江西省景德镇市2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

景德镇市2022-2023学年下学期期中质量检测卷

高一数学

本试卷分第I卷（选择题）和第I卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟，

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 角是（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件，再利用终边相同角的集合即可求出结果.

【详解】因为，根据终边相同角的集合知，与终边相同，又是第二象限角.

故选：B.

2. 某校今年二月份举行月考后，为了分析该校高一年级1800名学生的学习成绩，从中随机抽取了180名学生的成绩单，下列说法正确的是（）

A. 样本容量是180 B. 每名学生的成绩是所抽取的一个样本

C. 每名学生是个体 D. 1800名学生是总体

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，结合随机抽样的定义即可求解.

【详解】因为该校高一年级1800名学生的学习成绩，从中随机抽取了180名学生的成绩单，则样本容量为180，故选项A正确；

每名学生的成绩单是所抽取的一个个体，故选项B，C错误；

1800名学生的成绩单是总体，故选项D错误；

故选：A.

3. 在新冠肺炎疫情期间，大多数学生都在家进行网上上课，某校高一，高二，高三共有学生6000名，为了了解同学们对某授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这6000名学生中抽取一个容量60的样本，若从高一，高二，高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则该校高二年级的人数为（    ）

A. 1000 B. 1500 C. 2000 D. 1000

【答案】C

【解析】

【分析】根据分层抽样的性质，结合样本容量进行求解即可.

【详解】因为从高一、高二、高三抽取人数恰好是从小到大排列的连续偶数，

所以设高三抽取的人数为，则高二抽取的人数为，高一抽取的人数为，

因为样本容量为60，所以，

设我校高二年级的人数为，

根据分层抽样得：，

故选：C

4. 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否为加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据独立事件概率乘法公式可计算求得结果.

【详解】恰好有一个一等品的概率.

故选：D.

5. 若扇形的周长为36，要使这个扇形的面积最大，则此时扇形的圆心角的弧度为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据扇形的周长及面积公式，转化为二次函数求最值，据此利用弧长公式求解.

【详解】设扇形的半径为，弧长为，

则，所以，

故当时，取最大值，此时，

所以，

故选：B

6. 筒车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的筒车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则函数的解析式是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，结合条件可得的值，从而求得函数的解析式.

【详解】由题意，，，

所以，

又点代入可得，解得，

又，所以，

故函数解析式为.

故选：B

7. 甲、乙两人玩掷骰子游戏，规定：甲、乙两人同时掷骰子，若甲掷两次骰子的点数之和小于，则甲得一分；若乙掷两次骰子的点数之和大于，则乙得一分，最先得到10分者获胜.为确保游戏的公平性，正整数的值应为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据对称性可知当乙得一分时的点数之和为时，与甲得一分的概率相等，由此确定.

【详解】对于甲，掷两次骰子的点数之和为时，甲能够得一分，

则由对称性可知，掷两次的骰子的点数之和为分别与掷两次骰子的点数之和为对应的概率相等，

为确保游戏的公平性，需，此时甲乙得分概率相等.

故选：C.

8. 函数在的图像大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先利用定义判断出函数是奇函数，可排除A，再求出判断正负，可排除BD.

【详解】，是奇函数，故A错误；

，故BD错误.

故选：C.

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9. 某市举行高中英语演讲比赛，已知12位评委对某位选手评分具体如下（满分10分）：7.0，7.5，7.8，7.8，8.2，8.3，8.5，8.7，9.1，9.2，9.9，10，则下列说法正确的是（    ）

A. 中位数为8.3

B. 极差为3

C. 的分位数为9.15

D. 去掉最高分和最低分，不会影响到这位同学的平均得分

【答案】BCD

【解析】

【分析】计算出12位评委对某位选手评分的中位数、极差、以及的分位数，判断A，B，C；根据平均数的计算可判断D.

【详解】由题意可知中位数为，A错误；

极差为，B正确；

由于，故的分位数为，C正确；

这位同学的平均分为，

去掉最高分和最低分后的平均分为，

即去掉最高分和最低分，不会影响到这位同学的平均得分，D正确；

故选：BCD

10. 袋子中装有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球，4个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，下列结论正确的有（    ）

A. 第一次摸到红球的概率是

B. 第二次摸到红球的概率是

C. 两次都摸到红球的概率是

D. 两次都摸到黄球的概率是

【答案】AC

【解析】

【分析】根据古典概型的概率公式或互斥事件的概率计算，一一计算各选项中的概率，即可判断出答案.

