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重庆巴蜀科学城中学校2023-2024学年九年级上学期开学数学练习（一）
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2023-2024学年重庆市巴南区科学城中学九年级（上）开学数学练习（一）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）平面直角坐标系中，一次函数y＝的图象与一次函数y＝的图象（ ）
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．不是轴对称
D．既关于x轴对称，又关于y轴对称
3．（4分）如图，已知AE与BD相交于点C，连接AB、DE，下列所给的条件不能证明△ABC∽△EDC的是（ ）
A．∠A＝∠E B．＝ C．AB∥DE D．＝
4．（4分）如图，△ABC中，∠C＝70°，∠B＝40°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠BAC′的度数为（ ）
A．30° B．40° C．46° D．35°
5．（4分）下列说法正确的有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦．②三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．④在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（4分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接BO．若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为（ ）
A．36° B．54° C．64° D．72°
7．（4分）已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则ab＞0；②平行四边形的对角线互相垂直平分；③若|x|＝2，则x＝2；④圆的切线垂直于经过切点的直径，其中真命题是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②
8．（4分）一次函数y＝abx+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角内坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）函数y＝﹣x2+2kx﹣4在﹣1≤x≤2时，y≤0恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．﹣≤k≤﹣1 B．﹣2≤k≤2 C．﹣1≤k≤2 D．﹣≤k≤2
10．（4分）下列算式中正确的是（ ）
A．（﹣14）﹣5＝﹣9 B．0﹣（﹣3）＝3
C．（﹣3）﹣（﹣3）＝﹣6 D．|5﹣3|＝﹣（5﹣3）
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）函数y＝的定义域是 ．
12．（3分）等边三角形的最小旋转角是 度．
13．（3分）已知：△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BE＝AB，F为AC上一点，且CF＝AC，EF交AD于P，则EP：PF＝ ．
14．（3分）现有五张正面分别标有数字﹣2，﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n．则点P（m，n）在第四象限的概率为 ．
15．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 ．
16．（3分）已知正方形ABCD边长为5，以AB和CD为斜边，向正方形内部作两个全等的直角三角形，分别是△ABE和△CDF，两个直角三角形一条直角边为3，连接EF，则EF＝ ．
17．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤m，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数m的积为 ．
18．（3分）对于任意一个四位数m，若它的千位数字与个位数字均不为0，且满足千位数字与个位数字的差等于百位数字与十位数字的差，则称这个四位数m为“博雅数”．将“博雅数”m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到m的逆序数m′，并记．例如：m＝3421，因为3≠0，1≠0，3﹣1＝4﹣2，所以3421是“博雅数”；4512不是“博雅数”，因为4﹣2≠5﹣1．若x，y都为“博雅数”，记x的千位数字与个位数字分别为p，q，y的千位数字与个位数字分别为s，t，其中1≤q＜p≤9，1≤s，t≤9，p，q，s，t均为整数．若F（x）能被8整除，F（x）+F（y）＝7p+q+13s﹣8t+st，则所有F（y）的可能值的和为 ．
三．解答题（共9小题，满分86分）
19．（10分）计算：
（1）（﹣2021）0+（）﹣1﹣（﹣2）2；
（2）（3x﹣1）（x﹣2）．
20．（6分）先化简再求值：（x+1﹣）÷，且x＝2017．
21．（10分）在“健康中国2030”背景下，促进全民体育运动，提升全民身体素质已经上升为国家战略青少年作为中国的未来，更是“健康中国2030”纲要重点关注对象．近日，某校对全体学生的“每周体育运动时间（小时）”进行了问卷调查，并从七、八年级中各随机抽取20名学生的“每周体育运动时间（小时）进行数据整理和分析．运动时间用x（小时）表示，共分为四组：A.0≤x＜6；B.6≤x＜9；C.9≤x＜12；D.12≤x＜15，其中记x≥9为达标．下面给出了部分信息．
七年级20名学生的“每周体育运动时间（小时）”为：7，5，9，10，7，8，7，11，10，14，14，10，5，8，13，10，8，9，6，11．
八年级20名学生的“每周体育运动时间（小时）”在C组的数据是：10，10，9，10，11，10，11，9…
七八年级各20名学生的“每周体育运动时间（小时）”统计表
年级
平均数
中位数
众数
达标率
七年级
9.1
9
b
55%
八年级
9.1
a
10
m%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中a，b，m的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生的“每周体育运动时间（小时）“哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级分别有600、800名学生，请估计两个年级一共有多少学生的“每周体育运动时间（小时）”可以达标．
22．（10分）某超市老板以4800元购进一批玩具．“六一”儿童节期间，按进价增加20%作为销售价，销售了50件，之后把最后几件以低于进价10元作为售价，售完所有玩具．全部售完后共盈利700元，求每个玩具的进价是多少元？
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），点B（﹣6，0），直线y＝﹣x与直线AB交于点C．动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线CO运动，设运动时间为t秒，△PAO的面积为S．
（1）求点C的坐标；
（2）求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
24．（10分）如图，AB∥CD，点E是CD的中点
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠BDC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，设∠BDC的平分线交AB于点F，连接EF交BC于点H，若HB＝HC，求证：四边形BDEF是菱形．
证明：∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE．
∵CH＝BH，
∴ ．
∵AB∥CD，
∴四边形BDEF是平行四边形．
∵AB∥CD，
∴ ．
∵DF平分∠BDC，
∴ ．
∴∠BFD＝∠BDF，
∴ ，
∴四边形BDEF是菱形．
25．（10分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝100°，∠BOC＝α．以OC为边作等边△OCD，连接AD．
（1）求证：△BOC≌△ADC；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接AC．直线y＝x﹣5经过点B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一点，连接AP，若AP将△ABC的面积分成相等的两部分，求P点坐标；
