2024届辽宁省六校高三上学期期初考试数学试题含答案

2024届辽宁省六校高三上学期期初考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C．  D．

【答案】C

【分析】根据题意，，，再根据集合并集运算求解即可.

【详解】解：因为，，

所以

故选：C

2．已知复数，则下面关于复数z的命题正确的是（    ）

A．  B．复数z对应的点在第一象限

C．  D．复数z的虚部与实部互为相反数

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算化简，即可结合选项逐一求解.

【详解】由，得，

所以复数z对应的点在第二象限，，实部为虚部为，

故选：D

3．如果，那么下列不等式成立的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由于，不妨令，，代入各个选项检验，只有正确，从而得出结论．

【详解】解：由于，不妨令，，可得，，故A不正确．

可得，，，故B不正确．

可得，，，故C不正确．

故选：D．

4．已知函数，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】依题意，对分类讨论并解方程即可解除的值，再代入即可得解.

【详解】依题意，所以可能有以下两种情形：

情形一：若，则，所以，解得(不符题意，舍去).

情形二：若，则，所以,解得.

综上有.故.

故选：A.

5．已知函数的图象如图1所示，则图2所表示的函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根函数图象判断两个函数见的位置关系，进而可得解.

【详解】由图知，将的图象关于轴对称后再向下平移个单位即得图2，

又将的图象关于轴对称后可得函数，

再向下平移个单位，可得

所以解析式为，

故选：C.

6．为纪念我国伟大数学家祖冲之在圆周率上的贡献，国际上把称为“祖率”，某教师为了增加学生对“祖率”的印象，以“祖率”为背景设计如下练习：让同学们把小数点后的位数字进行随机排列，整数部分不变，那么可以得到小于的不同数有（    ）个

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】依照分步计数原理及排列计算即可.

【详解】由题意先排十分位必为1，一种方法，再排百分位可以为1或2，两种方法，最后排其余后面的数位，余下的五个数字全排列即可，即不同种数有.

故选：C

7．黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列时，发现其递推公式就可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即 ，如果该数列的前两项分别为，其前项和记为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据，得，将中每一项逐一拆解，即可求解.

【详解】解：由得，

所以

，

.

故选：D.

8．已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，由得，进而判断函数的单调性，判断各选项不等式.

【详解】，则，

因为在上恒成立，

所以在上恒成立，

故在上单调递减，

所以，，故A不正确；

所以，即，即，故B不正确；

，即，即，故C正确；

，即，即，故D不正确；

故选：C.

二、多选题

9．月亮公转与自转的周期都大约为27天，阴历是按月亮的月相周期安排的历法，人们根据长时间的观测，统计了月亮出来的时刻（简称“月出时刻”，单位：）与阴历日数（，且）的有关数据如表所示，并且根据表中数据，求得关于的经验回归方程为.

其中，阴历22日是分界线，从阴历22日开始月亮就要到第二天（即23日0：00）才出来.则（    ）

A．， B．

C．预报月出时刻为的那天是阴历13日 D．预报阴历27日的月出时间为阴历28日早上4：00

【答案】AD

【分析】A.利用平均数求解判断；B.将样本点代入回归直线方程求解判断；C.由 求解判断；将，代入求解判断

【详解】，，故选项A正确；

将样本平均数，代入，得，故选项B错误；

，由，得，故选项C错误；

将，代入，得，所以月出时间应该为28日早上4：00，选项D正确.

故选：AD.

10．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可.

【详解】由，得

当时，不等式的解为，要想有3个整数解，只需；

当时，不等式的解集为，不符合题意；

当时，不等式的解为，要想有3个整数解，只需；

综上所述：实数的取值范围是.

对选项逐一检验，只有，符合.

故选：BD

11．已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（    ）

A．是以4为周期的周期函数

B．

C．函数有3个零点

D．当时，

【答案】ACD

【分析】首先判断出的周期，然后求得.利用图象法判断C选项的正确性，通过求在区间上的解析式来判断D选项的正确性.

【详解】依题意，为偶函数，且关于对称，

则

，

所以是周期为4的周期函数，A正确.

