2022-2023学年江西省吉安市高二下学期期末教学质量检测数学试题含答案

2022-2023学年江西省吉安市高二下学期期末教学质量检测数学试题

一、单选题

1．已知函数，则（    ）

A． B． C．6 D．

【答案】B

【分析】求导，可得，再利用导数的定义求解即可.

【详解】因为函数，

所以，则，

故    

，

故选：B.

2．已知随机变量，则（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据超几何分布的均值公式计算可得答案.

【详解】由题意知，故.

故选：A.

3．记为等差数列的前项和，，，则（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】C

【分析】结合等差数列的性质求解即可；

【详解】（法一）数列为等差数列，

有，，成等差数列，

，

解得，

故选：C.

（法二）由题意知，，，

解得，，

，

故选：C.

4．某校高二年级组织春游，已知该校1~8班每班30人，9~20班每班40人，且1~8班前往“庐山”景区，9~20班前往“武功山”景区.若游客对“庐山”景区的满意度为，对“武功山”景区的满意度为，现从该校随机抽取一名高二学生，则对所游景区感到满意的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算作答.

【详解】设“任抽一名高二学生对所游景区感到满意”，“抽到1~8班的学生”，“抽到9~20班的学生”，

，

，

所以.

故选：D

5．若动点在曲线上，则动点到直线的距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】转化为在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，利用导数的几何意义求出切点的坐标，再根据点到直线的距离公式可求出结果.

【详解】设，由题意知，

则在点处的切线斜率为，

当在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，

由，得，则，

所以点到直线的距离.

所以动点到直线的距离的最小值为.

故选：A

6．已知函数，在正项等比数列中，，则（    ）

A．1011 B．1012 C．2023 D．2024

【答案】C

【分析】由等比数列的性质可得，求得，进而可得答案.

【详解】由题意知，

由等比数列性质可得，

所以，

，

故选：C.

7．赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，光洁美观，已被列为全国十一大优势农产品之一，荣获“中华名果”等称号.某脐橙种植户为成立一个果园注入了启动资金800万元，已知每年可获利，但由于竞争激烈，每年年底需要从利润中取出100万元进行技术改造和广告投入，方能保持原有的利润率，则至少经过（    ）年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标？

（参考数据：，，）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】D

【分析】首先根据条件找到关于果园资金的递推公式，再根据递推公式求通项公式，再根据，结合对数不等式，即可求解.

【详解】设经过年之后，该果园的资金为万元，

由题意知，，

又，，

可知，数列为首项为，公比为的等比数列，

，

即，

令，可得，，

，

.

故选：D.

8．若定义在上的可导函数满足，，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据不等式构造函数，利用导数判断其单调性，利用单调性比较大小可得答案.

【详解】因为，所以构造函数，

所以

，则在上单调递减，

又，

所以，即，故A错误；

，即，故B正确；

，即，故C错误；

，即，故D错误.

故选：.

【点睛】关键点点睛：根据不等式构造函数，利用函数的单调性比较大小是解题关键.

二、多选题

9．若，，相互独立，，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】由于，，相互独立，，故选项A可判定；，故选项B可判定；故选项C可判定；，故选项D可判定.

【详解】，A正确；

，B正确；

，C错误；

，D正确，

故选：ABD.

10．已知函数，则（    ）

A．有1个极值点 B．的对称中心是

C．有2个零点 D．的一条切线方程是

【答案】BD

【分析】对于A，利用导数推出函数单调递增，从而无极值点，可判断A错误；对于B，设函数的对称中心为，利用恒成立求出，可判断B正确；对于C，根据为增函数且判断C错误；对于D，根据导数的几何意义求出斜率为的切线，可判断D正确，

【详解】对于A，由题意得，当且仅当时，，

所以在上单调递增，故无极值点，A错误；

对于B，设函数的对称中心为，

按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，

所以对任意实数恒成立，

即对任意实数恒成立，

化简得对任意实数恒成立，

所以，解得，

则的对称中心是，故B正确；

对于C，，在定义域内单调递增，又，

所以只有一个零点，C错误；

对于D，，，

在点处的切线方程为，即，D正确，

故选：BD.

