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2022-2023学年湖南省永州市双牌县七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖南省永州市双牌县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省永州市双牌县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若x=1y=−2是方程2x−ky=6的一个解，那么k的值是( )
A. −2 B. 2 C. −4 D. 4
2. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. 4a2−2a2=2 B. (a3)3=a6 C. a3⋅a6=a18 D. (−2a2)3=−8a6
4. 下列各式中能用平方差公式计算的是( )
A. (x−y)(−x+y) B. (−x−y)(x−y) C. (x+y)(−x−y) D. (x−y)(y−x)
5. 如图，直线L1//L2，△ABC的面积为10，则△DBC的面积( )
A. 大于10
B. 小于10
C. 等于10
D. 不确定
6. 如图，△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，若∠BAC=40°，∠B=90°，∠CAD=10°，则旋转角的度数分别为( )
A. 80°
B. 50°
C. 40°
D. 10°
7. 如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是( )
A. 两点确定一条直线
B. 垂线段最短
C. 两点之间线段最短
D. 经过一点有无数条直线
8. 已知关于x、y的方程组2x+y=5ax+3y=−1与x−y=14x+by=11有相同的解，则a和b的值为( )
A. a=2b=−3 B. a=4b=−6 C. a=−2b=3 D. a=−4b=6
9. 如图，以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为40，面积之和为28，则长方形ABCD的面积为( )
A. 112
B. 11
C. 22
D. 43
10. 2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的计算结果的个位数字是( )
A. 8 B. 6 C. 2 D. 0
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算：22023×(−12)2022= ______ ．
12. 已知x，y满足方程组x−2y=5x+2y=−3，则x2−4y2的值为______．
13. 已知2x+3y−3=0，则9x⋅27y=______．
14. 已知方程组2x−y=4m+32y−x=−3的解x，y互为相反数，则m的值为______ ．
15. 下列说法正确的有(填序号)：______ ．
①同位角相等；
②一条直线有无数条平行线；
③在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；
④在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c；
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
16. 如图，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移3米就是它的右边线，这块草地的绿地面积是______平方米．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
请把下列各式分解因式：
(1)a2(a−b)+(b−a)；
(2)(a2+b2)2−4a2b2．
18. (本小题6.0分)
解方程组：
(1)2x+3y=5x=1−y；
(2)3x−y=7x2−y−23=2．
19. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(2x+y)2−(2x+y)(2x−y)，其中x=1，y=−1．
20. (本小题8.0分)
中国经济的快速发展让众多国家感受到了威胁，随着钓鱼岛事件、南海危机、萨德入韩等一系列事件的发生，国家安全一再受到威胁，所谓“国家兴亡，匹夫有责”，某校积极开展国防知识教育，七年级甲、乙两班分别选5名同学参加“国防知识”比赛，其预赛成绩如图所示：
(1)根据上图填写下表：
平均数
中位数
众数
甲班
8.5
8.5
乙班
8.5
10
(2)分别求甲乙两班的方差，并从稳定性上分析哪个班的成绩较好．
21. (本小题8.0分)
如图，EF//AD，∠1=∠2，∠BAC=70°.求∠AGD的度数．
22. (本小题9.0分)
王老师在黑板上写下了四个算式：
①32−12=(3+1)(3−1)=8=8×1，
②52−32=(5+3)(5−3)=16=8×2，
③72−52=(7+5)(7−5)=24=8×3，
④92−72=(9+7)(9−7)=32=8×4．
…
认真观察这些算式，并结合你发现的规律，解答下列问题：
(1)请再写出另外两个符合规律的算式：
算式①______；
算式②______．
(2)小华发现上述算式的规律可以用文字语言概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n+1和2n−1(n为正整数)，请你用含有n的算式验证小华发现的规律．
