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辽宁省七校2024-2025学年高二上学期期初考试数学试题（Word版附答案）
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这是一份辽宁省七校2024-2025学年高二上学期期初考试数学试题（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了已知复数是纯虚数，则实数，下列命题正确的是，已知，则的值为，已知复数，下列结论正确的有等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在题目给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.已知复数是纯虚数，则实数（ ）
A. B. C.0 D.1
2.已知某圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
3.设为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（ ）
A.若上有两个点到平面的距离相等，则
B.若是异面直线，，则
C.若不垂直于，则必不垂直于
D.若，则“”是“”的既不充分也不必要条件
4.已知函数的部分图象如图所示，且，则（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，在正四面体中，点是线段上靠近点的四等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.下列命题正确的是（ ）
A.若，且则
B.若，则不共线
C.若是平面内不共线的向量，且存在实数使得，则三点共线
D.若，则在上的投影向量为
7.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则为（ ）
A.等腰三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.锐角三角形
二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知复数，下列结论正确的有（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若复数满足，则在复平面对应的点是
D.若是关于的方程的一个根，则
10.设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A.的图象关于直线对称
B.的取值范围是
C.在上单调递增
D.在上，方程的根有3个，方程的根有3个
11.化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为4，则（ ）
A.正八面体的外接球体积为
B.正八面体的内切球表面积为
C.若点为棱上的动点，则的最小值为
D.若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.，则__________.
13.在中，为的外心，若，则的值为__________.
14.在中，角的对边分别为，若，则的取值范围为__________.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
16.已知向量
（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；
（2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
17.已知的内角的对边分别为，满足.
（1）求角；
（2）若的外接圆的面积为，求的面积.
18.如图，在四棱锥中，平面.
（1）求证：平面；
（2）若，求与平面成角的正弦值；
（3）设点为的中点，过点的平面与棱交于点，且平面，求的值.
19.若函数满足：对任意，则称为“函数”.
（1）判断是不是函数（直接写出结论）；
（2）已在函数是函数，且当时，.求在的解析式；
（3）在（2）的条件下，时，关于的方程（为常数）有解，求该方程所有解的和.
高二联考数学试卷参考答案及评分标准
一､单选题
1-8.BDBC ACBB
二､多选题
9.CD 10.BC 11.BCD
三､填空题
12.3 13.2 19.
四､解答题
15.（13分）
解：（1）连接交于点，连接.
四边形是矩形，是的中点.
又为的中点，.
平面平面平面
（2）面面.
是矩形，.
而平面平面
又平面平面平面.
16.（15分）
（1）因为
所以函数的最小正周期；
因为函数的单调增区间为，
所以，
解得，
所以函数的单调增区间为；
（2）不等式有解，即；
因为，所以，又，
故当，即时，取得最小值，且最小值为，
所以
17.（15分）
（1）解：（1）因为，
所以，
所以，即，
由余弦定理可得：，
所以，
因为，
所以；
（2）因为的外接圆的面积为，
设的外接圆半径为，
即，
解得，
由正弦定理得，
因为，由正弦定理得，
由（1）知，
所以，得，则，
所以的面积为.
18.（17分）
（1）因为平面平面，所以，
又平面，
所以平面
（2）平面
平面，为所求
中，
中，
.
（3）因为平面，平面平面，
平面，所以，因为点为的中点，
所以点为的中点，所以.
19.（17分）
（1）是函数，证明如下：
因为，又，，所以，
故是函数，
是函数，证明如下：
因为，
，所以
，故是函数.
（2）因为，所以函数的周期为，又，
所以函数关于直线对称，
因为时，所以，
当，即时，
当，即时，，
又时，，所以
，
综上，在上的解析式为；
（3）由（2）知，当时，，所以
，得到
又函数的周期为，所时，的图像如图，
由图知，当时，有5个解，其和为，
当时，有8个解，由对称知，其和为，
当时，有12个解，由对称知，其和为
，
当时，有16个解，由对称知，其和为
，
当时，有8个解，由对称知，其和为
，
综上，方程所有解的和.
