2022-2023学年河南省开封市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年河南省开封市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程.

【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，

又直线经过点，所以直线的方程为，即.

故选：D

2．设随机变量，，则（    ）

A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.7

【答案】B

【分析】利用正态曲线的对称性可求答案.

【详解】因为，，

所以，所以.

故选：B.

3．直线与椭圆交于两点，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为（    ）

A．10 B．16 C．20 D．不能确定

【答案】C

【分析】由图形结合椭圆定义可得答案.

【详解】设椭圆两个焦点为，由题可得，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为.

故选：C

4．若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A，，因此向量共面，故不能构成基底，故A错误；

对于B，，因此向量共面，故不能构成基底，故B错误；

对于C，假设向量共面，则，

即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；

对于D，，因此向量共面，故不能构成基底，故D错误；

故选：C.

5．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．已知，依据小概率值的独立性检验，以下结论正确的是（    ）

A．变量与独立

B．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05

C．变量与不独立

D．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05

【答案】A

【分析】根据作出判断.

【详解】由于，故变量与独立，A正确，BCD均错误.

故选：A

6．已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，求得圆心关于直线的对称点，即可得到结果.

【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，

所以圆的标准方程为.

故选：A

7．已知函数的极小值为，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】先求导数，利用极小值可求答案.

【详解】因为，所以；

当时，，为减函数，没有极值.

当时，由得；

时，，为增函数；

时，，为减函数；

时，，为增函数；

所以当时，有极小值，，解得.

故选：C.

8．“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，该数列满足递推关系：，．已知数列为“斐波那契”数列，为数列前项的和，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据递推关系求得.

【详解】，

，

，

……

以此类推，.

故选：D

二、多选题

9．下表是2022年某市1～5月份新能源汽车销量（单位：千辆）与月份的统计数据，

由表中数据求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．与正相关

C．由线性回归方程估计，月份每增加1个月，销量平均增加0.7千辆

D．由已知数据可以确定，6月份该市新能源汽车销量一定为8.1千辆

【答案】ABC

【分析】A选项利用样本中心在回归直线方程上即可判断；对于利用线性回归方程即可判断；对于利用线性回归方程的意义即可判断.

【详解】由得样本中心坐标，

代入，得，解得故A正确；

由线性回归方程的系数是，知与正相关，且月份每增加1个月，销量平均增加0.7千辆，故、正确；

线性回归方程只能预测趋势，不能确定销量，故错误.

故选：.

10．若圆锥曲线，且的一个焦点与抛物线的焦点重合，则（    ）

A．

B．的离心率

C．为双曲线，且渐近线方程为

D．与的交点在直线上

【答案】BD

【分析】由题可得的焦点为.则圆锥曲线为双曲线，可判断各选项正误.

【详解】A选项，抛物线的焦点为，则焦点为，则圆锥曲线为双曲线，且，则.故A错误；

B选项，由A分析可知，，故B正确；

C选项，由A分析可知渐进线方程为：，故C错误；

D选项，联立，方程有，

由可知，则，即与的交点在直线上，故D正确.

故选：BD

11．已知平行六面体中，，与的交点为，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据空间向量基底法相关性质进行图形关系运算与模的运算.

【详解】如下图所示，，故A正确，B错误；

由平方得，

，

所以，故C正确，D错误.

故选：AC

12．人类的四种血型与基因类型的对应为：型的基因类型为，型的基因类型为或，型的基因类型为或，型的基因类型为，其中，和是显性基因，是隐性基因．则下列说法正确的是（    ）

A．若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有18种

B．若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有26种

C．若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为

D．若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为

【答案】BC

【分析】若父母的血型不相同，列出所有情况算数即可判断A，B；若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，可得父亲的基因类型及计算出相应概率，再根据父亲、母亲的基因类型可得孩子的基因类型及计算出相应概率，进而可判断C，D.

【详解】若父母的血型不相同，

当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，，共5种；

当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；

当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；

当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；

当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；

当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，，共5种，

所以父母血型的基因类型组合有种，故A错误，B正确；

若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，即基因类型为，

则父亲血型的基因类型可能是，，，其对应的概率分别为，，，

当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，，

对应的概率分别为，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为；

当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，，

对应的概率分别为，，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为；

当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，，

对应的概率分别为，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为；

综上，若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为，故C正确，D错误.

故选：BC

三、填空题

13．在的展开式中的常数项为       .

【答案】

【分析】写出通项公式，给r赋值即可得出．

【详解】的通项公式为：Tr+1（-1）rx6﹣2r．

令6﹣2r＝0

解得r＝3，

∴（-1）320，所以常数项为-20．

故答案为-20．

【点睛】本题考查了二项式定理的应用，写出通项是关键，属于基础题．

14．已知为等比数列前项的和，且，则      ．

【答案】

【分析】先求出，设出公比，得到方程，求出，从而得到首项，利用求和公式求出答案.

【详解】由可得，设公比为，

则，解得，则，

则.

故答案为：

15．在端午节假期间，某单位要安排某科室的3名男职工和2名女职工进行3天假期值班（分白班和夜班，每班1名职工），其中女职工不值夜班，男职工可以值白班和夜班，且每个人至少要值一次班，则不同的安排方法共有      种（用数字作答）．

【答案】252

【分析】分类讨论白班是否有男职工，结合间接法以及分步乘法计算原理运算求解.

