2024届福建省三明市第一中学高三上学期暑假考试（开学考试）数学试题含答案

2024届福建省三明市第一中学高三上学期暑假考试（开学考试）数学试题

一、单选题

1．已知角的终边上有一点的坐标为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用任意角的三角函数定义进行判断.

【详解】因为角的终边上有一点的坐标为，

所以，故A，B，C错误.

故选：D.

2．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由对数型函数的值域结合集合运算判定选项即可.

【详解】由题意可得，即，

所以，，，即A、B、C三选项错误，D正确.

故选：D

3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则B等于（    ）

A．30° B．45°

C．30°或150° D．45°或135°

【答案】D

【分析】由正弦定理求解．

【详解】由正弦定理得，，

又，即，又∵，∴或，

故选：D．

4．已知，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先由的范围及同角三角函数的平方关系和商数关系得出，再根据诱导公式得出，由两角差的正切公式计算即可．

【详解】因为，

所以，

所以，

所以，

又因为，

所以，

所以，

故选：A．

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件结合诱导公式进行角的变换，再利用二倍角公式计算作答.

【详解】因，所以.

故选：B

6．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（    ）个月.（参考数据：）

A．20 B．27 C．32 D．40

【答案】B

【分析】根据和的两组值求出，再根据求出即可得解.

【详解】依题意得，解得，，

则，

这种垃圾完全分解，即分解率为，即，

所以，所以，

所以.

故选：B

7．若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设切点坐标为，由切点坐标求出切线方程，代入坐标，关于的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.

【详解】

设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，，

设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，，

当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减，

时，，单调递增，所以，结合图像知，即.

故选：D.

8．已知在上存在唯一实数使，又，对任意的，均有成立，则实数ω的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由三角恒等变换化简函数式，利用不等式恒成立得出的最大值，从而求得值，然后利用正弦函数性质根据题中唯一解的条件求得的范围．

【详解】，∴，

又对任意的，均有成立，即，所以恒成立，即恒成立，∴的最大值是，

所以，又，所以，

∴，

时，又，∴，，

，是唯一的，因此有，解得．

故选：A．

二、多选题

9．下列命题是真命题的是（    ）

A．，使函数在R上为偶函数

B．，函数的值恒为正数

C．，

D．，

【答案】AC

【分析】对AC例说明其正确性，对BD可举例说明其是错误的．

【详解】对A，当时，函数为，满足，即函数为偶函数，正确；

对B，当时，，B 错；

对C，当时，，正确；

对D，当时，，而，D错．

故选：AC．

10．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ）

A． B．是图象的一个对称中心

C．当时，取得最大值 D．函数在区间上单调递增

【答案】BD

【分析】求得函数的解析式判断选项A；代入验证判断选项B；代入验证判断选项C；代入验证判断选项D.

【详解】选项A：将函数的图象向右平移个单位长度得到函数.判断错误；

选项B：，

则是图象的一个对称中心.判断正确；

选项C：，

当时，取得最小值.判断错误；

选项D：由，可得

则函数在区间上单调递增.判断正确.

故选：BD

11．主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声.设噪声声波曲线函数为，降噪声波曲线函数为，已知某噪声的声波曲线部分图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．的单调减区间为，（）

D．图像可以由图像向右平移个单位得到

【答案】AB

【分析】由图象求出解析式，依据题意得出解析式，对各选项逐个辨析即可.

【详解】对于A，由已知，，

∴，故选项A正确；

对于B，∵，∴由图象知，，∴，

又∵，且在的单调递减区间上，

∴，（），∵，∴，

又∵，∴，

∴，故选项B正确；

对于C，，

由，（），解得，（），

∴的单调减区间为，（），故选项C错误；

对于D，图像向右平移个单位得到：

，

故选项D错误.

故选：AB.

12．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）

A．的图象关于对称 B．的图象关于对称

C． D．

【答案】AC

【分析】根据偶函数与奇函数得到对称，并得到周期，结合以上信息即可得到.

【详解】为偶函数，

关于对称，

根据图像变换关于对称，故A正确；

为奇函数，

关于中心对称，

根据图像变换关于中心对称，故B错误；

由以上分析得的周期为，即，故C正确；

关于中心对称，

，，

关于对称，

，

，

是周期为的函数，

，

，

，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．化简的结果为        ．

【答案】

【分析】根据诱导公式化简得解，注意需变函数名时三角函数的符号．

【详解】原式

．

【点睛】本题考查诱导公式，注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的运用要领，特别是需要变函数名时，函数的符号，此题属于基础题.