（3）在直线BC上是否存在点M，使直线AM与直线BC形成的夹角（锐角）等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（10分）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在直线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接AE，CE．
（1）当点D与点B重合时，如图1，请直接写出线段EC和线段AC的数量关系；
（2）点D在线段BC上（不与点B，C重合）时，请写出线段AC，DC，EC之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AB＝4，CD＝1，请直接写出△DCE的面积．
2023-2024学年重庆市巴南区科学城中学九年级（上）开学数学练习（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
2．（4分）平面直角坐标系中，一次函数y＝的图象与一次函数y＝的图象（ ）
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．不是轴对称
D．既关于x轴对称，又关于y轴对称
【答案】B
【解答】解：∵一次函数y＝的图象与一次函数y＝与y轴都交于（0，2）
且两个图象的k值互为相反数，
∴两个函数的图象与y轴的夹角相等
∴两个函数的图象关于y轴对称．
故选：B．
3．（4分）如图，已知AE与BD相交于点C，连接AB、DE，下列所给的条件不能证明△ABC∽△EDC的是（ ）
A．∠A＝∠E B．＝ C．AB∥DE D．＝
【答案】D
【解答】解：A、若∠A＝∠E，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC∽△EDC，故选项A不符合题意；
B、若，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC∽△EDC，故选项B不符合题意；
C、若AB∥DE，可得∠A＝∠E，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC∽△EDC，故选项C不符合题意；
D、若，且∠ACB＝∠DCE，则不能证明△ABC∽△EDC，故选项D符合题意；
故选：D．
4．（4分）如图，△ABC中，∠C＝70°，∠B＝40°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠BAC′的度数为（ ）
A．30° B．40° C．46° D．35°
【答案】A
【解答】解：由旋转可知：AC＝AC'，
∴∠AC'C＝∠C＝70°，
∵∠C+∠AC'C+∠CAC'＝180°，
∴∠CAC'＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵∠B＝40°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴∠BAC'＝∠BAC﹣∠CAC'＝70°﹣40°＝30°，
故选：A．
5．（4分）下列说法正确的有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦．②三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．④在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：①平分弦的直径垂直于弦，错误，应该是平分弦（此弦非直径）的直径垂直于弦．
②三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．正确．
③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．正确．
④在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，错误，弦所对的圆周角有两个，这两个角也可能互补．
故正确的有②③．
故选：B．
6．（4分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接BO．若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为（ ）
A．36° B．54° C．64° D．72°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠DAC＝∠ACB＝36°，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AO＝CO，
又∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠OBC＝90°﹣∠ACB＝54°，
故选：B．
7．（4分）已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则ab＞0；②平行四边形的对角线互相垂直平分；③若|x|＝2，则x＝2；④圆的切线垂直于经过切点的直径，其中真命题是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②
【答案】A
【解答】解：①同号得正，故正确；
②平行四边形的对角线互相平分，但不垂直，错误；
③若|x|＝2，则x＝±2，也错误；
④圆的切线垂直于经过切点的直径，正确．
故其中真命题是①④．
故选：A．
8．（4分）一次函数y＝abx+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角内坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ab＜0，由直线可知，ab＞0，c＞0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ab＞0，由直线可知，ab＞0，c＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，则ab＜0，由直线可知，ab＞0，c＜0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ab＜0，由直线可知，ab＜0，c＜0，故本选项不合题意．
故选：B．
9．（4分）函数y＝﹣x2+2kx﹣4在﹣1≤x≤2时，y≤0恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．﹣≤k≤﹣1 B．﹣2≤k≤2 C．﹣1≤k≤2 D．﹣≤k≤2
【答案】D
【解答】解：该二次函数的对称轴为：x＝k，
当k≤﹣1时，
由于﹣1≤x≤2时，y≤0恒成立，
∴x＝﹣1时，y≤0成立即可，
∴﹣1﹣2k﹣4≤0，
∴k≥，
∴≤k≤﹣1，
当﹣1＜k≤2时，
由于﹣1≤x≤2时，y≤0恒成立，
∴x＝k时，y≤0成立即可，
∴﹣k2+2k2﹣4≤0，
∴﹣2≤k≤2，
∴﹣1＜k≤2，
当k＞2时，
由于﹣1≤x≤2时，y≤0恒成立，
∴x＝2时，y≤0成立即可，
∴﹣4+4k﹣4≤0，
∴k≤2，
∴此时k无解，
综上所述，≤k≤2，
故选：D．
10．（4分）下列算式中正确的是（ ）
A．（﹣14）﹣5＝﹣9 B．0﹣（﹣3）＝3
C．（﹣3）﹣（﹣3）＝﹣6 D．|5﹣3|＝﹣（5﹣3）
【答案】B
【解答】解：A选项，原式＝﹣14+（﹣5）＝﹣19，故该选项计算错误；
B选项，原式＝0+3＝3，故该选项计算正确；
C选项，原式＝﹣3+3＝0，故该选项计算错误；
D选项，等号左边＝2，等号右边＝﹣2，故该选项计算错误；
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）函数y＝的定义域是 x≥2且x≠3 ．
【答案】x≥2且x≠3．
【解答】解：由题意得：2x﹣4≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥2且x≠3，
故答案为：x≥2且x≠3．
12．（3分）等边三角形的最小旋转角是 120 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵360°÷3＝120°，
∴该图形的最小旋转角为120°．
故答案为：120．
13．（3分）已知：△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BE＝AB，F为AC上一点，且CF＝AC，EF交AD于P，则EP：PF＝ 5：4 ．
【答案】5：4．
【解答】解：作EM∥BD交AD于M、作FN∥CD交AD于N，如图，
∵BE＝AB，
∴＝，
∵EM∥BD，
∴＝＝，
即EM＝BD，
∵CF＝AC，
∴＝，
∵PN∥CD，
∴＝＝，
即FN＝CD，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴＝＝，
∵FN∥EM，
∴＝＝．
故答案为：5：4．