23. (本小题10.0分)
教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：x2+2x−3=(x2+2x+1)−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)；
2x2+4x−6=2(x2+2x+1)−8=2(x+1)2−8，则当x=−1时，2x2+4x−6有最小值，最小值是−8．
根据材料用配方法解决下列问题：
(1)若多项式x2−4x+k是一个完全平方式，则常数k= ______ ；
(2)当x为何值时，多项式−2x2−4x+3有最大值？并求出这个最大值；
(3)已知2a2+3b2−4a+12b+14=0，求出a，b的值．
24. (本小题9.0分)
某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
(1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？
(2)若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金
25. (本小题10.0分)
如图，有一副直角三角板如图1放置(其中)，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点P逆时针旋转．
(1)在图1中，∠DPC= ______ ；
(2)如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC//DB成立；
(3)如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PA重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD=∠BPM时，求旋转的时间是多少？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：把x=1y=−2代入方程2x−ky=6得：2+2k=6，
解得：k=2，
故选：B．
把x=1y=−2代入方程2x−ky=6得出2+2k=6，再求出方程的解即可．
本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于k的一元一次方程是解此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
3.【答案】D
【解析】解：A、4a2−2a2=2a2，故A不符合题意；
B、(a3)3=a9，故B不符合题意；
C、a3⋅a6=a9，故C不符合题意；
D、(−2a2)3=−8a6，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】B
【解析】解：A、(x−y)(−x+y)=−(−x+y)(−x+y)=−(−x+y)2，能用完全平方公式计算，故此选项不符合题意；
B、(−x−y)(x−y)=−(x+y)(x−y)，能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
C、(x+y)(−x−y)=−(x+y)(x+y)=−(x+y)2，能用完全平方公式计算，故此选项不符合题意；
D、(x−y)(y−x)=−(x−y)(x−y)=−(x−y)2，能用完全平方公式计算，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2对各选项分别进行判断．
本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
5.【答案】C
【解析】解：∵L1//L2，
∴L1，L2之间的距离是固定的，
∴△ABC和△DBC的BC边上的高相等，
∴△ABC和△DBC的面积相等，
∴△DBC的面积等于10．
故选C．
由于平行线间的距离处处相等，而△ABC和△DBC的BC边上的高相等，所以△ABC和△DBC的面积相等，即可求出答案．
此题主要考查了平行线的性质和三角形面积公式．此外还利用了夹在平行线间的距离处处相等．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠BAC=40°，∠CAD=10°，
∴∠BAD=40°+10°=50°，
∵△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，
∴∠BAD为旋转角，
∴旋转角的度数为50°．
故选：B．
首先利用已知条件求出∠BAD，然后利用旋转角的定义即可求解．
此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是正确找出旋转角．
7.【答案】B
【解析】解：某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，是因为垂直线段最短，
故选：B．
根据垂线段的性质解答即可．
此题主要考查了垂线段的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两垂直线段最短．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了二次一次方程组的解和解二元一次方程组，能正确得出x，y的值是解此题的关键．
利用方程组的解的定义，先解2x+y=5和x−y=1组成的方程组，再把x、y代入另外两个方程得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b的值即可．