14．已知，若，则      ．

【答案】

【分析】构造新函数，利用的奇偶性求解．

【详解】设，易知的定义域是，又，∴是奇函数，

∵，所以，∴，

故答案为：．

15．在中，，，则的形状为      ．

【答案】等边三角形

【分析】由正弦定理化角为边得，再代入另一已知条件得，从而得三角形形状．

【详解】由正弦定理，所以，

代入得，∴，

所以，三角形为等边三角形，

故答案为：等边三角形．

16．已知恒成立，则t的取值范围是          ．

【答案】

【分析】由已知不等式变形为，构造函数，借助函数单调性，可得恒成立，通过分离参数，以及构造导数求得t的取值范围.

【详解】由，得，

所以，即，

即恒成立，

构造函数，上式即为恒成立，

因为，所以在R上单调递增，

则可得恒成立，

所以，即，

再设，因为，

所以当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；

所以，

从而，即t的取值范围是.

故答案为：

【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：

若在区间上有最值，则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

若能分离常数，即将问题转化为：（或），则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

四、解答题

17．在中，．

(1)求；

(2)若，且的面积为，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.

【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，

可得，因此，.

（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.

由余弦定理可得，，

所以，的周长为.

18．已知.

(1)若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；

(2)若在区间上存在单调递增区间，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）函数求导后，函数在区间内单调递增，转换成在上恒成立，孤立参数得，转换成求函数最大值，从而得实数的取值范围；

（2）函数求导后，在区间上存在单调递增区间转换成在上能成立，孤立参数得，转换成求函数最小值，从而得实数的取值范围.

【详解】（1）解：，

在区间内单调递增

在上恒成立，

在上恒成立，

在上恒成立，

，

在，

则的取值范围是：.

（2）解：在上存在单调递增区间，

则在上有解，

即在上有解，

，

又，.

则的取值范围是：.

19．已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且.

⑴ 写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

⑵ 当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入年总成本）.

【答案】(1)详见解析;(2) 千件.

【详解】试题分析：由年利润＝年销售收入年总成本，结合，即可得到所求的解析式；

由的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果．

解析：⑴ 当时，

；                

当时，.

故，                   

⑵①当时，由，

得当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

故；              

②当时，，

当且仅当时，.                            

综合①、②知，当时，取最大值.                 

所以当年产量为千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大.

20．已知函数.

(1)求函数在区间上的最值；

(2)若，，求的值.

【答案】(1)最大值为，最小值为

(2)

【分析】（1）先逆用正弦的和差公式化简得，再利用正弦型函数的单调性求得的最值；

（2）先利用三角函数的平方关系求得，再利用倍角公式求得，进而利用正弦的和差公式求得.

【详解】（1）因为

，

又，所以，故，

所以，

所以函数在区间上的最大值为，最小值为；

（2）因为，，所以，

所以，，

所以

.

21．在下面的三个条件中任选一个补充到问题中，并给出解答．

①，②，③，，．

在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______．

(1)求角C；

(2)若，求周长的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选①，由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式等化简求得；选②，由两角和与差的正弦公式变形求解；选③，由垂直的向量表示得出边的关系，再由余弦定理求角；

（2）由余弦定理得边关系后，结合基本不等式和三角形性质得周长范围．

【详解】（1）选①：由正弦定理及，

得，

又∵，

∴．

∵，∴．

又∵，∴．

选②：由，

得，

即，

∴．

∵，∴，

∴，∴．

选③：∵，

∴，

化简得，

∴．

∵，

∴．

（2）由余弦定理得．

∵，∴，当且仅当时等号成立．

∴，

∴，

当且仅当时等号成立．

∴．

又∵，∴．

∴周长的取值范围为．

22．已知曲线C：

(1)若曲线C过点，求曲线C在点P处的切线方程；

(2)当时，求在上的值域；

(3)若，讨论的零点个数．

【答案】(1)

(2)

(3)答案见解析

【分析】（1）由导数得切线斜率，然后由点斜式得切线方程并化简；

（2）由导数的正负确定单调性进而即得；

（3）先求得，得的单调性，然后讨论的正负，结合零点存在定理得零点个数．

【详解】（1）依题意得，，此时，

，

则切线斜率为，

故切线方程：，即；

（2）当时，，则，

∴，

∴在上单调递减，

又，，

故值域为．

（3），

令得，

令得，

令得．减区间为，增区间为，

∴．

当时，，∴，∴在上有且仅有一个零点．

当时，令，，∴在上单调递增，

∴，即，

又，∴在上有一个零点，又

令，则，∴在上单调递减，

∴，∴，∴在上有一个零点．

综上所述，时，有一个零点，时，有2个零点.

【点睛】方法点睛：利用导数确定零点个数问题，方法是利用导数确定函数的单调性，得出函数的最值，然后确定最值的正负（有时需要再次引入新函数，由新函数的导数得出结论）同时确定某些函数值的正负，从而利用零点存在定理得出零点的个数．