14．（3分）现有五张正面分别标有数字﹣2，﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n．则点P（m，n）在第四象限的概率为 ．
【答案】．
【解答】解：画树状图为：
共有25个等可能的结果，点P（m，n）在第四象限的结果有6个，
∴点P（m，n）在第四象限的概率＝；
故答案为：．
15．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 ．
【答案】．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，AB＝AC＝，
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝45°，
∴点B′、C、A共线，
∴线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积＝S扇形BAB′+S△AB′C﹣S扇形CAC′﹣S△ABC
＝S扇形BAB′﹣S扇形CAC′
＝﹣
＝π．
故答案为：．
16．（3分）已知正方形ABCD边长为5，以AB和CD为斜边，向正方形内部作两个全等的直角三角形，分别是△ABE和△CDF，两个直角三角形一条直角边为3，连接EF，则EF＝ 或 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）若△ABE≌△CDF，
∵AB＝CD＝5，BE＝DF＝3，∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴AE＝CF＝4，
如图1，作HE∥BC，过点F作FG⊥HE，交HE 于点G，
∵，
∴，
解得，EH＝，
又∵∠EHB＝90°，BE＝3，
∴BH＝，
∴EG＝5﹣2×＝，FG＝5﹣×2＝，
∴EF＝＝；
（2）若△ABE≌△DCF，
∵AB＝CD＝5，BE＝CF＝3，∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴AE＝DF＝4，
如图2，延长EF交AB于点P，交DC于点Q，
由（1）可知PE＝QF＝，
∴EF＝5﹣2×＝，
综上所述，EF＝或，
故答案为：或．
17．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤m，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数m的积为 ﹣9 ．
【答案】﹣9．
【解答】解：由不等式组得：，
∵解集是x≤m，
∴m＜5；
由关于y的分式方程得2y﹣m+y﹣4＝y﹣1，
∴y＝，且y≠1，
∵有非负整数解，
∴≥0，且≠1，
∴﹣3≤m＜5，且m≠﹣1，
∴m＝﹣3，1，3，
它们的积为﹣9．
故答案为﹣9．
18．（3分）对于任意一个四位数m，若它的千位数字与个位数字均不为0，且满足千位数字与个位数字的差等于百位数字与十位数字的差，则称这个四位数m为“博雅数”．将“博雅数”m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到m的逆序数m′，并记．例如：m＝3421，因为3≠0，1≠0，3﹣1＝4﹣2，所以3421是“博雅数”；4512不是“博雅数”，因为4﹣2≠5﹣1．若x，y都为“博雅数”，记x的千位数字与个位数字分别为p，q，y的千位数字与个位数字分别为s，t，其中1≤q＜p≤9，1≤s，t≤9，p，q，s，t均为整数．若F（x）能被8整除，F（x）+F（y）＝7p+q+13s﹣8t+st，则所有F（y）的可能值的和为 44 ．
【答案】44．
【解答】解：设x的百位数为a，十位数为b，
则x＝1000p+100a+10b+q，
∴x′＝1000q+100b+10a+p，
∴x﹣x′＝1000p+100a+10b+q﹣（1000q+100b+10a+p）
＝999p﹣999q+90a﹣90b
＝999（p﹣q）+90（a﹣b），
∵x为“博雅数”，
∴p﹣q＝a﹣b，
∴x﹣x′＝999（p﹣q）+90（p﹣q）＝1089（p﹣q），
∴，
同理可得：F（y）＝11（s﹣t），
∴F（x）+F（y）＝11（p﹣q）+11（s﹣t）＝7p+q+13s﹣8t+st，
整理得：4p﹣12q＝2s+3t+st，
∵F（x）能被8整除，1≤q＜p≤9，p、q均为非0整数，
∴p﹣q＝8，
∴p＝9，q＝1，
∴4×9﹣12×1＝2s+3t+ts，整理得：2s+3t+ts＝24，
∴（t+2）（s+3）＝30，
∵1≤s，t≤9，s、t均为非0整数，
∴t+2＞2，s+3＞3
（t+2）（s+3）＝30＝3×10＝5×6＝6×5，
∴，解得，此时F（y）＝11（s﹣t）＝66，
或，解得，此时F（y）＝11（s﹣t）＝0，
或，解得，此时F（y）＝11（s﹣t）＝﹣22，
∴所有F（y）的可能值的和为66+0+（﹣22）＝44，
故答案为：44．
三．解答题（共9小题，满分86分）
19．（10分）计算：
（1）（﹣2021）0+（）﹣1﹣（﹣2）2；
（2）（3x﹣1）（x﹣2）．
【答案】（1）0；（2）3x2﹣7x+2
【解答】解：（1）原式＝1+3﹣4＝0；
（2）原式＝3x2﹣6x﹣x+2
＝3x2﹣7x+2．
20．（6分）先化简再求值：（x+1﹣）÷，且x＝2017．
【答案】x+4＝2021．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝x+4，
当x＝2017时，
∴原式＝2017+4＝2021．
21．（10分）在“健康中国2030”背景下，促进全民体育运动，提升全民身体素质已经上升为国家战略青少年作为中国的未来，更是“健康中国2030”纲要重点关注对象．近日，某校对全体学生的“每周体育运动时间（小时）”进行了问卷调查，并从七、八年级中各随机抽取20名学生的“每周体育运动时间（小时）进行数据整理和分析．运动时间用x（小时）表示，共分为四组：A.0≤x＜6；B.6≤x＜9；C.9≤x＜12；D.12≤x＜15，其中记x≥9为达标．下面给出了部分信息．
七年级20名学生的“每周体育运动时间（小时）”为：7，5，9，10，7，8，7，11，10，14，14，10，5，8，13，10，8，9，6，11．
八年级20名学生的“每周体育运动时间（小时）”在C组的数据是：10，10，9，10，11，10，11，9…
七八年级各20名学生的“每周体育运动时间（小时）”统计表
年级
平均数
中位数
众数
达标率
七年级
9.1
9
b
55%
八年级
9.1
a
10
m%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中a，b，m的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生的“每周体育运动时间（小时）“哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级分别有600、800名学生，请估计两个年级一共有多少学生的“每周体育运动时间（小时）”可以达标．
【答案】（1）a＝9.5，b＝10，m＝60，见解析；（2）八年级落实得更好，理由为：八年级的达标率较高；（3）估计两个年级一共有810名学生的“每周体育运动时间（小时）”可以达标．
【解答】解：（1）七年级“每周体育运动时间（小时）”出现次数最多的数为10，
∴七年级“每周体育运动时间（小时）”的众数b＝10，
八年级“每周体育运动时间（小时）”从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为a＝（9+10）÷2＝9.5（小时），
因此中位数是9.5小时，即a＝9.5，
八年级“每周体育运动时间（小时）”D组的人数为20﹣1﹣7﹣8＝4，
八年级“每周体育运动时间（小时）”的x≥9的人数为：8+4＝12，
∴八年级每周体育运动时间（小时）”的达标率为：×100%＝60%，
∴m＝60；
补全条形统计图如图：
答：a＝9.5，b＝10，m＝60；
（2）八年级落实得更好，理由为：八年级的达标率较高；
（3）600×55%+800×60%＝810（名），
答：估计两个年级一共有810名学生的“每周体育运动时间（小时）”可以达标．
22．（10分）某超市老板以4800元购进一批玩具．“六一”儿童节期间，按进价增加20%作为销售价，销售了50件，之后把最后几件以低于进价10元作为售价，售完所有玩具．全部售完后共盈利700元，求每个玩具的进价是多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设每个玩具的进价是x元，
根据题意，得：50×x（1+20%）+（x﹣10）×（﹣50）﹣4800＝700，
解得：x＝80或x＝﹣60，
经检验：x＝80或x＝﹣60都是原方程的解，但x＝﹣60不合题意舍去，
答：每个玩具的进价是80元．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），点B（﹣6，0），直线y＝﹣x与直线AB交于点C．动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线CO运动，设运动时间为t秒，△PAO的面积为S．