【解答】
解：解方程组2x+y=5x−y=1得x=2y=1，
把x=2y=1代入ax+3y=−14x+by=11得2a+3=−18+b=11，
解得a=−2b=3．
故选C．
9.【答案】A
【解析】解：设AB=a，BC=b，由四个正方形的周长之和为40，面积之和为28可得，
4a×2+4b×2=40，2a2+2b2=28，
即a+b①，a2+b2=14②，
由①得，a2+2ab+b2=25③，
③−②得2ab=11，
所以ab=112，
即长方形ABCD的面积为112，
故选：A．
设AB=a，BC=b，由四个正方形的周长之和为40，面积之和为28，根据完全平方公式得出2ab=11，求解即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的前提．
10.【答案】D
【解析】解：2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
=(3−1)×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
=(32−1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
=(34−1)(34+1)(38+1)(316+1)
=(38−1)(38+1)(316+1)
=(316−1)(316+1)
=332−1，
31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，
依此类推，个位数字以3，9，7，1循环，
∵32÷4=8，
∴332的个位数字为1，即332−1的个位数字为0．
故选：D．
已知等式变形后，利用平方差公式计算得到结果，归纳总结确定出结果个位数字即可．
此题考查了平方差公式，以及尾数特征，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：22023×(−12)2022
=2×22022×(−12)2022
=2×(−12×2)2022
=2×(−1)2022
=2×1
=2．
故答案为：2．
利用积的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
12.【答案】−15
【解析】解：x−2y=5 ①x+2y=−3 ②
①+②得：2x=2，
x=1
将x=1代入①得：y=−2
原式=12−4×(−2)2
=−15．
故答案为：−15．
先解二元一次方程组，再代入求值即可求出答案．
本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，本题属于基础题型．
13.【答案】27
【解析】
【分析】
本题考查了同底数幂的乘法，属于基础题．
根据同底数幂的乘法，可得答案．
【解答】
解：由2x+3y−3=0，得2x+3y=3．
9x⋅27y=32x⋅33y=32x+3y=33=27，
故答案为：27．
14.【答案】0
【解析】解：∵方程组2x−y=4m+32y−x=−3的解x，y互为相反数，
∴x+y=0，
解方程组x+y=02y−x=−3，可得x=1y=−1，
代入方程组中第一个方程，可得2−(−1)=4m+3，
解得m=0，
故答案为：0．
先根据题意得到方程组x+y=02y−x=−3，可得x=1y=−1，再代入方程组中第一个方程，可得2−(−1)=4m+3，进而解得m=0．
本题主要考查了二元一次方程组的解，解题时注意：当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
15.【答案】②④
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质及平行公理，都是基础知识，需要熟练记忆．
根据平行线的性质，平行公理对各小题分析判断后，利用排除法求解即可．
【解答】
解：①应是两直线平行，同位角相等，故此项错误；
②一条直线有无数条平行线，故此项正确；
③因为线段有端点，所以线段有长短，线段不相交也不一定平行，故在同一平面内，两条不相交的线段不一定是平行线，故此项错误；
④在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c，符合平行公理，故正确；
⑤应为：在同一平面内，过直线外一点有且只只有一条直线与已知直线平行，故此项错误，
综上可知，正确的说法有②④，
故答案为：②④．
16.【答案】b(a−3)
【解析】解：由题意得：
这块草地的绿地面积是b(a−3)平方米，
故答案为：b(a−3)．
根据平移的性质可得，绿地部分可看作是长为(a−3)米．宽为b米的矩形，然后进行计算即可解答．
本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=a2(a−b)−(a−b)
=(a−b)(a2−1)
=(a−b)(a+1)(a−1)；
(2)原式=a4+2a2b2+b4−4a2b2
=a4−2a2b2+b4
=(a2−b2)2
=(a+b)2(a−b)2．
【解析】(1)先提公因式(a−b)，再利用平方差公式即可进行因式分解；
(2)根据完全平方公式展开后，合并同类项，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
18.【答案】解：(1)2x+3y=5 ①x=1−y ②，
把②代入①得：2−2y+3y=5，
解得：y=3，
把y=3代入②得：x=−2，
则方程组的解为x=−2y=3；