因为的周期为4，则，，

所以，B错误；

作函数和的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，C正确；

当时，，则，D正确.

故选：ACD

12．设，且，那么（    ）

A．有最小值

B．有最大值

C．ab有最大值.

D．ab有最小值.

【答案】AD

【分析】直接利用基本不等式分别求出和ab的范围，对照四个选项进行判断.

【详解】，，

，当时取等号，

，解得，

，

有最小值；

，当时取等号，

，

，

，解得，即，

有最小值．

故选：AD

三、填空题

13．已知 展开式中的常数项为80，则实数         .

【答案】

【分析】写出展开式通项公式，根据常数项求参数即可.

【详解】由题设，展开式通项为，

当时，常数项为，则.

故答案为：1

14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为        .

【答案】

【分析】根据抽象函数、对数函数的定义域求法以及分母不等于零求得结果.

【详解】已知函数的定义域为，

所以，，

所以函数的定义域为，

又，且，解得，且，

所以定义域为.

故答案为：.

15．已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是      .

【答案】

【分析】设切点坐标，写出切线方程，代入点，则得到的方程有两解，再转化为两个函数图象有两个交点解决问题.

【详解】设切点为，由题意，，

所以切线的方程为，代入点，

可得，即.

因为过点可以作曲线的两条切线，所以方程有2解.

令函数，则，

当时，；当时，.

所以在上单调递增，在上单调递减.

所以的极大值为，当趋向于正无穷大时，无限趋向负无穷大，，

当趋向于0时，无限趋向于0，

作出函数与函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，

因此，实数的取值范围是.

故答案为：

16．已知集合，，将中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列，设数列的前项和为，则使得成立的最小的的值为             .

【答案】36

【分析】由题可得为数列的项，且利用分组求和可得，通过计算即得.

【详解】由题意，对于数列的项，其前面的项1，3，5，…，，共有项，，共有项，所以为数列的项，

且.

可算得（项），，，

因为，，，所以，，，

因此所求的最小值为36.

故答案为：36.

四、解答题

17．若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项.

(1)求和的调和中项；

(2)已知调和数列，，，求的通项公式.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意得到、、成等差数列，从而得到方程，求出，得到答案；

（2）根据题意得到是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，从而求出，得到的通项公式.

【详解】（1）设和的调和中项为，依题意得：、、成等差数列，

所以，解得：，

故和的调和中项为；

（2）依题意，是等差数列，设其公差为，

则，

所以，

故.

18．飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流.某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表:

(1)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望；

(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因.

附:，其中.

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】(1)分别写出对相应概率列分布列求数学期望即可；

(2)先求 再根据数表对应判断相关性即可，对比两次的值可以得出结论说明原因.

【详解】（1）样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性 16 人，女性 24 人，比例为 ，

按照性别采用分层抽样的方法抽取 10 人，则抽取男性 4人，女性 6人.

随机变量的取值为:.

,

,

随机变量的分布列为

随机变量的数学期望.

（2）零假设为:爱好飞盘运动与性别无关联.

根据列联表重的数据，经计算得到

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为爱好飞盘运动与性别无关联.

列联表中所有数据都扩大到原来的10倍后，

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联.

所以结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的 10 倍，相当于样本量变大为原来的 10 倍，导致推断结论发生了变化.

19．已知函数

(1)若函数存在两个极值点，求的取值范围；

(2)若在恒成立，求的最小值.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）函数存在两个极值点，等价于有两个不同的解，利用判别式大于零求解即可；

（2）在恒成立，即，转化为求的最大值，利用导数即可得答案.

【详解】（1）因为，

所以

因为函数存在两个极值点，

所以有两个不同的解，

所以，解得或

（2）在恒成立，即恒成立，

令，则

因为，

设，

在上都递减，

所以在上递减，

所以，当时，，此时，在上递增，

当时，，此时，在上递减，

所以，

所以， 即

20．2023年4月23日是第28个“世界读书日”.为了倡导学生享受阅读带来的乐趣、尊重和保护知识产权，立德中学举办了一次阅读知识竞赛.初赛中每支队伍均要参加两轮比赛，只有两轮比赛均通过的队伍才能晋级.现有甲、乙两队参赛，初赛中甲队通过第一轮和第二轮的概率均为，乙队通过第一轮和第二轮的概率分别为，，且各队各轮比赛互不影响.