（1）求点C的坐标；
（2）求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
【答案】（1）C（﹣2，2）；
（2）S＝．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵点A（0，3），点B（﹣6，0），
∴，
解得，
∴直线AB为：y＝x+3，
由，解得，
∴C（﹣2，2）；
（2）设点P的坐标为（m，﹣m），由题意得CP＝t，
∵C（﹣2，2），
∴CP＝＝（m+2）＝t，
∴m＝t﹣2，
∴点P的坐标为（t﹣2，2﹣t），
∵A（0，3），
∴S＝OA•|xP|＝×|t﹣2|，
当﹣2≤t﹣2≤0，即0≤t≤2时，
S＝OA•|xP|＝×（2﹣t）＝﹣t+3，
当t﹣2＞0，即t＞2时，
S＝OA•|xP|＝×（t﹣2）＝t﹣3，
综上，S＝．
24．（10分）如图，AB∥CD，点E是CD的中点
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠BDC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，设∠BDC的平分线交AB于点F，连接EF交BC于点H，若HB＝HC，求证：四边形BDEF是菱形．
证明：∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE．
∵CH＝BH，
∴ EH∥BD ．
∵AB∥CD，
∴四边形BDEF是平行四边形．
∵AB∥CD，
∴ ∠BFD＝∠CDF ．
∵DF平分∠BDC，
∴ ∠BDF＝∠CDF ．
∴∠BFD＝∠BDF，
∴ BF＝BD ，
∴四边形BDEF是菱形．
【答案】（1）图形见解答；
（2）EH∥BD．∠BFD＝∠CDF．∠BDF＝∠CDF．BF＝BD．
【解答】（1）解：如图，DF即为所求；
（2）证明：∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE．
∵CH＝BH，
∴EH∥BD．
∵AB∥CD，
∴四边形BDEF是平行四边形．
∵AB∥CD，
∴∠BFD＝∠CDF．
∵DF平分∠BDC，
∴∠BDF＝∠CDF．
∴∠BFD＝∠BDF，
∴BF＝BD，
∴四边形BDEF是菱形．
故答案为：EH∥BD．∠BFD＝∠CDF．∠BDF＝∠CDF．BF＝BD．
25．（10分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝100°，∠BOC＝α．以OC为边作等边△OCD，连接AD．
（1）求证：△BOC≌△ADC；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【答案】（1）见解析；
（2）△ADO是直角三角形；
（3）当α为130°、100°、160°时，△AOD是等腰三角形．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ODC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，
BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，
∴∠ACB﹣∠ACO＝∠DCO﹣∠ACO，
∴∠ACD＝∠BCO，
在△BOC和△ADC中，
，
∴△BOC≌△ADC（SAS）；
（2）解：△ADO是直角三角形，理由如下：
理由如下：∵△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
∵∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（3）解：∵∠COB＝∠CDA＝α，∠AOD＝200°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∵∠ADO+∠DAC＝∠DOC+∠ACO，
∴∠CAD＝120°﹣∠α+∠ACO，
∵∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝180°﹣（60°+200°﹣α）﹣∠ACO＝α﹣80°﹣∠ACO，
∴∠OAC+∠CAD＝40°，即∠OAD＝40°，
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∴200°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝130°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，
∴α﹣60°＝40°，
∴α＝100°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，
∴200°﹣α＝40°，
∴α＝160°．
∴当α为130°、100°、160°时，△AOD是等腰三角形．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接AC．直线y＝x﹣5经过点B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一点，连接AP，若AP将△ABC的面积分成相等的两部分，求P点坐标；
（3）在直线BC上是否存在点M，使直线AM与直线BC形成的夹角（锐角）等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）（，﹣）；
（3）（，﹣）或（，﹣）．
【解答】解（1）由y＝x﹣5得点B坐标（5，0），点C坐标为（0，﹣5），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入抛物线y＝ax2+6x+c得，
，解得a＝﹣1，c＝﹣5，
∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）作BC的中点N，连接AN并延长交抛物线于P，如图：
∵N为BC中点，
∴直线AN将△ABC的面积分成相等的两部分，即P是满足条件的点，
∵B（5，0），C（0，﹣5），N为BC中点，
∴N（，﹣），
设y＝﹣x2+6x﹣5＝0，
解得：x1＝1，x2＝5，
∴A（1，0），
设直线AN解析式为y＝mx+n，
将A（1，0），N（，﹣）代入得：，
解得：，
∴直线AN解析式为y＝﹣x+，
解方程组，
解得：或，
∴P（，﹣）；
（3）存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍，
设抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，
分两种情况：
①点M在AP左边时，
∵∠AMB＝2∠ACB，∠AMB＝∠ACM+∠CAM，
∴∠ACM＝∠CAM，
∴AM＝CM，
∵点M在直线y＝x﹣5上，
设点M的坐标为（m，m﹣5），
根据两点间距离公式，
AM2＝（1﹣m）2+（0﹣m+5）2＝2m2﹣12m+26，
CM2＝（0﹣m）2+（﹣5﹣m+5）2＝2m2，
∴2m2﹣12m+26＝2m2，解得m＝，
∴M点的坐标为（，﹣），
②点M在PO右边，
此时∠AM2C＝∠AM1B，
∴AM1＝AM2，
∵AP⊥BC，
∴点P是M1M2的中点，
根据中点坐标公式得M2（，﹣），
∴M点的坐标为（，﹣）或（，﹣）．
27．（10分）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在直线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接AE，CE．
（1）当点D与点B重合时，如图1，请直接写出线段EC和线段AC的数量关系；
（2）点D在线段BC上（不与点B，C重合）时，请写出线段AC，DC，EC之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AB＝4，CD＝1，请直接写出△DCE的面积．
【答案】（1）EC＝AC；
（2）AC﹣EC＝DC，理由见解答；
（3）△DCE的面为或．
【解答】解：（1）EC＝AC，理由如下：
由旋转得ED＝AD，∠ADE＝90°，
当点D与点B重合时，则EB＝AB，∠ABE＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BAC+∠ABE＝180°，
∴AC∥BE，AC＝EB，
∴四边形ABEC是正方形，
∴EC＝AC．
（2）AC﹣EC＝DC，理由如下：
如图2，作DF⊥BC交AC于点F，则∠CDF＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠DFC＝∠DCF＝45°，
∴DF＝DC，
∵∠ADF＝∠EDC＝90°﹣∠EDF，AD＝ED，
∴△ADF≌△EDC（SAS），
∴AF＝EC，
∴AC﹣EC＝AC﹣AF＝FC，
∵FC＝＝＝DC，
∴AC﹣EC＝DC.