(2)方程组整理得：3x−y=7 ①3x−2y=8 ②，
①−②得：y=−1，
把y=−1代入①得：x=2，
则方程组的解为x=2y=−1．
【解析】(1)方程组利用代入消元法求出解即可；
(2)方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19.【答案】解：原式=4x2+4xy+y2−(4x2−y2)
=4x2+4xy+y2−4x2+y2
=4xy+2y2，
当x=1，y=−1时，
原式=4×1×(−1)+2×(−1)2
=−4+2
=−2．
【解析】先展开，去括号合并同类项，化简后将x、y的值代入计算即可．
本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式，把所求式子化简．
20.【答案】解：(1)根据表格可知甲班同学，有两个学生得分8.5分，甲班学生得分的众数是8.5分，
把乙班学生的得分按从大到小排列为：7，7.5，8，10，10，乙班学生得分的中位数是8分，
(2)甲班学生得分的平均数为：7.5+8+8.5+8.5+105=8.5，
甲班学生得分的方差为：s甲2=15[(8.5−7.5)2+(8.5−8)2+(8.5−8.5)2+(8.5−8.5)2+(8.5−10)2]
=0.7，
乙班学生得分的平均数为：7+7.5+8+10+105=8.5，
乙班学生得分的方差为：s乙2=15[(8.5−7)2+(8.5−7.5)2+(8.5−8)2+(8.5−10)2+(8.5−10)2]
=1.6，
∵s甲2
【解析】(1)根据中位数和众数的定义进行计算；
(2)根据方差的意义进行判断．
本题考查了平均数，中位数，方差的意义，掌握平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量是关键．
21.【答案】解：∵EF//AD，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3
∴DG//AB，
∴∠BAC+∠AGD=180°，
∵∠BAC=70°，
∴∠AGD=110°
【解析】根据平行线的性质与判定即可求出答案
本题考查平行线的性质，解题的关键是灵活运用平行线的性质与判定，本题属于基础题型．
22.【答案】解：(1)92−72=(9+7)(9−7)=8×4；112−92=(11+9)(11−9)=8×5；
(2)(2n+1)2−(2n−1)2=(2n+1−2n+1)(2n+1+2n−1)=2×4n=8n
∵n为正整数，
∴两个连续奇数的平方差是8的倍数．
【解析】
【分析】
此题主要考查了平方差公式的应用，正确发现数字变化规律是解题关键．
(1)根据已知算式写出符合题意的答案；
(2)利用平方差公式计算得出答案．
【解答】
解：(1)92−72=(9+7)(9−7)=8×4，112−92=(11+9)(11−9)=8×5；
故答案为：92−72=(9+7)(9−7)=8×4，112−92=(11+9)(11−9)=8×5
(2)见答案．
23.【答案】4
【解析】解：(1)x2−4x+k
=x2−4x+4+k−4
=(x−2)2+k−4，
∵x2−4x+k是一个完全平方式，
∴k−4=0，
∴k=4，
故答案为：4；
(2)−2x2−4x+3
=−2(x2+2x)+3
=−2(x2+2x+1−1)+3
=−2(x+1)2+2+3
=−2(x+1)2+5，
∵(x+1)2+≥0，
∴−2(x+1)2≤0，
∴−2(x+1)2+5≤5，
∴当x=−1时，−2(x+1)2+5有最大值，最大值为5，
即当x为−1时，多项式−2x2−4x+3有最大值，个最大值为5；
(3)∵2a2+3b2−4a+12b+14=0，
∴2a2−4a+2+3b2+12b+12=0，
即：2(a2−2a+1)+3(b2+4b+4)=0，
∴2(a−1)2+3(b+2)2=0，
∵2(a−1)2≥0，3(b+2)2≥0，
∴2(a−1)2=0且3(b+2)2=0，
∴a=1，b=−2．
(1)先将x2−4x+k配方得(x−2)2+k−4，然后根据x2−4x+k是一个完全平方式得k−4=0，由此即可得出k的值；
(2)先将−2x2−4x+3配方得−2(x+1)2+5，然后根据−2(x+1)2+5≤5可得出答案；
(3)先将2a2+3b2−4a+12b+14=0配方得2(a−1)2+3(b+2)2=0，然后根据非负数的性质得2(a−1)2=0且3(b+2)2=0，由此可的得出a，b的值．
此题主要考查了配方法进行因式分解，非负数的性质等，解答此题的关键是熟练掌握配方法及完全平方公式的结构特征，理解非负数的性质：几个非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0．
24.【答案】解：(1)设1辆小客车能坐x名学生，1辆大客车能坐y名学生，
根据题意得：3x+y=105x+2y=110，
解得：x=20y=45，
则x+y=20+45=65，
答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生．
(2)①由题意得：20m+45n=400，
∴m=20−94n，
∵m、n为非负整数，
∴m=20n=0或m=11n=4或m=2n=8，
∴租车方案有三种：
方案一：小客车20车，大客车0辆，
方案二：小客车11辆，大客车4辆，
方案三：小客车2辆，大客车8辆；
②方案一租金：200×20=4000(元)，
方案二租金：200×11+380×4=3720(元)，
方案三租金：200×2+380×8=3440(元)，
∵4000>3720>3440，
∴方案三租金最少，最少租金为3440元．
