2022-2023学年湖南省永州市冷水滩区李达中学七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省永州市冷水滩区李达中学七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形是用数学家名字命名的其中是轴对称图形的是(    )

A. 斐波那契螺旋线 B. 笛卡尔心形线
C. 彭烈斯三角 D. 赵爽弦图

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  在解方程组时，某同学采用消元法将方程组变为则这种消元方式为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列多项式中，能因式分解的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是(    )

A. 测量跳远成绩
B. 木板上弹墨线
C. 两钉子固定木条
D. 弯曲河道改直

6.  绿色出行，健康你我“美团”为了方便市民出行，提供了共享单车服务，图是“美团”共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中，都与地面平行，与也平行，若，则的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.  如图，与关于直线对称，连接交对称轴于点，若，，则下列说法不正确的是(    )

A. 三角形与三角形的周长相等
B. 且
C.
D. 连接，，则，，三条线段不仅平行而且相等
 

8.  在同一平面内，已知，，若直线、之间的距离为，直线、之间的距离为，则直线、间的距离为(    )

A. 或 B.  C.  D. 不确定

9.  同学在计算方差时使用了一个不完整的计算公式，，同学则根据这个公式计算出了下列结果，同学却说，同学有一个结论错了，你认为错误的是(    )

A.  B.  C. 众数为 D. 中位数为

10.  将一副三角板按如图放置，其中，则下列结论正确的序号有(    )
如果与互余，则；
如果，则有；
；
如果，必有．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  请写出方程：的所有正整数解：______ ，______ ．

12.  若直线，，则直线与的位置关系是______ ．

13.  已知，则 ______ ．

14.  若，，则的值是______ ．

15.  某市的中考体育改革，七、八年级的成绩占，九年级毕业体育测试成绩占其中一名考生的七、八年级成绩是分，九年级成绩是分，则该考生的综合成绩为______ 分

16.  如图，将绕点逆时针旋转一个角度，得到，点的对应点恰好落在边上，且点、、在同一条直线上若，求旋转角 ______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
因式分解：；
解方程组：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与三角形成轴对称图形，并用虚线标出你设计图形的所有对称轴．

 

20.  本小题分
已知，如图，，，求证：．

21.  本小题分
春季正是新鲜草莓上市的季节，甲、乙两人一起去某水果超市购买奶油草莓，甲购买了，乙购买了，后来觉得草莓不错，又约好一起去该水果超市购买第二次购买时，甲花了和上次相同的钱，却比上次多买了，乙购买了和上次相同重量的草莓，却比上次少花了元．
求这种草莓两次购买的价格；
分别求甲、乙各自两次购买这种草莓的平均价格；
生活中，无论物品的单价如何变化，有人总按相同金额购买，有人总按相同重量购买，结合的计算结果，建议按相同______ 购买更合算填“金额”或“重量”．

22.  本小题分
端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩单位：分均为不低于的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如表：
八年级名学生活动成绩统计表

已知八年级名学生活动成绩的中位数为分．
请根据以上信息，完成下列问题：
样本中，七年级活动成绩为分的学生数是______ ，七年级活动成绩的众数为______ 分；
______ ， ______ ；
若认定活动成绩不低于分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．

23.  本小题分
若关于的多项式与的积为，其中，，，，，是常数，显然也是一个多项式．
若，，则的最高次项为______ ，常数项为______ ．
根据整式的乘法，中的三次项由，的和构成，二次项时由，，的和构成若关于的多项式与的积中，三次项为，二次项为，求，的值．