（3）如图3，点D在线段BC上，作DF⊥BC交AC于点F，EG⊥BC交BC的延长线于点G，
由（2）得∠DFC＝45°，△ADF≌△EDC，AC﹣EC＝CD，
∴∠ECD＝∠AFD＝180°﹣∠DFC＝135°，
∴∠GCE＝180°﹣∠ECD＝45°，
∵AB＝AC＝4，CD＝1，
∴EC＝AC﹣DC＝4﹣×1＝3，
∵∠CGE＝90°，
∴EG＝EC•sin∠GCE＝EC•sin45°＝3×＝3，
∴S△DCE＝CD•EG＝×1×3＝；
如图4，点D在线段BC的延长线上，作DF⊥BC交AC的延长线于点F，EG⊥BC交BC的延长线于点G，
∵∠CDF＝90°，∠DCF＝∠ACB＝45°，
∴∠F＝∠DCF＝45°，
∴FD＝CD，
∵∠ADF＝∠EDC＝90°+∠ADC，AD＝ED，
∴△ADF≌△EDC（SAS），
∴EC＝AF，∠DCE＝∠F＝45°，
∵FC＝＝＝DC，
∴EC＝AF＝AC+CF＝4+×1＝5，
∵∠CGE＝90°，
∴EG＝EC•sin∠GCE＝EC•sin45°＝5×＝5，
∴S△DCE＝CD•EG＝×1×5＝，
综上所述，△DCE的面为或．
2023-2024学年重庆市巴南区科学城中学九年级（上）开学数学练习（一）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）平面直角坐标系中，一次函数y＝的图象与一次函数y＝的图象（ ）
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．不是轴对称
D．既关于x轴对称，又关于y轴对称
3．（4分）如图，已知AE与BD相交于点C，连接AB、DE，下列所给的条件不能证明△ABC∽△EDC的是（ ）
A．∠A＝∠E B．＝ C．AB∥DE D．＝
4．（4分）如图，△ABC中，∠C＝70°，∠B＝40°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠BAC′的度数为（ ）
A．30° B．40° C．46° D．35°
5．（4分）下列说法正确的有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦．②三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．④在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（4分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接BO．若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为（ ）
A．36° B．54° C．64° D．72°
7．（4分）已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则ab＞0；②平行四边形的对角线互相垂直平分；③若|x|＝2，则x＝2；④圆的切线垂直于经过切点的直径，其中真命题是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②
8．（4分）一次函数y＝abx+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角内坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）函数y＝﹣x2+2kx﹣4在﹣1≤x≤2时，y≤0恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．﹣≤k≤﹣1 B．﹣2≤k≤2 C．﹣1≤k≤2 D．﹣≤k≤2
10．（4分）下列算式中正确的是（ ）
A．（﹣14）﹣5＝﹣9 B．0﹣（﹣3）＝3
C．（﹣3）﹣（﹣3）＝﹣6 D．|5﹣3|＝﹣（5﹣3）
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）函数y＝的定义域是 ．
12．（3分）等边三角形的最小旋转角是 度．
13．（3分）已知：△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BE＝AB，F为AC上一点，且CF＝AC，EF交AD于P，则EP：PF＝ ．
14．（3分）现有五张正面分别标有数字﹣2，﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n．则点P（m，n）在第四象限的概率为 ．
15．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 ．
16．（3分）已知正方形ABCD边长为5，以AB和CD为斜边，向正方形内部作两个全等的直角三角形，分别是△ABE和△CDF，两个直角三角形一条直角边为3，连接EF，则EF＝ ．
17．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤m，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数m的积为 ．
18．（3分）对于任意一个四位数m，若它的千位数字与个位数字均不为0，且满足千位数字与个位数字的差等于百位数字与十位数字的差，则称这个四位数m为“博雅数”．将“博雅数”m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到m的逆序数m′，并记．例如：m＝3421，因为3≠0，1≠0，3﹣1＝4﹣2，所以3421是“博雅数”；4512不是“博雅数”，因为4﹣2≠5﹣1．若x，y都为“博雅数”，记x的千位数字与个位数字分别为p，q，y的千位数字与个位数字分别为s，t，其中1≤q＜p≤9，1≤s，t≤9，p，q，s，t均为整数．若F（x）能被8整除，F（x）+F（y）＝7p+q+13s﹣8t+st，则所有F（y）的可能值的和为 ．
三．解答题（共9小题，满分86分）
19．（10分）计算：
（1）（﹣2021）0+（）﹣1﹣（﹣2）2；
（2）（3x﹣1）（x﹣2）．
20．（6分）先化简再求值：（x+1﹣）÷，且x＝2017．
21．（10分）在“健康中国2030”背景下，促进全民体育运动，提升全民身体素质已经上升为国家战略青少年作为中国的未来，更是“健康中国2030”纲要重点关注对象．近日，某校对全体学生的“每周体育运动时间（小时）”进行了问卷调查，并从七、八年级中各随机抽取20名学生的“每周体育运动时间（小时）进行数据整理和分析．运动时间用x（小时）表示，共分为四组：A.0≤x＜6；B.6≤x＜9；C.9≤x＜12；D.12≤x＜15，其中记x≥9为达标．下面给出了部分信息．
七年级20名学生的“每周体育运动时间（小时）”为：7，5，9，10，7，8，7，11，10，14，14，10，5，8，13，10，8，9，6，11．
八年级20名学生的“每周体育运动时间（小时）”在C组的数据是：10，10，9，10，11，10，11，9…
七八年级各20名学生的“每周体育运动时间（小时）”统计表
年级
平均数
中位数
众数
达标率
七年级
9.1
9
b
55%
八年级
9.1
a
10
m%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中a，b，m的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生的“每周体育运动时间（小时）“哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级分别有600、800名学生，请估计两个年级一共有多少学生的“每周体育运动时间（小时）”可以达标．
22．（10分）某超市老板以4800元购进一批玩具．“六一”儿童节期间，按进价增加20%作为销售价，销售了50件，之后把最后几件以低于进价10元作为售价，售完所有玩具．全部售完后共盈利700元，求每个玩具的进价是多少元？
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），点B（﹣6，0），直线y＝﹣x与直线AB交于点C．动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线CO运动，设运动时间为t秒，△PAO的面积为S．
（1）求点C的坐标；
（2）求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
24．（10分）如图，AB∥CD，点E是CD的中点
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠BDC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，设∠BDC的平分线交AB于点F，连接EF交BC于点H，若HB＝HC，求证：四边形BDEF是菱形．
证明：∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE．
∵CH＝BH，
∴ ．
∵AB∥CD，
∴四边形BDEF是平行四边形．
∵AB∥CD，
∴ ．
∵DF平分∠BDC，
∴ ．
∴∠BFD＝∠BDF，
∴ ，
∴四边形BDEF是菱形．
25．（10分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝100°，∠BOC＝α．以OC为边作等边△OCD，连接AD．