【详解】1.若白班均为女职工，则不同的安排方法共有种，

可知晚班均为男职工，则不同的安排方法共有种，

则不同的安排方法共有种；

2.若白班有男职工，则不同的安排方法共有种，

①当值白班的男职工不值晚班时，则不同的安排方法共有种；

②当值白班的男职工也值晚班时，则不同的安排方法共有种；

则不同的安排方法共有种；

综上所述：不同的安排方法共有种.

故答案为：252.

16．已知函数，则的最大值为      .

【答案】

【分析】求得函数的导数，利用导数求得函数在一个周期内的单调性，进而求得函数的最值，得到答案．

【详解】由题意，函数，则，

令，即，解得，

当时，的单调增区间为，单调减区间为，

又由，，

可得在一个周期内，函数最大值为，即函数的最大值为.

故答案为．

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的最值问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性与极值（最值）之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

四、解答题

17．已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上．

(1)求圆的标准方程；

(2)求与直线平行且与圆相切的直线方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出线段AB的中垂线方程与直线l的方程联立方程组求得圆心坐标，再求出半径即得圆标准方程，也可用一般方程求解．

（2）设出直线方程，由圆心到切线的距离等于半径求得参数值，得切线方程．

【详解】（1）的中点为，，所以线段的中垂线方程为，

由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上，

所以它的坐标是方程组的解，解之得

所以圆心的坐标是，圆的半径，

所以圆的标准方程是．

（2）设所求直线方程为，圆心到直线的距离，

所以，即，所以所求直线方程为．

18．已知等差数列满足．

(1)求的通项公式；

(2)记为的前项和，求的最小值及取得最小值时的值．

【答案】(1)

(2)取6或7，最小值为

【分析】（1）根据递推公式,带入求得首项.由递推可得作差即可得等差数列的公差,即可得等差数列的通项公式

（2）先求得等差数列的前项和,可得的通项公式,即可求最小值.

【详解】（1）由已知为等差数列，记其公差为，

①当时，所以两式相减可得,

②当时，，所以．

所以，．

（2），

所以，当取与最接近的整数6或7时，最小，最小值为—21．

19．某商场进行有奖促销，一次性消费5000元以上的顾客可以进行线上抽奖，游戏规则如下：盒中初始装有2个白球和1个红球．每次从盒中有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮，如果某轮取到的两个球都是红球，则记该轮中奖并停止抽球；否则，在盒中再放入一个白球，然后进行下一轮抽球，如此进行下去，最多进行三轮．已知顾客甲获得了抽奖机会．

(1)记甲进行抽球的轮次数为随机变量，求的分布列；

(2)按照三轮中奖概率由小到大分別发放代金券1500元、500元、200元，求甲抽取代金券金额的期望．

【答案】(1)的分布列为：

(2)100元

【分析】（1）（2）综合应用离散型随机变量的分布列和数学期望的知识即可求得结果.

【详解】（1）依题意，的取值可能为1，2，3，则

，

，

，

所以的分布列为：

（2）记甲抽取代金券的金额为随机变量，的取值可能为200，500，1500，0，则

，

，

，

，

所以，所以甲抽取代金券金额的期望为100元．

20．如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，四棱锥的体积为，的面积为．

(1)求到平面的距离；

(2)设为的中点，，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等体积法即可求解；（2）通过建立空间直角坐标系求解.

【详解】（1）四棱锥的体积为，底面是菱形，

所以三棱锥的体积为，

设到平面的距离为，

所以，．

（2）因为为的中点，，

所以，

又因为平面平面，平面，

所以平面，

又平面，所以，

因为侧棱底面，平面，

所以，

又，平面，平面，

所以平面，

又平面，所以，．

如图，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，

由（1）知，平面，，

所以，

则

，，，

易知平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，

则即,

取，则平面的一个法向量为．

所以，

所以平面与平面夹角的余弦值为．

21．已知点在圆上运动，过点作轴的垂线段为垂足，为线段的中点（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）．

(1)求点的轨迹方程；

(2)经过点作直线，与圆相交于两点，与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程．

【答案】(1)点的轨迹是椭圆，方程为

(2)或

【分析】（1）利用相关点法求解点的轨迹方程，得到点的轨迹为椭圆；

（2）考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，利用垂径定理得到，联立直线与椭圆方程，由弦长公式求出，从而列出方程，求出答案.

【详解】（1）点，点，则点，由点是的中点，得，，

因为在圆上，所以，

可得，即，所以点的轨迹是椭圆。

（2）若直线的斜率不存在，则，

将代入中，解得，则，

将代入中，解得，则，

而，舍去；

若直线的斜率存在，设为，则，

由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，

则，

联立得，

设，，则，，

，

由，

得，解之得．

综上所述，直线的方程为或．

22．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直．

(1)求的值及切线的方程；

(2)证明：．

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）由切线的几何意义和两直线垂直时斜率的关系即可得答案.

（2）先对函数求导，分析导数可求出函数的最小值，因为最小值大于零，所以.

【详解】（1），

因为函数的图象在点处的切线与直线垂直，

所以，解之得，

又，所以切线的方程为，

即．

（2）由（1）知，，，

令，，

所以在区间上单调递增，

又，，

所以在区间上有唯一实根，且，

当时，，当时，，

从而当时，取得最小值，

由，得，，

所以，所以成立．