【解析】(1)设1辆小客车能坐x名学生，1辆大客车能坐y名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；列出方程组，再解即可；
(2)①根据题意可得小客车m辆运的人数+大客车n辆运的人数=400，然后求出非负整数解即可；
②根据①所得方案和小客车每辆租金200元，大客车每辆租金380元分别计算出租金，再比较即可．
此题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
25.【答案】75°
【解析】解：(1)∵∠BPD=∠D=45°，∠APC=60°，
∴∠DPC=180°−45°−60°=75°，
故答案为：75°；
(2)①如图1，此时，BD//PC成立，
∵PC//BD，∠DBP=90°，
∴∠CPN=∠DBP=90°，
∵∠C=30°，
∴∠CPA=60°，
∴∠APN=30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3秒；
如图2，PC//BD，
∵PC//BD，∠PBD=90°，
∴∠CPB=∠DBP=90°，
∵∠C=30°，
∴∠CPA=60°，
∴∠APM=30°，
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转D的角度为180°+30°=210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21秒，
综上所述，当旋转时间为3或21秒时，PC//DB成立；
②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN=3t°，∠BPM=2t°，
∴∠BPN=180°−∠BPM=180°−2t°，
∴∠CPD=360°−∠BPD−∠BPN−∠APN−∠APC=360°−45°−(180°−2t°)−(3t°)−60°=75°−t°，
当∠CPD=∠BPM，即2t°=75°−t°，
解得：t=25，
∴当∠CPD=∠BPM，旋转的时间是25秒．
(1)根据平角的定义即可得到结论；
(2)①如图1，根据平行线的性质得到∠CPN=∠DBP=90°，求得∠APN=30°，于是得到结论；如图2，根据平行线的性质得到∠CPB=∠DBP=90°，根据三角形的内角和得到∠CPA=60°，求得∠APM=30°，于是得到结论；
②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN=3t°，∠BPM=2t°，根据周角的定义得到∠CPD=360°−∠BPD−∠BPN−∠APN−∠APC=360°−45°−(180°−2t°)−(3t°)−60°=75°−t°，列方程即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解题的关键．
2022-2023学年湖南省永州市双牌县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若x=1y=−2是方程2x−ky=6的一个解，那么k的值是( )
A. −2 B. 2 C. −4 D. 4
2. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. 4a2−2a2=2 B. (a3)3=a6 C. a3⋅a6=a18 D. (−2a2)3=−8a6
4. 下列各式中能用平方差公式计算的是( )
A. (x−y)(−x+y) B. (−x−y)(x−y) C. (x+y)(−x−y) D. (x−y)(y−x)
5. 如图，直线L1//L2，△ABC的面积为10，则△DBC的面积( )
A. 大于10
B. 小于10
C. 等于10
D. 不确定
6. 如图，△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，若∠BAC=40°，∠B=90°，∠CAD=10°，则旋转角的度数分别为( )
A. 80°
B. 50°
C. 40°
D. 10°
7. 如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，用几何知识解释其道理正确的是( )
A. 两点确定一条直线
B. 垂线段最短
C. 两点之间线段最短
D. 经过一点有无数条直线
8. 已知关于x、y的方程组2x+y=5ax+3y=−1与x−y=14x+by=11有相同的解，则a和b的值为( )
A. a=2b=−3 B. a=4b=−6 C. a=−2b=3 D. a=−4b=6
9. 如图，以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，若四个正方形的周长之和为40，面积之和为28，则长方形ABCD的面积为( )
A. 112
B. 11
C. 22
D. 43
10. 2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的计算结果的个位数字是( )
A. 8 B. 6 C. 2 D. 0
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算：22023×(−12)2022= ______ ．
12. 已知x，y满足方程组x−2y=5x+2y=−3，则x2−4y2的值为______．
13. 已知2x+3y−3=0，则9x⋅27y=______．
14. 已知方程组2x−y=4m+32y−x=−3的解x，y互为相反数，则m的值为______ ．
