江西省上饶市2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

上饶市2022-2023学年度下学期期末教学质量测试

高一数学试卷

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，与在本试卷上无效.

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.

4.本试卷共22题，总分150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（    ）

A. 1 B.  C. 3 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据共轭复数的概念，即可求得答案.

【详解】因为与互为共轭复数，所以，，

所以，

故选：C.

2. 已知角的始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据任意角的三角函数的定义求解.

【详解】由已知得，.

故选：D.

3. 设l是直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】由平行于同一直线的两平面的位置关系判定；由平面与平面垂直、直线与平面平行的位置关系分析；由直线与平面垂直的性质判断；由平面与平面垂直、直线与平面垂直的关系分析．

【详解】解：若，，则或与相交，故错误；

若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故错误；

若，，由直线与平面垂直的性质，可得，故正确；

若，，则或，故错误．

故选：．

4. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用同角三角函数的关系式的变换求出结果．

【详解】因为，

平方得，又

故，

则．

故选：B.

5. 双塔公园，位于上饶市信州区信江北岸.“双塔”指五桂塔和奎文塔，始建于明清年间，是上饶市历史文化遗存的宝贵财富.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量五桂塔的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，五桂塔垂直于水平面，他们选取了与王桂塔底部在同一水平面上的，两点，测得米，在，两点观察塔顶点，仰角分别为和，，则五桂塔的高度是（    ）

A. 10米 B. 17米 C. 25米 D. 34米

【答案】B

【解析】

【分析】设，进而可得，，由余弦定理得：，可求．

【详解】设米，

在中，，，则，

在中，，，则，

因为，所以由余弦定理得：，

整理得：，解得(米).

故选：B.

6. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称

【答案】A

【解析】

【分析】根据图象，求出函数的周期，即可得出，结合函数过点，即可得出的值从而得出，根据正弦函数的性质依次判断选项即可.

【详解】由已知图象可得，所以，，

由图象过点，由“五点法”可得，，

所以，.

因为，所以， ，故B项错误；

，故A项正确；

因为，所以点不是函数的对称中心，故C项错误；

对于D项，当时，，故D项错误.

故选：A

7. 如图，已知棱长为的正方体中，点在正方体的棱、、上运动，平面，垂足为，则点形成图形中的各线段长度之和是（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】点形成图形是棱、、在平面上的射影线段构成的，所以、、在平面上的射影线段长度分别等于、、在平面上的射影线段长度，可证得平面，则即为所求.

【详解】点形成图形是棱、、在平面上的射影线段构成的，

所以、、在平面上的射影线段长度分别等于、、在平面上的射影线段长度.

∵正方体棱长为，∴是边长为2的等边三角形，

∵平面，平面，∴，

∵，，平面，∴平面，

∵平面，∴，同理，

∵，平面，∴平面．

设平面，

∴、、在平面上的射影分别为，

∵，∴，是的中心,

∴.

故选：C.

8. 已知函数在上单调，而函数有最大值1，则下列数值可作为取值的是（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】根据余弦函数的性质求出的范围，即可求出的范围，依题意只需考虑存在，使得，即可求出的取值范围，即可判断.

【详解】由余弦函数的性质可知，当在上单调时，

，得，

则

由于选项中取，，1，2，其区间端点的前缀分别是，，，，区间角的终边呈周期性变化，

因此只需考虑存在，使得，

则取非负整数，且，，

所以的取值区间是，选项中只有适合.

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题解答的关键是结合余弦函数的单调性求出的范围，从而得到，根据正弦函数的周期性及最大值，从而求出的取值范围.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9. 复数，是虚数单位，则以下结论正确的是（    ）

A.  B.

C. 的虚部为2 D. 在复平面内对应点位于第一象限

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据复数的性质进行计算和推理即可．

【详解】对于A，，A正确；

对于B，虚数可以相等，但不能用大于小于联系，B错误；

对于C，的虚部为2，C正确；

对于D，在复平面内对应点为，位于第一象限，D正确．

故选：ACD.