24.  本小题分
如图，在长方形中，，，点在边上运动，连接，点关于直线的对称点为．

点落在边上，求线段的长；
点落在线段上，求线段的长；
当点运动到点时，连接请问是否与平行？若平行，请加以证明；若不平行，请说明理由．

25.  本小题分
如图，已知两条直线，被直线所截，分别交于点，点，平分交于点，且．
判断直线与直线是否平行，并说明理由；
如图，点是射线上一动点不与点，重合，平分交于点，过点作于点，设，．
当点在点的右侧时，若，求的度数；
当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由各个选项中的图形可知：中的图形是轴对称图形，其他的都是不轴对称，
故选：．
根据轴对称图形的定义和各个选项中的图形，可以判断哪个选项中的图形是轴对称图形．
本题考查轴对称图形，解答本题的关键是明确轴对称图形的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C符合题意；
，故D不符合题意；
故选：．
根据单项式乘以多项式，完全平方公式，幂的乘方，积的乘方运算逐一分析判断即可．
本题考查的是单项式乘以多项式，完全平方公式的应用，幂的乘方运算，积的乘方运算，熟记运算法则是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
得：；
故选：．
由未知数的系数互为相反数，直接利用加法消元即可．
本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解方程组是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，不能因式分解，故不符合题意；
B.，不能因式分解，故不符合题意；
C.，不能因式分解，故不符合题意；
D.，可以用平方差公式分解为，故符合题意．
故选：．
根据因式分解的定义依次进行判断即可．
本题主要考查了因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式叫做因式分解．熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故本选项合题意．
B、木板弹出一条墨迹是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合题意；
C、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合题意；
D、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故本选项不符合题意；
故选：．
根据直线的性质，线段的性质对各选项分析判断即可得解．
本题考查了线段的性质，直线的性质，解题时注意：两点的所有连线中可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
 

6.【答案】 

【解析】解：，都与地面平行，
，而，
，
，
，
故选：．
先证明，再证明，从而可得答案．
本题考查的是平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：与关于直线对称，，，
三角形与三角形的周长相等，且，
，，
，
，，不符合题意；符合题意．
故选：．
与关于直线对称，再结合轴对称的性质逐一分析即可．
本题考查的是轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记轴对称的性质是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：当直线在直线、之间时，如图，

直线、间的距离为；
当直线在直线、外部时，如图，
直线、间的距离为，
直线、间的距离是或．
故选：．
分两种情况，当直线在直线、之间时，当直线在直线、外部时，即可解决问题．
本题考查平行线的距离，解题时注意分类讨论．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
平均数是，
，
，故B不符合题意；


，故A符合题意；
从小到大排列为：，，，，，
样本众数是，故选项C不合题意；
中位数为，故选项D不符合题意；
故选：．
根据题目中的方差公式可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查方差、中位数、算术平均数、众数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的方差、中位数、算术平均数、众数．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
与互余，
，
，
，
，故符合题意；
如图，记，的交点为，

，
，
，
，不垂直，故不符合题意；
由，
符合题意；
，
，
，
，
，故符合题意．
故选：．
求解，可得，证明，可得，故符合题意；
如图，记，的交点为，求解，可得，不垂直，故不符合题意；由，可得符合题意；求解，证明，可得，故符合题意；从而可得答案．
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的判定，角的和差运算，熟练的利用三角形的内角和与角的和差关系进行计算是解本题的关键．
 

11.【答案】； 

【解析】解：由题意求方程的解且要使，都是正整数

，
又且为正整数
值只能是，，代入方程得相应的值为，．
方程的解是：，．
由题意求方程的解且要使，都是正整数，将方程移项将和互相表示出来，在由题意要求，根据以上两个条件可夹出合适的值从而代入方程得到相应的值．
本题是求不定方程的整数解，主要考查方程的移项，合并同类项，系数化为等技能，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后枚举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．
 

12.【答案】平行 

【解析】

【分析】
本题考查了平行公理及其推论，关键利用了平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
根据平行于同一条直线的两条直线也互相平行，即可得到答案．
【解答】
解：，，
平行于同一条直线的两条直线也互相平行
即直线与的位置关系是平行，
故答案为：平行．  

13.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：．
由，再代入计算即可．
本题考查的是同底数幂的乘法的逆运算，掌握运算法则是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，
，
故答案为：．
根据提公因式法即可求出答案．
本题考查提公因式法，解题的关键是熟练运用提公因式法，本题属于基础题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：该考生的综合成绩分，
故答案为：．
根据加权平均数求解即可．
本题主要考查了加权平均数，熟记加权平均数公式是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】证明：如图，

由旋转得：，，
，
，
平分；设与交于点，由旋转得：，，，
，
，
，
，

，
是的一个外角，
，
，
解得：
旋转角的度数为，
故答案为：．
根据旋转的性质和等边对等角可以得到，设与交于点，则得以推出，进而得到方程，解方程即可．
本题考查旋转的性质，根据题目的一直条件并结合图形进行分析是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；

得，解得，
把代入得，解得，
方程组的解为． 

【解析】先提取公因数，再利用平方差公式分解因式即可；
利用加减消元法求解即可．
本题主要考查了因式分解和解二元一次方程组，熟知相关计算方法是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