（1）求证：△BOC≌△ADC；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接AC．直线y＝x﹣5经过点B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一点，连接AP，若AP将△ABC的面积分成相等的两部分，求P点坐标；
（3）在直线BC上是否存在点M，使直线AM与直线BC形成的夹角（锐角）等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（10分）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在直线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接AE，CE．
（1）当点D与点B重合时，如图1，请直接写出线段EC和线段AC的数量关系；
（2）点D在线段BC上（不与点B，C重合）时，请写出线段AC，DC，EC之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AB＝4，CD＝1，请直接写出△DCE的面积．
2023-2024学年重庆市巴南区科学城中学九年级（上）开学数学练习（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
2．（4分）平面直角坐标系中，一次函数y＝的图象与一次函数y＝的图象（ ）
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．不是轴对称
D．既关于x轴对称，又关于y轴对称
【答案】B
【解答】解：∵一次函数y＝的图象与一次函数y＝与y轴都交于（0，2）
且两个图象的k值互为相反数，
∴两个函数的图象与y轴的夹角相等
∴两个函数的图象关于y轴对称．
故选：B．
3．（4分）如图，已知AE与BD相交于点C，连接AB、DE，下列所给的条件不能证明△ABC∽△EDC的是（ ）
A．∠A＝∠E B．＝ C．AB∥DE D．＝
【答案】D
【解答】解：A、若∠A＝∠E，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC∽△EDC，故选项A不符合题意；
B、若，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC∽△EDC，故选项B不符合题意；
C、若AB∥DE，可得∠A＝∠E，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC∽△EDC，故选项C不符合题意；
D、若，且∠ACB＝∠DCE，则不能证明△ABC∽△EDC，故选项D符合题意；
故选：D．
4．（4分）如图，△ABC中，∠C＝70°，∠B＝40°，将△ABC绕点A顺时针旋转后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠BAC′的度数为（ ）
A．30° B．40° C．46° D．35°
【答案】A
【解答】解：由旋转可知：AC＝AC'，
∴∠AC'C＝∠C＝70°，
∵∠C+∠AC'C+∠CAC'＝180°，
∴∠CAC'＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵∠B＝40°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴∠BAC'＝∠BAC﹣∠CAC'＝70°﹣40°＝30°，
故选：A．
5．（4分）下列说法正确的有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦．②三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．④在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：①平分弦的直径垂直于弦，错误，应该是平分弦（此弦非直径）的直径垂直于弦．
②三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．正确．
③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．正确．
④在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，错误，弦所对的圆周角有两个，这两个角也可能互补．
故正确的有②③．
故选：B．
6．（4分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接BO．若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为（ ）
A．36° B．54° C．64° D．72°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠DAC＝∠ACB＝36°，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AO＝CO，
又∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠OBC＝90°﹣∠ACB＝54°，
故选：B．
7．（4分）已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则ab＞0；②平行四边形的对角线互相垂直平分；③若|x|＝2，则x＝2；④圆的切线垂直于经过切点的直径，其中真命题是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②
【答案】A
【解答】解：①同号得正，故正确；
②平行四边形的对角线互相平分，但不垂直，错误；
③若|x|＝2，则x＝±2，也错误；
④圆的切线垂直于经过切点的直径，正确．
故其中真命题是①④．
故选：A．
8．（4分）一次函数y＝abx+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角内坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ab＜0，由直线可知，ab＞0，c＞0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ab＞0，由直线可知，ab＞0，c＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，则ab＜0，由直线可知，ab＞0，c＜0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ab＜0，由直线可知，ab＜0，c＜0，故本选项不合题意．
故选：B．
9．（4分）函数y＝﹣x2+2kx﹣4在﹣1≤x≤2时，y≤0恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．﹣≤k≤﹣1 B．﹣2≤k≤2 C．﹣1≤k≤2 D．﹣≤k≤2
【答案】D
【解答】解：该二次函数的对称轴为：x＝k，
当k≤﹣1时，
由于﹣1≤x≤2时，y≤0恒成立，
∴x＝﹣1时，y≤0成立即可，
∴﹣1﹣2k﹣4≤0，
∴k≥，
∴≤k≤﹣1，
当﹣1＜k≤2时，
由于﹣1≤x≤2时，y≤0恒成立，
∴x＝k时，y≤0成立即可，
∴﹣k2+2k2﹣4≤0，
∴﹣2≤k≤2，
∴﹣1＜k≤2，
当k＞2时，
由于﹣1≤x≤2时，y≤0恒成立，
∴x＝2时，y≤0成立即可，
∴﹣4+4k﹣4≤0，
∴k≤2，
∴此时k无解，
综上所述，≤k≤2，
故选：D．
10．（4分）下列算式中正确的是（ ）
A．（﹣14）﹣5＝﹣9 B．0﹣（﹣3）＝3
C．（﹣3）﹣（﹣3）＝﹣6 D．|5﹣3|＝﹣（5﹣3）
【答案】B
【解答】解：A选项，原式＝﹣14+（﹣5）＝﹣19，故该选项计算错误；
B选项，原式＝0+3＝3，故该选项计算正确；
C选项，原式＝﹣3+3＝0，故该选项计算错误；
D选项，等号左边＝2，等号右边＝﹣2，故该选项计算错误；
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）函数y＝的定义域是 x≥2且x≠3 ．
【答案】x≥2且x≠3．
【解答】解：由题意得：2x﹣4≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥2且x≠3，
故答案为：x≥2且x≠3．
12．（3分）等边三角形的最小旋转角是 120 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵360°÷3＝120°，
∴该图形的最小旋转角为120°．
故答案为：120．
13．（3分）已知：△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BE＝AB，F为AC上一点，且CF＝AC，EF交AD于P，则EP：PF＝ 5：4 ．
【答案】5：4．
【解答】解：作EM∥BD交AD于M、作FN∥CD交AD于N，如图，
∵BE＝AB，
∴＝，
∵EM∥BD，
∴＝＝，
即EM＝BD，
∵CF＝AC，
∴＝，
∵PN∥CD，
∴＝＝，
即FN＝CD，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴＝＝，
∵FN∥EM，
∴＝＝．
故答案为：5：4．
14．（3分）现有五张正面分别标有数字﹣2，﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n．则点P（m，n）在第四象限的概率为 ．
【答案】．
