，再结合的单调性，即可证明.

【详解】（1），，

由题可知，即，

，

当或时，，当时，，

的单调递增区间为和，单调递减区间为；

（2）证明：由（1）可知，

设，则，

，，在上单调递增，

，在上恒成立，即对一切恒成立，

，

，

在上单调递增，且，，，即．

22．已知函数．

(1)求的解析式；

(2)若对任意恒成立，求实数t的取值范围；

(3)已知函数，其中，记在区间上的最大值为N，最小值为n，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用凑配法，求函数的解析式；

（2）化简不等式，并转化为，通过换元转化为求函数的最大值，即可求的取值范围；

（3）首先化简函数，利用导数求函数的最大值和最小值，设，分情况讨论求函数的取值范围.

【详解】（1），

即；

（2）由

，即

令，则，

设，则，

故在区间上单调递增，

∴，

故t的取值范围为；

（3），

，由可得，，

由可得，则函数在区间上单调递减，在上单调递增，

所以当时，，

又∵，当时，，

令，

当时，，

∵，

当时，，

综上所述，的取值范围．