15. 下列说法正确的有(填序号)：______ ．
①同位角相等；
②一条直线有无数条平行线；
③在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；
④在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c；
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
16. 如图，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移3米就是它的右边线，这块草地的绿地面积是______平方米．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
请把下列各式分解因式：
(1)a2(a−b)+(b−a)；
(2)(a2+b2)2−4a2b2．
18. (本小题6.0分)
解方程组：
(1)2x+3y=5x=1−y；
(2)3x−y=7x2−y−23=2．
19. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(2x+y)2−(2x+y)(2x−y)，其中x=1，y=−1．
20. (本小题8.0分)
中国经济的快速发展让众多国家感受到了威胁，随着钓鱼岛事件、南海危机、萨德入韩等一系列事件的发生，国家安全一再受到威胁，所谓“国家兴亡，匹夫有责”，某校积极开展国防知识教育，七年级甲、乙两班分别选5名同学参加“国防知识”比赛，其预赛成绩如图所示：
(1)根据上图填写下表：
平均数
中位数
众数
甲班
8.5
8.5
乙班
8.5
10
(2)分别求甲乙两班的方差，并从稳定性上分析哪个班的成绩较好．
21. (本小题8.0分)
如图，EF//AD，∠1=∠2，∠BAC=70°.求∠AGD的度数．
22. (本小题9.0分)
王老师在黑板上写下了四个算式：
①32−12=(3+1)(3−1)=8=8×1，
②52−32=(5+3)(5−3)=16=8×2，
③72−52=(7+5)(7−5)=24=8×3，
④92−72=(9+7)(9−7)=32=8×4．
…
认真观察这些算式，并结合你发现的规律，解答下列问题：
(1)请再写出另外两个符合规律的算式：
算式①______；
算式②______．
(2)小华发现上述算式的规律可以用文字语言概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n+1和2n−1(n为正整数)，请你用含有n的算式验证小华发现的规律．
23. (本小题10.0分)
教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：x2+2x−3=(x2+2x+1)−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)；
2x2+4x−6=2(x2+2x+1)−8=2(x+1)2−8，则当x=−1时，2x2+4x−6有最小值，最小值是−8．
根据材料用配方法解决下列问题：
(1)若多项式x2−4x+k是一个完全平方式，则常数k= ______ ；
(2)当x为何值时，多项式−2x2−4x+3有最大值？并求出这个最大值；
(3)已知2a2+3b2−4a+12b+14=0，求出a，b的值．
24. (本小题9.0分)
某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
(1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？
(2)若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金
25. (本小题10.0分)
如图，有一副直角三角板如图1放置(其中)，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点P逆时针旋转．
(1)在图1中，∠DPC= ______ ；
(2)如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC//DB成立；
(3)如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PA重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD=∠BPM时，求旋转的时间是多少？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：把x=1y=−2代入方程2x−ky=6得：2+2k=6，
解得：k=2，
故选：B．
把x=1y=−2代入方程2x−ky=6得出2+2k=6，再求出方程的解即可．
本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于k的一元一次方程是解此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
3.【答案】D
【解析】解：A、4a2−2a2=2a2，故A不符合题意；
B、(a3)3=a9，故B不符合题意；
C、a3⋅a6=a9，故C不符合题意；
D、(−2a2)3=−8a6，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】B
【解析】解：A、(x−y)(−x+y)=−(−x+y)(−x+y)=−(−x+y)2，能用完全平方公式计算，故此选项不符合题意；
