山西省晋城市部分学校2022-2023学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

2022~2023学年高一上学期期中联合考试

数学

考生注意：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.

2将各题答案填写在答题卡上.

3.本说卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第四章4.2.

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题自要求的.

1. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】全称命题的否定，全称改为特称，将结论否定.

【详解】命题，的否定为：，.

故选：B

2. 若全集，集合A满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据补集的运算可得答案.

【详解】因为，，

所以，

故选：C

3. 已知函数，若，则（    ）

A.  B. 6 C. 8 D. 13

【答案】D

【解析】

【分析】注意到函数的对称性，借助求的值.

【详解】由，得，所以．

故选：D.

4. 函数的部分图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将函数写成分段函数，再根据特殊值判断即可.

【详解】解：因为，且，

，故符合题意的只有A.

故选：A

5. 定义：差集且．现有两个集合、，则阴影部分表示的集合是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】集合中阴影部分元素在但不在中，故可以用表示这些元素构成的集合，同理集合中阴影表示的集合可以用表示，整个阴影部分表示的集合为这两部分的并集.

【详解】集合中阴影部分表示的集合为且

集合中阴影部分元表示的集合为且，

故整个阴影部分表示，

故选：D.

6. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用指数幂的运算性质计算即可.

【详解】.

故选：B

7. 若函数，则（    ）

A. 20 B. 16 C. 14 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】令，求出，再代入的值计算即可.

【详解】令，得，

故选：C.

8. “”是“函数在上单调递增”的（    ）

A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据分段函数在上单调递增求得的取值范围，再根据充分必要条件的概念判断即可.

【详解】解：由函数在上单调递增，得得．

因为“”是“”的必要不充分条件，

所以“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件.

故选：B.

二、选择题：本题共4题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】先根据指数函数单调性确定大小及正负，再利用不等式的性质可得答案.

【详解】因为指数函数是上的单调递减函数，

又，，A错误，B正确；

，，C正确；

，，D错误；

故选：BC.

10. 设，，若，则的值可以为（    ）

A. 0 B.  C. 1 D. 4

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据集合的描述，将集合用列举法表示出，根据得，再讨论集合中方程根的情况即可求得.

【详解】解：集合，，

又，所以，

当时，，符合题意，

当时，则，若，所以或，

解得或

综上所述，或1或.

故选：ABC.

11. 若奇函数和偶函数满足，则（    ）

A.

B. 的值域为

C. 函数在上单调递增

D. 函数的最大值与最小值之和为2

【答案】ABD

【解析】

【分析】令结合奇偶性构造方程，与原方程组成方程组求解解析式，可判断ABC选项是否正确；在选项D中，分析函数取得最值处是互为相反数的两个自变量，根据奇函数特征可求得最大值与最小值之和.

【详解】由①，得，

因为为奇函数，为偶函数，所以②．

①-②得，A正确．

①+②得，因为，所以，B正确．

，因为在上单调递增，所以在上单调递减，C错误．

，

令，当时，，

当时，，由基本不等式知时取得最小值，时 取得最大值，

因为为奇函数，其最小值与最大值之和为0，所以的最大值与最小值之和为2，D正确．

故选：ABD

12. 已知，若定义域为R的满足为奇函数，且对任意，，均有．则（    ）

A. 的图象关于点对称

B. 在R上单调递增

C.

D. 关于x的不等式的解集为

【答案】BD

【解析】

【分析】根据为奇函数其图象关于原点对称，可得的图象关于对称可判断A；

对于B，根据函数单调性定义和奇偶性可判断B；根据可得关于对称可判断C；利用转化为求，利用在R上单调递增、可判断D.

【详解】对于A，因为为奇函数，则其图象关于原点对称，将其图象向右平移2个单位可得的图象，所以的图象关于对称，故A错误；

对于B，对任意，，均有，

所以时，，或者时，，

即在上单调递增，因为的图象关于对称，所以在上单调递增，因为定义域为R的为奇函数，所以，

所以在R上单调递增，故B正确；

对于C，因为，所以，即关于对称， 所以，故C错误；

对于D，因为，所以关于x的不等式，即求，因为在R上单调递增，，所以只需，故D正确.

故选：BD.

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数的定义域为______．

【答案】

【解析】

【分析】由函数含二次根式，分式，求出使解析式有意义的x的取值范围.

【详解】由题意得，得，定义域为.

故答案为：.

14. 已知集合，则的子集个数为____________．

【答案】8

【解析】

【分析】首先求出，然后可得答案.