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在题目给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.已知复数是纯虚数，则实数（ ）
A. B. C.0 D.1
2.已知某圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
3.设为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（ ）
A.若上有两个点到平面的距离相等，则
B.若是异面直线，，则
C.若不垂直于，则必不垂直于
D.若，则“”是“”的既不充分也不必要条件
4.已知函数的部分图象如图所示，且，则（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，在正四面体中，点是线段上靠近点的四等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.下列命题正确的是（ ）
A.若，且则
B.若，则不共线
C.若是平面内不共线的向量，且存在实数使得，则三点共线
D.若，则在上的投影向量为
7.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则为（ ）
A.等腰三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.锐角三角形
二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知复数，下列结论正确的有（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若复数满足，则在复平面对应的点是
D.若是关于的方程的一个根，则
10.设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A.的图象关于直线对称
B.的取值范围是
C.在上单调递增
D.在上，方程的根有3个，方程的根有3个
11.化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体的（如图2）棱长为4，则（ ）
A.正八面体的外接球体积为
B.正八面体的内切球表面积为
C.若点为棱上的动点，则的最小值为
D.若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.，则__________.
13.在中，为的外心，若，则的值为__________.
14.在中，角的对边分别为，若，则的取值范围为__________.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
16.已知向量
（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；
（2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
17.已知的内角的对边分别为，满足.
（1）求角；
（2）若的外接圆的面积为，求的面积.
18.如图，在四棱锥中，平面.
（1）求证：平面；
（2）若，求与平面成角的正弦值；
（3）设点为的中点，过点的平面与棱交于点，且平面，求的值.
19.若函数满足：对任意，则称为“函数”.
（1）判断是不是函数（直接写出结论）；
（2）已在函数是函数，且当时，.求在的解析式；
（3）在（2）的条件下，时，关于的方程（为常数）有解，求该方程所有解的和.
高二联考数学试卷参考答案及评分标准
一､单选题
1-8.BDBC ACBB
二､多选题
9.CD 10.BC 11.BCD
三､填空题
12.3 13.2 19.
四､解答题
15.（13分）
解：（1）连接交于点，连接.
四边形是矩形，是的中点.
又为的中点，.
平面平面平面
（2）面面.
是矩形，.
而平面平面
又平面平面平面.
16.（15分）
（1）因为
所以函数的最小正周期；
因为函数的单调增区间为，
所以，
解得，
所以函数的单调增区间为；
（2）不等式有解，即；
因为，所以，又，
故当，即时，取得最小值，且最小值为，
所以
17.（15分）
（1）解：（1）因为，
所以，
所以，即，
由余弦定理可得：，
所以，
因为，
所以；
（2）因为的外接圆的面积为，
设的外接圆半径为，
即，
解得，
由正弦定理得，
因为，由正弦定理得，
由（1）知，
所以，得，则，
所以的面积为.
18.（17分）
（1）因为平面平面，所以，
又平面，
所以平面
（2）平面
平面，为所求
中，
中，
.
（3）因为平面，平面平面，
平面，所以，因为点为的中点，
所以点为的中点，所以.
19.（17分）
（1）是函数，证明如下：
因为，又，，所以，
故是函数，
是函数，证明如下：
因为，
，所以
，故是函数.
（2）因为，所以函数的周期为，又，
所以函数关于直线对称，
因为时，所以，
当，即时，
当，即时，，
又时，，所以
，
综上，在上的解析式为；
（3）由（2）知，当时，，所以
，得到
又函数的周期为，所时，的图像如图，
由图知，当时，有5个解，其和为，
当时，有8个解，由对称知，其和为，
当时，有12个解，由对称知，其和为
，
当时，有16个解，由对称知，其和为
，
当时，有8个解，由对称知，其和为
，
综上，方程所有解的和.
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