【解答】解：画树状图为：
共有25个等可能的结果，点P（m，n）在第四象限的结果有6个，
∴点P（m，n）在第四象限的概率＝；
故答案为：．
15．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 ．
【答案】．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，AB＝AC＝，
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝45°，
∴点B′、C、A共线，
∴线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积＝S扇形BAB′+S△AB′C﹣S扇形CAC′﹣S△ABC
＝S扇形BAB′﹣S扇形CAC′
＝﹣
＝π．
故答案为：．
16．（3分）已知正方形ABCD边长为5，以AB和CD为斜边，向正方形内部作两个全等的直角三角形，分别是△ABE和△CDF，两个直角三角形一条直角边为3，连接EF，则EF＝ 或 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）若△ABE≌△CDF，
∵AB＝CD＝5，BE＝DF＝3，∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴AE＝CF＝4，
如图1，作HE∥BC，过点F作FG⊥HE，交HE 于点G，
∵，
∴，
解得，EH＝，
又∵∠EHB＝90°，BE＝3，
∴BH＝，
∴EG＝5﹣2×＝，FG＝5﹣×2＝，
∴EF＝＝；
（2）若△ABE≌△DCF，
∵AB＝CD＝5，BE＝CF＝3，∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴AE＝DF＝4，
如图2，延长EF交AB于点P，交DC于点Q，
由（1）可知PE＝QF＝，
∴EF＝5﹣2×＝，
综上所述，EF＝或，
故答案为：或．
17．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤m，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数m的积为 ﹣9 ．
【答案】﹣9．
【解答】解：由不等式组得：，
∵解集是x≤m，
∴m＜5；
由关于y的分式方程得2y﹣m+y﹣4＝y﹣1，
∴y＝，且y≠1，
∵有非负整数解，
∴≥0，且≠1，
∴﹣3≤m＜5，且m≠﹣1，
∴m＝﹣3，1，3，
它们的积为﹣9．
故答案为﹣9．
18．（3分）对于任意一个四位数m，若它的千位数字与个位数字均不为0，且满足千位数字与个位数字的差等于百位数字与十位数字的差，则称这个四位数m为“博雅数”．将“博雅数”m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到m的逆序数m′，并记．例如：m＝3421，因为3≠0，1≠0，3﹣1＝4﹣2，所以3421是“博雅数”；4512不是“博雅数”，因为4﹣2≠5﹣1．若x，y都为“博雅数”，记x的千位数字与个位数字分别为p，q，y的千位数字与个位数字分别为s，t，其中1≤q＜p≤9，1≤s，t≤9，p，q，s，t均为整数．若F（x）能被8整除，F（x）+F（y）＝7p+q+13s﹣8t+st，则所有F（y）的可能值的和为 44 ．
【答案】44．
【解答】解：设x的百位数为a，十位数为b，
则x＝1000p+100a+10b+q，
∴x′＝1000q+100b+10a+p，
∴x﹣x′＝1000p+100a+10b+q﹣（1000q+100b+10a+p）
＝999p﹣999q+90a﹣90b
＝999（p﹣q）+90（a﹣b），
∵x为“博雅数”，
∴p﹣q＝a﹣b，
∴x﹣x′＝999（p﹣q）+90（p﹣q）＝1089（p﹣q），
∴，
同理可得：F（y）＝11（s﹣t），
∴F（x）+F（y）＝11（p﹣q）+11（s﹣t）＝7p+q+13s﹣8t+st，
整理得：4p﹣12q＝2s+3t+st，
∵F（x）能被8整除，1≤q＜p≤9，p、q均为非0整数，
∴p﹣q＝8，
∴p＝9，q＝1，
∴4×9﹣12×1＝2s+3t+ts，整理得：2s+3t+ts＝24，
∴（t+2）（s+3）＝30，
∵1≤s，t≤9，s、t均为非0整数，
∴t+2＞2，s+3＞3
（t+2）（s+3）＝30＝3×10＝5×6＝6×5，
∴，解得，此时F（y）＝11（s﹣t）＝66，
或，解得，此时F（y）＝11（s﹣t）＝0，
或，解得，此时F（y）＝11（s﹣t）＝﹣22，
∴所有F（y）的可能值的和为66+0+（﹣22）＝44，
故答案为：44．
三．解答题（共9小题，满分86分）
19．（10分）计算：
（1）（﹣2021）0+（）﹣1﹣（﹣2）2；
（2）（3x﹣1）（x﹣2）．
【答案】（1）0；（2）3x2﹣7x+2
【解答】解：（1）原式＝1+3﹣4＝0；
（2）原式＝3x2﹣6x﹣x+2
＝3x2﹣7x+2．
20．（6分）先化简再求值：（x+1﹣）÷，且x＝2017．
【答案】x+4＝2021．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝x+4，
当x＝2017时，
∴原式＝2017+4＝2021．
21．（10分）在“健康中国2030”背景下，促进全民体育运动，提升全民身体素质已经上升为国家战略青少年作为中国的未来，更是“健康中国2030”纲要重点关注对象．近日，某校对全体学生的“每周体育运动时间（小时）”进行了问卷调查，并从七、八年级中各随机抽取20名学生的“每周体育运动时间（小时）进行数据整理和分析．运动时间用x（小时）表示，共分为四组：A.0≤x＜6；B.6≤x＜9；C.9≤x＜12；D.12≤x＜15，其中记x≥9为达标．下面给出了部分信息．
七年级20名学生的“每周体育运动时间（小时）”为：7，5，9，10，7，8，7，11，10，14，14，10，5，8，13，10，8，9，6，11．
八年级20名学生的“每周体育运动时间（小时）”在C组的数据是：10，10，9，10，11，10，11，9…
七八年级各20名学生的“每周体育运动时间（小时）”统计表
年级
平均数
中位数
众数
达标率
七年级
9.1
9
b
55%
八年级
9.1
a
10
m%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中a，b，m的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生的“每周体育运动时间（小时）“哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级分别有600、800名学生，请估计两个年级一共有多少学生的“每周体育运动时间（小时）”可以达标．
【答案】（1）a＝9.5，b＝10，m＝60，见解析；（2）八年级落实得更好，理由为：八年级的达标率较高；（3）估计两个年级一共有810名学生的“每周体育运动时间（小时）”可以达标．
【解答】解：（1）七年级“每周体育运动时间（小时）”出现次数最多的数为10，
∴七年级“每周体育运动时间（小时）”的众数b＝10，
八年级“每周体育运动时间（小时）”从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为a＝（9+10）÷2＝9.5（小时），
因此中位数是9.5小时，即a＝9.5，
八年级“每周体育运动时间（小时）”D组的人数为20﹣1﹣7﹣8＝4，
八年级“每周体育运动时间（小时）”的x≥9的人数为：8+4＝12，
∴八年级每周体育运动时间（小时）”的达标率为：×100%＝60%，
∴m＝60；
补全条形统计图如图：
答：a＝9.5，b＝10，m＝60；
（2）八年级落实得更好，理由为：八年级的达标率较高；
（3）600×55%+800×60%＝810（名），
答：估计两个年级一共有810名学生的“每周体育运动时间（小时）”可以达标．
22．（10分）某超市老板以4800元购进一批玩具．“六一”儿童节期间，按进价增加20%作为销售价，销售了50件，之后把最后几件以低于进价10元作为售价，售完所有玩具．全部售完后共盈利700元，求每个玩具的进价是多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设每个玩具的进价是x元，
根据题意，得：50×x（1+20%）+（x﹣10）×（﹣50）﹣4800＝700，
解得：x＝80或x＝﹣60，
经检验：x＝80或x＝﹣60都是原方程的解，但x＝﹣60不合题意舍去，
答：每个玩具的进价是80元．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），点B（﹣6，0），直线y＝﹣x与直线AB交于点C．动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线CO运动，设运动时间为t秒，△PAO的面积为S．
（1）求点C的坐标；
（2）求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
【答案】（1）C（﹣2，2）；
（2）S＝．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵点A（0，3），点B（﹣6，0），
∴，
解得，
∴直线AB为：y＝x+3，
由，解得，
∴C（﹣2，2）；
（2）设点P的坐标为（m，﹣m），由题意得CP＝t，
∵C（﹣2，2），
∴CP＝＝（m+2）＝t，
∴m＝t﹣2，
∴点P的坐标为（t﹣2，2﹣t），