【详解】因为，

所以，

所以的子集个数为8．

故答案为：8

15. 若不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为____________.

【答案】

【解析】

【分析】由不等式的解和对应方程的根的关系通过韦达定理用表示出，然后代入目标不等式求解即可.

【详解】若不等式的解集为，

则方程的实数根为和，且

，得

则关于x的不等式为，

又，

解得

即关于x的不等式的解集为

故答案为：.

16. 已知函数的图象与直线有四个交点，则a的取信范围为_____________.

【答案】

【解析】

【分析】根据指数函数的单调性，结合数形结合思想进行求解即可.

【详解】，函数图象如下图所示：

当时，，

当时，。

所以要想函数的图象与直线有四个交点，

只需，

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知不等式组的解集为，集合．

（1）求；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）解不等式组，解集即为解集A；

（2）由，得，列出不等式组，解得a的取值范围.

【小问1详解】

解：由，得，得，

所以．

【小问2详解】

解：由，得，所以，

得，故的取值范围为．

18. 已知函数的图象经过第一、二、三象限.

（1）求的最小值；

（2）若，证明：.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意可得，再根据基本不等式可解．
（2）根据题意可得，再利用“乘1”法结合基本不等式可证明．

【小问1详解】

因为函数的图象经过第一、二、三象限，则，

因为，

当且仅当，即时取等号，

故的最小值为；

【小问2详解】

因为，即，
又，

当且仅当时，即时取等号．

故.

19. 已知幂函数是偶函数.

（1）求的解析式；

（2）求满足的的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据幂函数得定义以及奇偶性求参数，即可得的解析式；

（2）根据（1）中解析式列不等式求解即可.

【小问1详解】

解：由幂函数得，即，解得或.

当时，，，所以，不是偶函数，舍去，

当时，，，所以偶函数，满足题意，

所以.

【小问2详解】

解：因为，

由，可得

所以，即，解得，即

所以满足的的取值范围为.

20. 为响应国家“乡村振兴”号召，小李决定返乡创业，承包老家的土地发展生态农业．小李承包的土地需要投入固定成本万元，且后续的其他成本总额（单位：万元）与前年的关系式近似满足．已知小李第一年的其他成本为万元，前两年的其他成本总额为万元，每年的总收入均为万元．

（1）小李承包的土地到第几年开始盈利？

（2）求小李承包的土地的年平均利润的最大值．

【答案】（1）第年   

（2）最大为万元

【解析】

【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，设小李承包的土地到第年的利润为万元，求出函数的解析式，然后解不等式，可得出结论；

（2）设年平均利润为万元，可得出，利用基本不等式求出的最大值及其对应的值，即可得出结论.

【小问1详解】

由题意得，解得，所以．

设小李承包的土地到第年的利润为万元，

则，

由，得，解得．

故小李承包的土地到第年开始盈利．

【小问2详解】

设年平均利润为万元，

则，

当且仅当时，等号成立．

故当小李承包的土地到第年时，年平均利润最大，最大为万元．

21. 已知函数（且）在上的最大值与最小值之差为.

（1）求的值；

（2）若函数，判断的单调性，并用定义证明.

【答案】（1）   

（2）单调递增，证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据指数函数的单调性建立方程关系即可求的值；

（2）先根据（1）求出的解析式，再代入化简后进行判断，再使用定义法进行证明即可.

【小问1详解】

当时，在上单调递减，

∴在上的最大值为，最小值为，

令，即，，无解；

当时，在上单调递增，

∴在上的最大值为，最小值为，

令，即，解得（舍）或.

综上所述，的值为.

【小问2详解】

由（1）得，∴，

∴

，

∵，均在上单调递增，

∴在上单调递增，证明如下：

设，，且，

则

∵在上单调递增且，∴，

∴，，

∴即，

∴在上单调递增.

22. 已知函数.

（1）若，求的值域；

（2）若的最大值为，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）4

【解析】

【分析】（1）当时，得出的解析式，化为分段函数，即可根据二次函数的值域得出每段函数的值域，即可得出答案；

（2）根据已知化简的解析式得出，分类讨论结合已知根据二次函数值域得出的解析式，即可得出的最小值.

【小问1详解】

当时，，

即，

根据二次函数的单调性可得在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，在上单调递减

故在上，，在上，，

则，即值域为；

【小问2详解】

由题意得：，即，

的最大值为，

当时，，，则，

则；

当时，，，则，

则；

当时，，，则，

则；

当时，，，则，

则；

则，.