11．意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为，则（    ）

A．

B．

C．是奇函数

D．当与和共有3个交点时，

【答案】AC

【分析】A选项，根据定义计算得到；B选项，利用求导法则计算出答案；C选项，根据函数的奇偶性进行判断；D选项，先根据导函数得到和的单调性和极值最值情况，从而数形结合得到答案.

【详解】A选项，，A正确；

B选项，，B错误；

C选项，的定义域为R，且，

是奇函数，C正确；

D选项，的导数为，令，则，

又为增函数，故当时，，当时，，

易知在上单调递减，在上单调递增，

故，

由于在上单调递增，且当时，，

当时，，

当与和共有3个交点时，，D错误.

故选：AC.

12．有限项数列满足，，则（    ）

A． B．数列中存在唯一的最大项

C． D．

【答案】AC

【分析】由累乘法和排列数与组合数的定义化简计算判断选项A；由组合数的性质判断选项B；由选项A结合组合数的计算判断选项C；由二项式展开式的应用判断选项D．

【详解】A项：由题意可得，

所以，

即，

分子，

分母

又，所以，所以，A正确；

B项：由A项可得，，当为奇数时，，

此时数列中有两项最大值，B错误；

C项：由A项可得，，C正确；

D项：，

因为，

当，为偶数时，，

又奇数项之和等于偶数项之和，所以，D错误

故选：AC

三、填空题

13．若，且，则          .

【答案】/

【分析】根据正态分布的对称性，列式求解.

【详解】由题意可知，正态密度曲线的对称轴为，

由正态分布的对称性可得.

故答案为：

14．近日，ChatGPT引发舆论风暴，火遍科技圈，作为一款生成式人工智能软件，ChatGPT可以就任何议题生成文本，完成包括回答问题，撰写文章，论文，诗歌在内的多种工作，某校科研兴趣小组记录了该软件在一段时间（：分钟）生成的文本数量（：篇），若计算出的关于的经验回归方程为，则第二组数据残差为          （篇）.（其中为第组数据的残差）

【答案】

【分析】经验回归直线经过样本中心求解即可；

【详解】由题知，，

经验回归直线经过样本中心，

代入回归经验方程，解得：，

回归方程为，

第二组数据的残差为.

故答案为：.

15．若函数有两个极值点，.则          .

【答案】/

【分析】对求导，由题意可得为使有两正根，需满足且，求出的范围，再将韦达定理代入化简即可得出答案.

【详解】，为使有两正根，

需满足且，

解得，由韦达定理可得

.

故答案为：.

16．若数列满足，且，则数列的前2023项的积为           .

【答案】2

【分析】由已知推出，由递推关系可得，所以，所以数列的周期为4且，继而推出，由周期性计算乘积即可.

【详解】由已知可得：

由上可得周期为4，，可得，

故的周期也为4，数列的前4项分别为，，，，

故数列的前2023项的积为

【点睛】关键点点睛：（1）将已知等式化简､变形，得到数列的周期为4；（2）化简，寻找数列和数列之间的关系.

四、解答题

17．已知函数，.

(1)当时，求在处的切线方程；

(2)若时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）当时，求得，结合导数的几何意义，即可求解；

（2）求得，得出函数的单调区间和最小值为，结合题意，，即可求解.

【详解】（1）解：当时，，可得，

则且，

所以在处的切线方程为，即.

（2）解：因为，可得，

令，可得或，

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

因为当时，恒成立，所以，解得，

又因为，所以，所以实数的取值范围为.

18．为增强学生体质，促进学生身心全面发展，某中学调研小组调查某校清晨跑操（晨跑）对身体素质的影响，现对80名学生进行调研，得到的统计数据如下表所示：

(1)利用独立性检验、判断是否有的把握认为参加晨跑与身体素质有关；

(2)将频率视为概率，若从该校身体素质优秀的学生随机抽取位学生，记参加晨跑的学生人数为，求的分布列和数学期望.

附：，其中.

【答案】(1)有的把握认为参加晨跑与身体素质有关

(2)分布列见解析，

【分析】（1）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；

（2）分析可知，，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值.

【详解】（1）解：，

故有的把握认为参加晨跑与身体素质有关.

（2）解：由于以频率为概率，故身体素质优秀且参加晨跑的学生概率为，

身体素质优秀不参加晨跑的概率是，则，

，，

，，

分布列为：

.

