中考数学三轮冲刺考前冲刺练习专题09 二次函数（含解析）

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专题09 二次函数
一．选择题
1．（•连云港一模）把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是，则的值为　　
A． B． C． D．0
【解析】．则其顶点坐标是，将其向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到．
故原抛物线的解析式是：．
所以，，2，．
所以．
故选：．
2．（•和平区二模）已知二次函数，一次函数，有下列结论：
①当时，随的增大而减小；
②二次函数的图象与轴交点的坐标为和；
③当时，；
④在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立，则．
其中，正确结论的个数是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】①，，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故①错误；
②令，则，或，二次函数的图象与轴交点的坐标为和，故②正确；
③当时，二次函数的图象与一次函数的图象的交点的横坐标为和 1，
当时，；故③错误；
④整理得，，
当△时，函数值成立，
解得，故④正确．
故选：．
3．（•曾都区模拟）抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若，则时的函数值小于时的函数值．其中正确结论的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】①观察图象可知：
，，，，
所以①正确；
②∵对称轴为直线，
即，解得，即，
所以②正确；
③∵抛物线经过点，且对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
当时，，即，
所以③正确；
，
，
由时，随的增大而减小知时的函数值小于时的函数值，所以④正确；
故选：．
4．（•宁乡市一模）定义，，为函数的特征数，下面给出特征数为，，的函数的一些结论，其中不正确的是　　
A．当时，函数图象的顶点坐标为
B．当时，函数图象截轴所得的线段长大于3
C．当时，函数在时，随的增大而增大
D．不论取何值，函数图象经过两个定点
【解析】因为函数的特征数为，，；
、当时，，顶点坐标是，；此结论正确；
、当时，令，有，
解得，，，
，所以当时，函数图象截轴所得的线段长度大于3，此结论正确；
、当时， 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：，在对称轴的左边随的增大而增大，
因为当时，，即对称轴在右边，可能大于，所以在时，随的增大而减小，此结论错误；
、当时， 即对任意，函数图象都经过点，
那么同样的：当时，，即对任意，函数图象都经过一个点，此结论正确．
故选：．
5．（•宁波模拟）已知点在抛物线上，当时，总有，当时，总有，则的值为　　
A．1 B． C．2 D．
【解析】抛物线，
抛物线的顶点为，
∵当时，总有，
不可能大于0，
则，
时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，
∵当时，总有，当时，总有，且与对称，
时，，时，，
，
，
，
故选：．
6．（•历下区二模）如果我们把函数称为二次函数的“镜子函数”，那么对于二次函数的“镜子函数” ，下列说法：①的图象关于轴对称；②有最小值，最小值为；③当方程有两个不相等的实数根时，；④直线与的图象有三个交点时，中，正确的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】①，
的图象关于轴对称，
故①正确；
②，
当即时，有最小值为，
故②正确；
③当时，方程为，可化为，解得，有两个不相等的实数根，此时，
故③错误；
④直线与的图象有三个交点，
方程，即有3个解，
方程与方程一共有3个解，
或，
解得，或无解，
当时，直线与的图象有三个交点，
故④错误；
故选：．
7．（•高青县一模）如图，抛物线为常数）交轴于点，与轴的一个交点在2和3之间，顶点为．
①抛物线与直线有且只有一个交点；
②若点、点，、点在该函数图象上，则；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为；
④点关于直线的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为．
其中正确判断有　　

A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③
【解析】①把代入中，得，
△，
此方程两个相等的实数根，则抛物线与直线有且只有一个交点，故①结论正确；

②抛物线的对称轴为，
点关于的对称点为，
，
当时，随增大而增大，
又，点、点，、点在该函数图象上，，故②结论错误；

③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：
，即，故③结论正确；

④当时，抛物线的解析式为：，
，，，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于、点，如图，

则，根据两点之间线段最短，知最短，而的长度一定，
此时，四边形周长最小，为：
，故④结论正确；
综上所述，正确的结论是①③④．
故选：．
8．（•石家庄模拟）对于题目：在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于两点、，过点且平行轴的直线与过点且平行轴的直线相交于点，若抛物线与线段有唯一公共点，求的取值范围．甲的计算结果是；乙的计算结果是，则　　
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲与乙的结果合在一起正确
D．甲与乙的结果合在一起也不正确
【解析】，令，则或3，令，则，
故抛物线与轴的交点坐标分别为：、，与轴的交点坐标为：，
函数的对称轴为：，顶点坐标为：，
直线分别与轴、轴交于两点、，则点、的坐标分别为：、，则点．
（1）当时，
当抛物线过点时，抛物线与线段有一个公共点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线与线段有唯一公共点时，；
（2）当时，
当顶点过时，此时抛物线与有唯一公共点，
即，解得：；
当抛物线过点时，抛物线与有两个交点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故当抛物线与线段有一个公共点时，，
故或；
综上，或或；
故选：．
二．填空题
9．（•宁波模拟）如图，抛物线经过点和，，则的面积为__________（用的代数式表示）．