10. 如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论一定正确的有（    ）

A. ∥ B. ∥面

C. ∥面 D. 三棱锥的体积不变

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于AB，由面面平行的性质分析判断，对于C，由线面平行的判定结合正方体的性质分析判断，对于D，由和∥分析判断.

【详解】对于A，因为平面∥平面，平面平面，平面平面，

所以∥，所以当为的中点时，才有∥，所以A错误，

对于B，因为平面∥平面，平面，所以∥面，所以B正确，

对于C，由选项A同理可得∥，因为平面，平面，所以∥面，所以C正确，

对于D，因为由选项C可知∥，因为平面，平面，

所以∥平面，所以点到平面为常数，

因为三角形的面积为常数，所以为定值，

因为，所以三棱锥的体积不变，所以D正确，

故选：BCD.

11. 已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，函数为偶函数，则的值可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】根据三角函数平移变换可得，由奇偶性可知，，求得后即可对照选项得到结果.

【详解】由已知得，

又函数为偶函数，则，，

所以，，当时，CD正确，

故选：CD.

12. 在平面直角坐标系中，已知，，则下列结论正确的是（    ）

A. 的取值范围是

B. 当时，在方向上的投影数量的取值范围是

C. 的最大值是

D. 若，且，则最大值为2

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算与余弦函数的性质可判断A；根据投影数量的概念与三角恒等变换、正弦型三角函数的性质结合即可得取值范围，可判断B；由向量的三角不等式可判断C；根据向量的三角不等式与均值不等式即可求最值可判断D.

详解】，A正确；

当时，在方向上投影数量为：

其中，所以，又或，所以，B错误；

由于，当，向量反向共线时等号成立，C正确；

因为，所以，当且仅当同向共线且时等号成立，D正确.

故选：ACD.

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为______.

【答案】

【解析】

【分析】由直观图与平面图形的关系还原即可.

【详解】由直观图可得如图所示的平面图，

该平面图形是直角梯形，其高为.

故答案为：.

14. 已知，，则______.

【答案】

【解析】

分析】根据已知条件，结合二倍角公式，以及余弦的两角差公式，即可求解．

【详解】由得，，，

又，则

则，，

所以.

故答案为：．

15. 如图，长方体中，，则四面体的外接球的体积为______.

【答案】

【解析】

【分析】四面体的外接球与长方体的外接球是同一个球，可求出外接球的半径，进而得体积.

【详解】，，，

四面体的外接球与长方体的外接球是同一个球，

其半径为，其体积为.

故答案为：.

16. 已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着轴正方向滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个点之间的距离称为“一个周期”，则完成“一个周期”时，顶点的路径长度为______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据题意，画出轨迹图，利用弧长公式计算即可得解.

【详解】如图，

顶点先以2为半径绕点顺时针旋转弧度，再以2为半径绕点顺时针旋转弧度，其路径长度为.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知，，.

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用向量平行的坐标公式列方程求解即可；

（2）利用向量垂直的坐标公式列方程求解即可.

【小问1详解】

由已知得，，

∵，∴，

∴.

【小问2详解】

由已知得，，，

∵，∴，

∴.

18. 设的内角，，所对的边分别为，，，已知.

（1）求角；

（2）已知，，点是边上的点，求线段的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由两角和的正弦，余弦公式，结合正弦定理求解；

（2）由已知及余弦定理可得，为锐角三角形，利用面积法求的最小值.

【小问1详解】

由得，，

∵，∴，

∴，

又由正弦定理，得，

即，

∴，

∵，∴，即，

∵，∴，∴，

∵，∴.

【小问2详解】

由已知及余弦定理可得，，.

∵边为最大边，∴角为最大角，

而，∴角为锐角，为锐角三角形，

∴最小时为边上的高，

∵，

∴，∴，

∴的最小值为.

19. 如图，正四棱台中，，，.