∵A（0，3），
∴S＝OA•|xP|＝×|t﹣2|，
当﹣2≤t﹣2≤0，即0≤t≤2时，
S＝OA•|xP|＝×（2﹣t）＝﹣t+3，
当t﹣2＞0，即t＞2时，
S＝OA•|xP|＝×（t﹣2）＝t﹣3，
综上，S＝．
24．（10分）如图，AB∥CD，点E是CD的中点
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠BDC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，设∠BDC的平分线交AB于点F，连接EF交BC于点H，若HB＝HC，求证：四边形BDEF是菱形．
证明：∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE．
∵CH＝BH，
∴ EH∥BD ．
∵AB∥CD，
∴四边形BDEF是平行四边形．
∵AB∥CD，
∴ ∠BFD＝∠CDF ．
∵DF平分∠BDC，
∴ ∠BDF＝∠CDF ．
∴∠BFD＝∠BDF，
∴ BF＝BD ，
∴四边形BDEF是菱形．
【答案】（1）图形见解答；
（2）EH∥BD．∠BFD＝∠CDF．∠BDF＝∠CDF．BF＝BD．
【解答】（1）解：如图，DF即为所求；
（2）证明：∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE．
∵CH＝BH，
∴EH∥BD．
∵AB∥CD，
∴四边形BDEF是平行四边形．
∵AB∥CD，
∴∠BFD＝∠CDF．
∵DF平分∠BDC，
∴∠BDF＝∠CDF．
∴∠BFD＝∠BDF，
∴BF＝BD，
∴四边形BDEF是菱形．
故答案为：EH∥BD．∠BFD＝∠CDF．∠BDF＝∠CDF．BF＝BD．
25．（10分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝100°，∠BOC＝α．以OC为边作等边△OCD，连接AD．
（1）求证：△BOC≌△ADC；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【答案】（1）见解析；
（2）△ADO是直角三角形；
（3）当α为130°、100°、160°时，△AOD是等腰三角形．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ODC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，
BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，
∴∠ACB﹣∠ACO＝∠DCO﹣∠ACO，
∴∠ACD＝∠BCO，
在△BOC和△ADC中，
，
∴△BOC≌△ADC（SAS）；
（2）解：△ADO是直角三角形，理由如下：
理由如下：∵△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
∵∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（3）解：∵∠COB＝∠CDA＝α，∠AOD＝200°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，
∵∠ADO+∠DAC＝∠DOC+∠ACO，
∴∠CAD＝120°﹣∠α+∠ACO，
∵∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝180°﹣（60°+200°﹣α）﹣∠ACO＝α﹣80°﹣∠ACO，
∴∠OAC+∠CAD＝40°，即∠OAD＝40°，
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∴200°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝130°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，
∴α﹣60°＝40°，
∴α＝100°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，
∴200°﹣α＝40°，
∴α＝160°．
∴当α为130°、100°、160°时，△AOD是等腰三角形．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接AC．直线y＝x﹣5经过点B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一点，连接AP，若AP将△ABC的面积分成相等的两部分，求P点坐标；
（3）在直线BC上是否存在点M，使直线AM与直线BC形成的夹角（锐角）等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）（，﹣）；
（3）（，﹣）或（，﹣）．
【解答】解（1）由y＝x﹣5得点B坐标（5，0），点C坐标为（0，﹣5），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入抛物线y＝ax2+6x+c得，
，解得a＝﹣1，c＝﹣5，
∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）作BC的中点N，连接AN并延长交抛物线于P，如图：
∵N为BC中点，
∴直线AN将△ABC的面积分成相等的两部分，即P是满足条件的点，
∵B（5，0），C（0，﹣5），N为BC中点，
∴N（，﹣），
设y＝﹣x2+6x﹣5＝0，
解得：x1＝1，x2＝5，
∴A（1，0），
设直线AN解析式为y＝mx+n，
将A（1，0），N（，﹣）代入得：，
解得：，
∴直线AN解析式为y＝﹣x+，
解方程组，
解得：或，
∴P（，﹣）；
（3）存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍，
设抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，
分两种情况：
①点M在AP左边时，
∵∠AMB＝2∠ACB，∠AMB＝∠ACM+∠CAM，
∴∠ACM＝∠CAM，
∴AM＝CM，
∵点M在直线y＝x﹣5上，
设点M的坐标为（m，m﹣5），
根据两点间距离公式，
AM2＝（1﹣m）2+（0﹣m+5）2＝2m2﹣12m+26，
CM2＝（0﹣m）2+（﹣5﹣m+5）2＝2m2，
∴2m2﹣12m+26＝2m2，解得m＝，
∴M点的坐标为（，﹣），
②点M在PO右边，
此时∠AM2C＝∠AM1B，
∴AM1＝AM2，
∵AP⊥BC，
∴点P是M1M2的中点，
根据中点坐标公式得M2（，﹣），
∴M点的坐标为（，﹣）或（，﹣）．
27．（10分）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在直线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接AE，CE．
（1）当点D与点B重合时，如图1，请直接写出线段EC和线段AC的数量关系；
（2）点D在线段BC上（不与点B，C重合）时，请写出线段AC，DC，EC之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AB＝4，CD＝1，请直接写出△DCE的面积．
【答案】（1）EC＝AC；
（2）AC﹣EC＝DC，理由见解答；
（3）△DCE的面为或．
【解答】解：（1）EC＝AC，理由如下：
由旋转得ED＝AD，∠ADE＝90°，
当点D与点B重合时，则EB＝AB，∠ABE＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BAC+∠ABE＝180°，
∴AC∥BE，AC＝EB，
∴四边形ABEC是正方形，
∴EC＝AC．
（2）AC﹣EC＝DC，理由如下：
如图2，作DF⊥BC交AC于点F，则∠CDF＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠DFC＝∠DCF＝45°，
∴DF＝DC，
∵∠ADF＝∠EDC＝90°﹣∠EDF，AD＝ED，
∴△ADF≌△EDC（SAS），
∴AF＝EC，
∴AC﹣EC＝AC﹣AF＝FC，
∵FC＝＝＝DC，
∴AC﹣EC＝DC.
（3）如图3，点D在线段BC上，作DF⊥BC交AC于点F，EG⊥BC交BC的延长线于点G，
由（2）得∠DFC＝45°，△ADF≌△EDC，AC﹣EC＝CD，
∴∠ECD＝∠AFD＝180°﹣∠DFC＝135°，
∴∠GCE＝180°﹣∠ECD＝45°，
∵AB＝AC＝4，CD＝1，
∴EC＝AC﹣DC＝4﹣×1＝3，
∵∠CGE＝90°，
∴EG＝EC•sin∠GCE＝EC•sin45°＝3×＝3，
∴S△DCE＝CD•EG＝×1×3＝；
如图4，点D在线段BC的延长线上，作DF⊥BC交AC的延长线于点F，EG⊥BC交BC的延长线于点G，
∵∠CDF＝90°，∠DCF＝∠ACB＝45°，
∴∠F＝∠DCF＝45°，
∴FD＝CD，
∵∠ADF＝∠EDC＝90°+∠ADC，AD＝ED，
∴△ADF≌△EDC（SAS），
∴EC＝AF，∠DCE＝∠F＝45°，
∵FC＝＝＝DC，
∴EC＝AF＝AC+CF＝4+×1＝5，
∵∠CGE＝90°，
∴EG＝EC•sin∠GCE＝EC•sin45°＝5×＝5，
∴S△DCE＝CD•EG＝×1×5＝，
综上所述，△DCE的面为或．
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