【解析】作轴于，轴于，
∵抛物线经过点，
，解得，
抛物线为，
∵抛物线经过点，，
，
，
．
故答案为．

10．（•南通二模）已知二次函数，当时，随的增大而增大．若点在该二次函数的图象上，则的最小值为__________．
【解析】，
对称轴为，
∵当时，随的增大而增大．
，
∵点在该二次函数的图象上，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，的值最小为：，
故答案为：．
11．（•江岸区校级模拟）抛物线与轴的负半轴交于点，直线交抛物线于，两点点在点的左边）．使得被轴分成的两部分面积差为2．则的值为__________．

【解析】设直线直线与轴的交点为点，则，

∵抛物线与轴的负半轴交于点，
，
，
联立方程组，
解得，，或，
，，
被轴分成的两部分面积差为2．
，
或，
解得，，或
12．（•禅城区一模）已知二次函数的部分图象如图所示，则下列结论：
①关于的一元二次方程的根是，3；
②函数的解析式是；
③；
其中正确的是__________（填写正确结论的序号）．

【解析】①函数的对称轴为直线，根据函数的对称性，函数与轴的另外一个交点为，
故关于的一元二次方程的根是，3，正确，符合题意；
②函数的表达式为，故②错误，不符合题意；
③函数的对称轴为直线，解得：，
当时，，
而，故③正确，符合题意；
故答案为①③．
13．（•乌鲁木齐模拟）如图，二次函数的图象经过点，，对称轴为直线，下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论为__________．（注只填写正确结论的序号）


【解析】①函数的对称轴在轴右侧，则，而，故，故①错误，不符合题意；
②将点，代入函数表达式得：，故②正确，符合题意；
③函数的对称轴为直线，即，故，故③错误，不符合题意；
④由②③得：，，则，故，故④错误，不符合题意；
⑤当时，函数取得最小值，即，故⑤正确，符合题意；
故答案为②⑤．
14．（•南充模拟）如图，抛物线的顶点为，与轴交点，的横坐标分别为，3，与轴负半轴交于点．下面五个结论：
①；
②；
③对任意实数，；
④只有当时，是等腰直角三角形；
⑤使为等腰三角形的值可以有3个．
其中正确的结论有__________．（填序号）

【解析】①图象与轴的交点，的横坐标分别为，3，
，
对称轴，
即；
故①正确，符合题意；

②由图象看，当时，，
故②错误，不符合题意；

③函数的对称轴为直线，函数在时，取得最小值，
故，
即正确，符合题意；

④要使为等腰直角三角形，必须保证到轴的距离等于长的一半；
到轴的距离就是当时的值的绝对值．
当时，，
即，
当时，，
，
又图象与轴的交点，的横坐标分别为，3，
当时，即；
当时，．
，
解这三个方程可得：，，，
故④正确，符合题意；

⑤要使为等腰三角形，则必须保证或或，
当时，
，为直角三角形，
又的长即为，
，
∵由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，
，
与、联立组成解方程组，解得；
同理当时，
，为直角三角形，
又的长即为，
，
∵由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，
，
与、联立组成解方程组，解得；
同理当时
在中，，
在中，
，
，此方程无解．
经解方程组可知只有两个值满足条件．
故⑤错误．
故答案为：①③④．
15．（•东湖区模拟）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，下列结论中一定正确的是__________（填序号即可）．①；②若，，，是抛物线上的两点，当时，；③若方程的两根为，，且，则；④．

【解析】①函数的对称轴在轴右侧，则，而，故，故①正确，符合题意；
②，，，是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：，
当时，，故②正确，符合题意；
③抛物线与轴的另外一个交点坐标为，

若方程，
即方程的两根为，，
则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标，
，
，③错误，不符合题意；
④当时，，
当时，，
故，
故④正确，符合题意；
故答案为：①②④．
16．（•贵港一模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且，对称轴为直线，则下列结论：①； ②； ③关于的方程无实根，④；⑤．其中正确结论的有__________．

【解析】抛物线与轴有两个不同交点，因此，开口向下，，因此，故①不正确；
抛物线与轴交于正半轴，因此，对称轴为，所以，也就是，
，故②不正确；
当时，根据图象可得有两个不同实数根，即有两个不等实根，因此③不正确；
，代入得：，即：，因此④正确；
设，，，，有、是方程的两个根，有有，又，，所以，故⑤正确；
综上所述，正确的有④⑤，
故答案为：④⑤
三．解答题
17．（•秦淮区一模）已知二次函数为常数）．
（1）该函数的图象与轴有__________个公共点；
（2）在该函数的图象上任取两点，，试比较与的大小．
【解析】（1）函数为常数），
△，
该函数的图象与轴有2个交点，
故答案为2；
（2）因为点、在的函数图象上，
所以，．
所以．
当时，，．
当时，，．
当时，，．
18．（•高青县一模）已知：二次函数与一次函数．
（1）两个函数图象相交吗？若相交，有几个交点？
（2）将直线向下平移个单位，使直线与抛物线只有一个交点，求的值．
【解析】（1），
解得，或，
即两个函数图象相交，有两个交点；
（2）将直线向下平移个单位，得直线，
令，
得，
∵直线与抛物线只有一个交点，
△，
解得，．
19．（•工业园区一模）如图，已知抛物线与轴相交于点，其对称轴与抛物线相交于点，与轴相交于点．
（1）求的长；
（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为．若新抛物线经过原点，且，求新抛物线对应的函数表达式．