【详解】袋子中装有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球，4个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，

故第一次摸到红球的概率是，A正确；

若第一次摸到红球，则第二次摸到红球的概率为，

若第一次摸到黄球，则第二次摸到红球的概率为，

则第二次摸到红球概率是，B错误；

两次都摸到红球的概率是，C正确；

两次都摸到黄球的概率是，D错误，

故选：AC

11. 已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：

则下列说法正确的是（    ）

A. 买小包装实惠

B. 买大包装实惠

C. 卖3小包比卖1大包盈利多

D. 卖1大包比卖3小包盈利多

【答案】BD

【解析】

【分析】根据题中数据，可换算出每100克的售价，比较即可判断A、B的正误；分别算出卖1大包的盈利和卖3小包的盈利，比较即可判断C、D的正误，即可得答案.

【详解】大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故B正确，

卖1大包的盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元)，卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元)，则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多，故D正确.

故选：BD

12. 已知函数的部分图像，如下图所示，，，则下列说法正确的有（    ）

A.

B. 当时，的值域为

C. 若，则的最小值为

D. 将图像上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的图像

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意，由函数图像分别求得，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断即可得到结果.

【详解】对于A：由题设，则，

解得，则，故正确；

对于B：当时，，，错误；

对于C：由于，则函数关于轴对称，

，，取，则 ，正确；

对于D：的图像上所有点的横坐标缩短为原来的变为，

再向左平移个单位长度变为

，正确，

故选：ACD.

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 利用简单随机抽样的方法，从个个体中抽取14个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据第二次抽取时余下的每个个体被抽取到的概率为求得，可得答案.

【详解】第二次抽取时，余下的每个个体被抽取到的概率为，则，

即，则在整个抽样过程中，

每个个体被抽取到的概率为.

故答案为：.

14. 函数单调递减区间为__________．

【答案】

【解析】

【分析】由，令求解.

【详解】解：，

令，

解得，

所以函数的单调递减区间为，

故答案为：.

15. 在确保新型冠状病毒肺炎疫情防空到位的前提下，我市中小学陆续分阶段复学.某高中在复学之后，为了帮助学生调整心理状态，理性面对疫情，科学合理有效安排学习生活，成立了由5名男教师和2名女教师组成的心理咨询团队.现从这个团队中随机抽取3人专门负责高一年级的心理咨询工作，则至少选中1名女教师的概率是__________．

【答案】

【解析】

【分析】利用列举法得到从心理咨询团队中选择3人总的基本事件总数，及其中没有女教师的基本事件的件数，从而利用古典概型求解即可.

【详解】因为心理咨询团队由5名男教师和2名女教师组成，

记5名男教师为，2名女教师为，

则从中选择3人的基本事件有：，

，，共件，

其中没有女教师的基本事件有共件，

所以至少选中1名女教师的概率是．

故答案为：．

16. 已知函数，若对于，均有，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】由题意问题可转化为对于恒成立，结合正弦函数的性质可推出，进而求得，确定k的最大值，即可求得，从而求得答案.

【详解】由题意对于，均有，

即恒成立，

由可知，

而时，，

故，

解得且，

由，解得，

由于，故k的最大值为4，

故且，即，

故的最大值为，

故答案为：

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且.

（1）求的值：

（2）求的值.

【答案】（1）.   

（2）或.

【解析】

【分析】（1）根据三角函数定义可列式计算求得，即可求得答案.

（2）利用诱导公式以及同角的三角函数关系化简，将代入，即可求得答案.

【小问1详解】

由题意知角的终边经过点，且，

故，解得，

当时，，则；

当时，，则，

即.

【小问2详解】

,

故时，，

时，.

18. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；

（2）将 图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象，若图象的一个对称中心为，求的最小值.

【答案】（1）表格见解析，   

（2）

【解析】

分析】（1）根据所给函数解析式形式及部分数据，即可完善表格得出解析式；

（2）根据三角函数图象变换得出，利用对称中心得到即可得解.

【小问1详解】

由表格可知，周期，可得，代入点，可得，

又，所以时，，

故.