19．记为数列的前项和.已知，.

(1)求的通项公式；

(2)记为数列的前项积，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）通过条件，利用和间的关系，得出，再利用累积法即可求出结果；

（2）利用（1）中结果，得到，从而得到，通过计算和利用二项式定理得出数列前5项均为负数，从第6项起均为正数，从而求出结果.

【详解】（1）因为时，，所以，两式相减得到，化简整理得，所以，当时，，

又当，，又，解得.

所以，当时，，

又当时，，满足，当时，，不满足，

综上所述，.

（2）由（1）知，当时，，得到，

又当时，，满足，所以，

令，所以，

又，

当时，，

所以当时，，又，所以，当时，，

所以时，取得最大值.

20．某乡镇为了提高乡镇居民收入，对山区进行大面积指导农民种植黄茋、党参、当归等药材，同时在种植药材附近种植草，让牛羊吃，发展畜牧业，第二年将种植药材的地改种草让牛羊吃，将牛羊吃过的草地改种药材，这样药材的生长主要依靠牛羊等有机肥来供给，提高药效，同时增加农民的经济收入.现将该乡镇某农户近7年（2016-2022年对应年份代码1-7）的种植药材的收入金额绘成折线图，同时统计出相关数据：，，，，.

(1)根据图中所给出的折线图，判断和哪一个更适合作为回归模型；（给出判断即可，不必说明理由）

(2)求相关系数（保留两位小数）并求药材种植收入关于年份代码的回归直线方程；

(3)若在生物学上将在药材附近同时种植草称作间作，将药材和草每年轮流种植称作轮作，根据题目所给信息，分析这两种种植方式对当地居民收入的影响.

附：相关系数，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

【答案】(1)

(2)，

(3)答案见解析

【分析】（1）根据折线图作出判断即可；

（2）根据相关系数公式计算可得，根据公式计算和可得回归直线方程；

（3）①间作：从土地的利用率和居民收入最大化进行分析；②轮作：从提高乡镇居民收入和提高土地的生态效益和经济效益进行分析.

【详解】（1）因为折线图更接近直线，所以更适合作为回归模型.

（2），

，

相关系数，

根据题意，可得，

，.

种植药材收入金额关于年份代码的回归直线方程为.

（3）（答案不唯一，合理即可）①间作：药材和草的间作一方面可以同时发展畜牧业来增加居民收入，另一方面可以实现土地的利用率，实现单位面积内经济效益的最大化；

②轮作：一方面牛羊粪等有机肥可以用来供给药材的生长从而提高乡镇居民收入，另一方面可以调节土壤的肥沃能力，形成良性循环，进一步提高土地的生态效益和经济效益.

21．已知正项数列满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：.

（附：，，当且仅当或时取等号）

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）两边取常用对数得，再根据累乘法可求出；

（2）将化为，再根据不等式以及等比数列求和公式可证不等式成立.

【详解】（1）因为（且），

所以，所以，

所以，

当时，，

所以，因为，所以，所以，

当时，也符合上式，

.

（2）由（1）知，，

所以，

由，可得，

当且仅当或时，等号成立，

所以，当且仅当时，等号成立，

因为，

所以，当且仅当时，等号成立，

所以，所以.

【点睛】关键点点睛：将化为是解题关键.

22．已知函数，.

(1)若，证明：；

(2)若单调递增，求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用导数求出的最大值即可证明；

（2）转化为在上恒成立，分类讨论，利用多次求导可求出结果.

【详解】（1），，，

设，则恒成立，

所以在上为减函数，

，故不等式得证.

（2）因为在上单调递增，所以在上恒成立，

令，得，

（i）当时，，所以在上单调递减，

所以，所以不恒成立；

（ⅱ）当时，令，得，

令，得，

①当时，，

在上单调递增，故，

在上单调递增，故，

在上单调递增，故，符合题意；

②当时，注意到在上单调递增，且，，

存在唯一，使得，且在上，

在上单调递减，故在上有，

在上单调递减，故在上有，

在上单调递减，故在上有，

不恒成立；

综上所述：的取值范围为.

【点睛】方法点睛：将函数在某个区间上的单调性转化为导函数大于等于零或小于等于零恒成立，再利用导数处理不等式恒成立.