(1)记甲、乙两队中晋级的队伍数量为X，求X的分布列和数学期望；

(2)经过激烈的比拼，甲、乙两队成功进入决赛争夺冠军.决赛共有两道抢答题.第一题中，某支队伍若抢到并答对则加10分，若抢到但答错则对方加10分.第二题中，某支队伍若抢到并答对则加20分，若抢到但答错则对方加20分.最终得分高的队伍获胜.假设两支队伍在每一题中抢到答题权的概率均为，且每一题答对的概率分别与初赛中通过对应轮次的概率相等.各队各题作答互不影响.已知甲队获得了冠军，计算第二题是由甲队抢到答题权的概率.

【答案】(1)分布列见解析，

(2)

【分析】（1）设“甲队晋级”为事件，“乙队晋级”为事件，求得，，得到的可能取值为，求得相应的概率，出分布列，结合期望的公式，即可求解；

（2）记事件 “甲队获得冠军”， “该题由甲队抢到答题权”，结合条件概率的公式，即可求解.

【详解】（1）解：设“甲队晋级”为事件，“乙队晋级”为事件，

可得，，

则随机变量的可能取值为，

可得；.

.

所以随机变量的分布列为

则期望.

（2）由题意，第二题得分的那队获得胜利，

记事件 “甲队获得冠军”， “第二题由甲队抢到答题权”，

可得，

又由，

故.

21．设数列的前n项和为．已知，，．

(1)求证：数列是等差数列；

(2)设数列的前n项和为，且，令，求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)应用,结合等差数列定义证明即可;

(2)先求等比数列的通项公式,再两次应用错位相减或裂项相消

【详解】（1）①，

当时，②，

①－②得：,

即，

所以，且，

所以是以1为公差的等差数列．

（2）由（1）得，．

当时，；当时，；

又满足上式，所以．

所以，记数列的前n项和为．

方法一：（两次错位相减）

，①

，②

①－②得，③

则，④

③－④得

，

所以．

方法二：（裂项）

因为，

所以

．

22．已知函数，且.

(1)求实数的取值范围；

(2)设为整数，且对任意正整数，不等式恒成立，求的最小值；

(3)证明：.

【答案】(1)

(2)2

(3)证明见解析

【分析】（1）法一：由得出，利用导数得出，进而得出实数的取值范围；法二：由确定是上最小值，也是极小值，进而得出的值，再检验即可；法三：由洛必达法则求解即可；

（2）由，通过赋值得出，再由等比求和公式得出的最小值；

（3）由在上恒成立，令和，由对数的运算证明即可.

【详解】（1）法一：在上恒成立

在上恒成立

设

①当时，恒成立在上单调递增，且时，不符合题意，舍去

②当时，令，则；令，则.

在上单调递减，在上单调递增

.

设

令，则；令，则.

在上单调递增，在上单调递减

，即当时，

的取值范围是：.

法二：在上恒成立

是上最小值，也是极小值

，即

当时，

令，则；令，则

在上单调递减，在上单调递增

即，满足：在上恒成立

法三：①当时，恒成立，.

②当时，恒成立，设

设

在上单调递增，在上单调递增

当时，为“”型

由洛必达法则得

当时，，即

③当时，恒成立，设

设

在上单调递减，在上单调递增

当时，为“”型

由洛必达法则得

当时，，即

综上，的取值范围是：

（2）由（1）知，，即在上恒成立（当且仅当时取等）

令，则.

即

又且的最小值为2.

（3）不等式在上恒成立（当且仅当时取等）

令，则，即.

令，则，即

故.

【点睛】关键点睛：在解决问题（2）（3）时，关键是利用不等式，通过赋值得出的最值和证明不等式.