（1）证明：平面；

（2）若，求异面直线与所成的角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意得，则四边形为平行四边形，，从而平面，又平面，得平面平面，由面面平行的性质可得结论；

（2）在等腰梯形中作交于点，由（1）知，则，所以就是异面直线与所成的角，利用余弦定理求解即可.

【小问1详解】

∵正四棱台中，，，

∴，又∵，

∴，∴四边形为平行四边形，

∴，又∵平面，平面，

∴平面，

∵，平面，平面，∴平面，

又∵，平面，平面，

∴平面平面，

∵平面，∴平面.

  【小问2详解】

在等腰梯形中作交于点，

由（1）知，，∴，

∴就是异面直线与所成的角，

∵，，

∴中，，，

∴，

∴异面直线与所成的角的余弦值为.

20. 如图四棱锥中，平面，为平行四边形，且，，，是棱上的一点，．

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）先证平面，得到，再证，即可证明平面；

（2）直接将转化为，再按照体积公式求解即可.

【小问1详解】

连接交于点，取中点，连接，

平面，平面，，

∵四边形是菱形，，又，

、平面，平面，

，，，，，

且为中点，为中点，，

、平面，，平面；

【小问2详解】

．

21. 筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1）.如图2，现有一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米，若以盛水筒刚浮出水面在点处时为初始时刻，设经过秒后盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）.筒车上均匀分布着12个盛水筒，假设盛水筒在最高处时把水倾倒到水槽上.

（1）求函数的表达式；

（2）求第一筒水倾倒的时刻和相邻两个盛水筒倾倒的时间差；

（3）若某一稻田灌溉需水量为100立方米，一个盛水筒倾倒到水槽的水约为0.01立方米，求需要多少小时才能完成该稻田的浇灌.（精确到0.1小时）

【答案】（1）   

（2）20秒，5秒    （3）13.9

【解析】

【分析】（1）求出，根据盛水筒运动的角速度写出秒后盛水筒转过的角度，从而得出函数的解析式；

（2）计算第一筒水到达最高位置时第一次取得最大值对应的值，以及相邻两个盛水筒倾倒的时间差；

（3）计算完成该稻田的浇灌需倾倒的筒数，再求所需时间即可．

【小问1详解】

由已知可得，

∵盛水筒运动的角速度，

∴秒后盛水筒转过的角度为，

此时可得以为终边角

∴

【小问2详解】

当第一筒水到达最高位置时，是第一次取得最大值，此时，得（秒），

相邻两个盛水筒倾倒的时间差为（秒），

【小问3详解】

完成该稻田的浇灌需倾倒筒水，

所需时间为秒，约为13.9小时.

所以第一筒水倾倒的时刻为20秒，相邻两个盛水筒倾倒的时间差为5秒，约13.9小时可完成该稻田的浇灌.

22. 已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值；

（3）若函数在内恰有2023个零点，求与的值.

【答案】（1）   

（2）   

（3），，或，

【解析】

【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简，结合三角函数增区间求法计算即可；

（2）根据题意写出函数，结合平方关系进行换元，结合新元范围与二次函数的知识求解最值，得到，进而得到答案；

（3）将原题意转化为，令，则，再分类讨论进行取舍即可得到答案.

【小问1详解】

令，

得

∴函数的单调递增区间为

【小问2详解】

令，

则

可得，当即时，；

当即时，

∵存在，对任意，有恒成立，

∴为的最小值，为的最大值，

∴，，

∴，

∴.

【小问3详解】

令，

方程可化为，

令，则，

当时，，，此时函数在上有个零点，

∴，适合题意；

当时，在内有一解，

在或内有一取值，则此时函数在上有个零点，不适合题意；

当时，，此时函数在上有个零点，

∴，适合题意；

当时，或，或，则此时函数在上有个零点，不适合题意；

当时，在和内各有一解，在和内各有一取值，

则此时函数在上有个零点，不适合题意；

当时，，，则此时函数上有个零点，不适合题意.

综上所述，，，或，.