B、(−x−y)(x−y)=−(x+y)(x−y)，能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
C、(x+y)(−x−y)=−(x+y)(x+y)=−(x+y)2，能用完全平方公式计算，故此选项不符合题意；
D、(x−y)(y−x)=−(x−y)(x−y)=−(x−y)2，能用完全平方公式计算，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2对各选项分别进行判断．
本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
5.【答案】C
【解析】解：∵L1//L2，
∴L1，L2之间的距离是固定的，
∴△ABC和△DBC的BC边上的高相等，
∴△ABC和△DBC的面积相等，
∴△DBC的面积等于10．
故选C．
由于平行线间的距离处处相等，而△ABC和△DBC的BC边上的高相等，所以△ABC和△DBC的面积相等，即可求出答案．
此题主要考查了平行线的性质和三角形面积公式．此外还利用了夹在平行线间的距离处处相等．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠BAC=40°，∠CAD=10°，
∴∠BAD=40°+10°=50°，
∵△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，
∴∠BAD为旋转角，
∴旋转角的度数为50°．
故选：B．
首先利用已知条件求出∠BAD，然后利用旋转角的定义即可求解．
此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是正确找出旋转角．
7.【答案】B
【解析】解：某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭顺风车，他选择P→C路线，是因为垂直线段最短，
故选：B．
根据垂线段的性质解答即可．
此题主要考查了垂线段的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两垂直线段最短．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了二次一次方程组的解和解二元一次方程组，能正确得出x，y的值是解此题的关键．
利用方程组的解的定义，先解2x+y=5和x−y=1组成的方程组，再把x、y代入另外两个方程得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b的值即可．
【解答】
解：解方程组2x+y=5x−y=1得x=2y=1，
把x=2y=1代入ax+3y=−14x+by=11得2a+3=−18+b=11，
解得a=−2b=3．
故选C．
9.【答案】A
【解析】解：设AB=a，BC=b，由四个正方形的周长之和为40，面积之和为28可得，
4a×2+4b×2=40，2a2+2b2=28，
即a+b①，a2+b2=14②，
由①得，a2+2ab+b2=25③，
③−②得2ab=11，
所以ab=112，
即长方形ABCD的面积为112，
故选：A．
设AB=a，BC=b，由四个正方形的周长之和为40，面积之和为28，根据完全平方公式得出2ab=11，求解即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的前提．
10.【答案】D
【解析】解：2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
=(3−1)×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
=(32−1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
=(34−1)(34+1)(38+1)(316+1)
=(38−1)(38+1)(316+1)
=(316−1)(316+1)
=332−1，
31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，
依此类推，个位数字以3，9，7，1循环，
∵32÷4=8，
∴332的个位数字为1，即332−1的个位数字为0．
故选：D．
已知等式变形后，利用平方差公式计算得到结果，归纳总结确定出结果个位数字即可．
此题考查了平方差公式，以及尾数特征，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：22023×(−12)2022
=2×22022×(−12)2022
=2×(−12×2)2022
=2×(−1)2022
=2×1
=2．
故答案为：2．
利用积的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
12.【答案】−15
【解析】解：x−2y=5 ①x+2y=−3 ②
①+②得：2x=2，
x=1
将x=1代入①得：y=−2
原式=12−4×(−2)2
=−15．
故答案为：−15．
先解二元一次方程组，再代入求值即可求出答案．
本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，本题属于基础题型．
13.【答案】27
【解析】
【分析】
本题考查了同底数幂的乘法，属于基础题．
根据同底数幂的乘法，可得答案．
【解答】
解：由2x+3y−3=0，得2x+3y=3．
9x⋅27y=32x⋅33y=32x+3y=33=27，