【小问2详解】

由（1）可以得到函数，

将的图象向左平移个单位长度，

可以得到函数，而函数的一个对称中心为，

故 ，则

，当时，.

19. 某市政府为了节约生活用水，实施居民生活用水定额管理政策，即确定一个居民月用水量标准x（单位：吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，并随机抽取部分居民进行调查，抽取的居民月均用水量的频率分布直方图如图所示．（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）

（1）求频率分布直方图中a的值；

（2）试估计该市居民月均用水量的众数、平均数；

（3）如果希望85%的居民月均用水量不超过标准x，那么标准x定为多少比较合理？

【答案】（1）   

（2）吨，吨   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1进行求解.

（2）利用频率分布直方图中的最高矩形求众数，利用每个矩形的底端中点和其面积的乘积之和来求平均数.

（3）利用频率分布直方图求85%分位数即可.

【小问1详解】

由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可得，解得．

【小问2详解】

由频率分布直方图可知，该市居民月均用水量的众数约为（吨），

由频率分布直方图可知，平均数约为（吨）．

【小问3详解】

由频率分布直方图可知，月均用水量低于2.5吨的居民人数所占的百分比为，月均用水量低于3吨的居民人数所占的百分比为，

所以，由题意可得，解得．

所以如果希望85%的居民月均用水量不超过标准x，那么x定为2.9吨比较合理．

【点睛】利用频率分布直方图求解样本数据的众数、平均数、中位数，原则如下：

（1）在样本数据的频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数；

（2）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的矩形面积相等，由此可以估计中位数的值；

（3）在频率分布直方图中，平均数等于每个小矩形的面积乘以对应小矩形底边中点的横坐标之和．

20. 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概㘶分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响.

（1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率；

（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.

【答案】（1）甲队得3分、1分的概率分别为   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据独立事件同时发生的概率公式求解；

（2）由题意分析相互独立事件同时发生的概率公式分别求解即可.

【小问1详解】

记“甲队总得分为3分”为事件A，记“甲队总得分为1分”为事件B，

甲队得3分，即三人都回答正确，则概率.

甲队得1分，即三人中只有一人回答正确，其余两人都答错，则其概率

.

【小问2详解】

记“甲队总得分为2分”为事件C，记“乙队总得分为1分”为事件D，

事件C即甲队三人中只有2人答对，其余1人答错，则其概率.

事件D即乙队3人中只有1人答对，其余两人都答错，则其概率.

由题意可知，事件C和事件D相互独立，故甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为.

21. 养鱼场中鱼群的最大养殖量为，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率的乘积成正比，比例系数为．注：

（1）写出关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域；

（2）求鱼群年增长量的最大值；

（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求的取值范围．

【答案】（1）（2）.（3）.

【解析】

【分析】（1）鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率的乘积成正比，比例系数为，根据空闲率的公式求出空闲率的表达式，即可得到关于的函数关系式；

（2）结合（1），使用配方法，易分析出鱼群每年增长量的最大值；

（3）由于，结合（2）的结论，解不等式，即可得到答案．

【详解】（1）由题意得，空闲率为，由于鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率的乘积成正比，比例系数为，所以.

（2）由（1）得：.

当时，，

即鱼群年增长量的最大值为.

（3）由题意可得，，即，.又，.

的取值范围是.

【点睛】本题解题的关键是理解题意，将实际问题转化为常规的数学问题—二次函数问题，然后利用二次函数的知识解决该实际问题，属于中档题．

22. 已知.

（1）求函数的值域；

（2）当时，

①讨论函数的零点个数；

②若函数有两个零点，，证明 .

【答案】（1）   

（2）①答案见解析；②证明见解析

【解析】

【分析】（1）设，可得函数的值域；

（2）①，分、、、讨论函数零点；②由①可知，满足方程可得，再根据可得答案.

【小问1详解】

，

设，，对称轴为，

则，

则函数的值域为，即函数的值域为；

【小问2详解】

①，即，

当时，，，题设即，

当或，即或时，方程无解；

当，即时，方程仅有一解，此时；

当，即时，方程有两解，此时函数有两个零点；

综上所述，当时，函数没有零点；

当时，函数有一个零点；

当时，函数有两个零点；

②，由①可知，满足方程，

则，

则，

由于，则，

则，则，

则，

由于，，则，即，即证.

【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.