，
，
原式． 

【解析】先计算整式的乘法运算，再合并同类项，得到化简后的结果，再把化为，再整体代入计算即可．
本题考查的是整式的乘法运算，化简求值，掌握完全平方公式与平方差公式的应用是解本题的关键．
 

19.【答案】解：所求图形，如图所示．
 

【解析】根据轴对称图形的特点设计图形即可．
本题考查了作轴对称图形，根据轴对称图形的定义作图是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，已知，
在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，
两直线平行，内错角相等．
，
已知，
等量代换． 

【解析】先证明，可得，证明，可得，再利用等量代换可得结论．
本题考查的是平行线的判定与性质，注意严密的逻辑推理是解本题的关键．
 

21.【答案】金额 

【解析】解：设这种草莓第一次购买的价格是元，第二次购买的价格是元，
根据题意得：，
解得：．
答：这种草莓第一次购买的价格是元，第二次购买的价格是元；
甲两次购买这种草莓的平均价格为元，
乙两次购买这种草莓的平均价格为元．
答：甲两次购买这种草莓的平均价格为元，乙两次购买这种草莓的平均价格为元；
由可知：，
按相同金额购买更合算．
故答案为：金额．
设这种草莓第一次购买的价格是元，第二次购买的价格是元，根据甲、乙两人两次购进数量及金额间的关系，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
利用平均价格两次购买这种草莓的总价之和两次购买这种草莓的数量之和，即可求出结论；
将得出的结论作比较，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

22.【答案】       

【解析】解：根据扇形统计图，七年级活动成绩为分的学生数的占比为
样本中，七年级活动成绩为分的学生数是，
根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为分，
故答案为：，．
八年级名学生活动成绩的中位数为分，
第名学生为分，第名学生为分，
，
，
故答案为：，．
优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下，
七年级优秀率为，平均成绩为：，
八年级优秀率为，平均成绩为：，
优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高，
优秀率高的年级不是平均成绩也高．
根据扇形统计图得出七年级活动成绩为分的学生数的占比为，即可得出七年级活动成绩为分的学生数，根据扇形统计图结合众数的定义，即可求解；
根据中位数的定义，得出第名学生为分，第名学生为分，进而求得，的值，即可求解；
分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩，即可求解．
本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，求一组数据的平均数，从统计图表获取信息是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：是多项式与的积，
中，最高次项为，常数项为，
多项式与的积中，
三次项为，
二次项为，
由题意得：．
解得：．
把，，代入，再计算即可作答；
根据题意先计算得到三次项，二次项，再建立方程组即可．
本题考查的是是多项式乘法运算，二元一次方程组的应用，熟记多项式乘多项式的运算法则是解本题的关键．
 

24.【答案】解：如图中，

四边形是长方形，

点落在边上，
，
，
，
为等腰直角三角形，
．
如图中，点落在线段上，

，即点到的距离为，
，
，
，
，
的高等于，
，
，
．
如图，方法：长方形，

，
又三角形沿对折，
，
即，
与共底，
所以上的高相等，故过点的高等于过点的高，
即点与点到直线的距离相等，
又点与点在的同一侧，
故CA；
方法：三角形沿对折，
，
又长方形，
，
，
，
为等腰三角形，
，
又，
，
，
在和中，
，，
又，
，
． 

【解析】由长方形的性质可得，由折叠的性质可得，因此可得，由此得为等腰直角三角形，于是可得的长．
根据折叠性质可得，，利用面积法可证得，则可得的长．
方法：由长方形的性质和折叠的性质可得，由于两个三角形同底，因此它们的高相等，根据“平行线间的距离处处相等”，可得．
方法：由长方形的性质和折叠的性质可得，再证，由三角形内角和定理和对顶角相等可得，则可得．
本题考查了折叠的性质和长方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，综合性较强．解题的关键是利用折叠不变性解决问题．
 

25.【答案】解：结论：．
理由：如图中，

平分交于点，
，
．
，
．
如图中，

，
，
，
．
平分，
，
，
，
，则，
，
；
猜想：或
理由：当点在的右侧时，
，
，
，
，，
，
，
，
．
当点在的左侧时，

，
，，
，，
，
，
，
．
综上所述，或． 

【解析】根据角平分线的性质及等量代换证明即可．
根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义，利用平角的定义求出的度数，根据平行线的性质求，即可解决问题．
结论：根据平行线的性质求，利用平角的定义表示的度数，根据角平分线的定义表示即可解决问题．
本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，掌握角平分线的定义以及平行线的性质解题的关键．