【解析】（1）令，则，
，
，
，
；
（2），
抛物线向上平移1个单位经过原点，此时四边形是平行四边形，
，
此时新抛物线对应的函数表达式为，
抛物线，关于轴对称的抛物线为：，图象经过原点，且，
新抛物线对应的函数表达式为或．
20．（•枣阳市模拟）已知关于的二次函数的图象经过点，且与轴交于不同的两点、，点的坐标是．
（1）求的值和，之间的关系式；
（2）求的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线交于、两点，设、、、四点构成的四边形的对角线相交于点，记的面积为，的面积为，当时，求证：为常数，并求出该常数．

【解析】（1）将点代入得，则，
将点代入得，
；

（2）二次函数的图象与轴交于不同的两点，
一元二次方程的判别式△，
而△，
的取值范围是，且；

（3），
对称轴为，
．
把代入得，
解得，，
，
．
为常数，这个常数为1．
21．（•市南区一模）如图，某小区在墙体上的点处安装一抛物线型遮阳棚，现以地面和墙体分别为轴和轴建立直角坐标系，已知遮阳棚的高度与地面水平距离之间的关系式可以用表示，且抛物线经过，．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）求遮阳棚跨度的长；
（3）现准备在抛物线上一点处，安装一直角形钢架对遮阳棚进行加固（点，分别在轴，轴上，且轴，轴），现有库存10米的钢材是否够用？

【解析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为：；

（2），
令，解得：（舍去）或8，
故；

（3）设点，
由题意得：，
整理得：，
△，
故方程无解，
故现有库存10米的钢材不够用．
22．（•宁波模拟）已知：如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中点坐标为，为二次函数图象的顶点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求的面积．

【解析】（1）函数的表达式为：，
将点代入上式得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：，即；
（2）由可知点，

点坐标为，对称轴为直线，
，
则直线函数表达式为：，
把代入得，
过点作轴的平行线交于点，
则点，
．
23．（•青白江区模拟）如图，抛物线与轴，轴分别交于点，，点三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）轴上是否存在点，使最小？若存在，请求出点的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）连接，设为线段中点．若是抛物线上一动点，将点绕点旋转得到点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，直接写出点的坐标．

【解析】（1）抛物线与轴交于点，，
设抛物线的解析式为，
，，抛物线的解析式为；
（2）如图，

在轴下方作，交轴负半轴于，则，
，，
根据勾股定理得，，
，，，
∵抛物线的解析式为，，，
，
过点作于，
在△中，，，
当点，，在同一条直线上时，最小，最小值为，
，，
即的最小值，
，，
，，，
，，，；
（3）如备用图，
设，
以、、、为顶点的四边形是矩形，
，
∵点在轴负半轴，且，
点在轴上方的抛物线，
过点作轴于，作轴于，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
．
，
，或，，
点是点关于点，的对称点，
，或，．


24．（•潍坊一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于原点和点，点在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；
（2）若点为线段上方抛物线上的一点，过点作轴的垂线，交于点，求线段长度的最大值．
（3）求的值．
（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得为以为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由，若存在，请直接写出点的坐标．

【解析】（1）把点，点分别代入得：
，
解得：，
即抛物线的表达式为：，
它的对称轴为：；
（2）把点代入得，
则点的坐标为：，
由点，得直线的解析式为：，
设点，则点，
，
当时，的值最大，最大值为；
（3）如图1，过点作，交于点，过点作，交于点，

，
，，
为等腰直角三角形，
，，
在等腰中，，
，
，
；
（4）存在，
设点，
若，
∵点，点，点，
，
，，
当时，点，点，点共线，
不合题意舍去，
点坐标为
若，
∵点，点，点，

，，
点坐标为或，
综上所述：点或或．
25．（•龙华区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线：线与该抛物线交于、两点，如图．
①连接、、，当时，求的值；
②是否存在的值，使得原点关于直线的对称点刚好落在该抛物线上？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由．

【解析】（1）把、两点代入可得：
，
解得：，
抛物线的解析式为．

（2）①如图1中，

对于，令，可得，
，
，
，，
，
，
∵直线与轴交于，与轴交于，
，
，
，
，
，
直线应该在的上方，
在上取一点，使得，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
设，，则，，将它们代入抛物线的解析式得到：
，
解得，
的值为．

②如图2中，过点作交抛物线于或．

则直线的解析式为，
由，解得或，
，，，，
由题意直线经过或的中点，
或，
解得．