故答案为：27．
14.【答案】0
【解析】解：∵方程组2x−y=4m+32y−x=−3的解x，y互为相反数，
∴x+y=0，
解方程组x+y=02y−x=−3，可得x=1y=−1，
代入方程组中第一个方程，可得2−(−1)=4m+3，
解得m=0，
故答案为：0．
先根据题意得到方程组x+y=02y−x=−3，可得x=1y=−1，再代入方程组中第一个方程，可得2−(−1)=4m+3，进而解得m=0．
本题主要考查了二元一次方程组的解，解题时注意：当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
15.【答案】②④
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质及平行公理，都是基础知识，需要熟练记忆．
根据平行线的性质，平行公理对各小题分析判断后，利用排除法求解即可．
【解答】
解：①应是两直线平行，同位角相等，故此项错误；
②一条直线有无数条平行线，故此项正确；
③因为线段有端点，所以线段有长短，线段不相交也不一定平行，故在同一平面内，两条不相交的线段不一定是平行线，故此项错误；
④在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c，符合平行公理，故正确；
⑤应为：在同一平面内，过直线外一点有且只只有一条直线与已知直线平行，故此项错误，
综上可知，正确的说法有②④，
故答案为：②④．
16.【答案】b(a−3)
【解析】解：由题意得：
这块草地的绿地面积是b(a−3)平方米，
故答案为：b(a−3)．
根据平移的性质可得，绿地部分可看作是长为(a−3)米．宽为b米的矩形，然后进行计算即可解答．
本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=a2(a−b)−(a−b)
=(a−b)(a2−1)
=(a−b)(a+1)(a−1)；
(2)原式=a4+2a2b2+b4−4a2b2
=a4−2a2b2+b4
=(a2−b2)2
=(a+b)2(a−b)2．
【解析】(1)先提公因式(a−b)，再利用平方差公式即可进行因式分解；
(2)根据完全平方公式展开后，合并同类项，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
18.【答案】解：(1)2x+3y=5 ①x=1−y ②，
把②代入①得：2−2y+3y=5，
解得：y=3，
把y=3代入②得：x=−2，
则方程组的解为x=−2y=3；
(2)方程组整理得：3x−y=7 ①3x−2y=8 ②，
①−②得：y=−1，
把y=−1代入①得：x=2，
则方程组的解为x=2y=−1．
【解析】(1)方程组利用代入消元法求出解即可；
(2)方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19.【答案】解：原式=4x2+4xy+y2−(4x2−y2)
=4x2+4xy+y2−4x2+y2
=4xy+2y2，
当x=1，y=−1时，
原式=4×1×(−1)+2×(−1)2
=−4+2
=−2．
【解析】先展开，去括号合并同类项，化简后将x、y的值代入计算即可．
本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式，把所求式子化简．
20.【答案】解：(1)根据表格可知甲班同学，有两个学生得分8.5分，甲班学生得分的众数是8.5分，
把乙班学生的得分按从大到小排列为：7，7.5，8，10，10，乙班学生得分的中位数是8分，
(2)甲班学生得分的平均数为：7.5+8+8.5+8.5+105=8.5，
甲班学生得分的方差为：s甲2=15[(8.5−7.5)2+(8.5−8)2+(8.5−8.5)2+(8.5−8.5)2+(8.5−10)2]
=0.7，
乙班学生得分的平均数为：7+7.5+8+10+105=8.5，
乙班学生得分的方差为：s乙2=15[(8.5−7)2+(8.5−7.5)2+(8.5−8)2+(8.5−10)2+(8.5−10)2]
=1.6，
∵s甲2
【解析】(1)根据中位数和众数的定义进行计算；
(2)根据方差的意义进行判断．
本题考查了平均数，中位数，方差的意义，掌握平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量是关键．
21.【答案】解：∵EF//AD，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3
∴DG//AB，
∴∠BAC+∠AGD=180°，
∵∠BAC=70°，
∴∠AGD=110°
【解析】根据平行线的性质与判定即可求出答案
本题考查平行线的性质，解题的关键是灵活运用平行线的性质与判定，本题属于基础题型．
22.【答案】解：(1)92−72=(9+7)(9−7)=8×4；112−92=(11+9)(11−9)=8×5；
(2)(2n+1)2−(2n−1)2=(2n+1−2n+1)(2n+1+2n−1)=2×4n=8n
∵n为正整数，
∴两个连续奇数的平方差是8的倍数．
【解析】
【分析】
此题主要考查了平方差公式的应用，正确发现数字变化规律是解题关键．
(1)根据已知算式写出符合题意的答案；
(2)利用平方差公式计算得出答案．
【解答】
解：(1)92−72=(9+7)(9−7)=8×4，112−92=(11+9)(11−9)=8×5；
故答案为：92−72=(9+7)(9−7)=8×4，112−92=(11+9)(11−9)=8×5
(2)见答案．
23.【答案】4
【解析】解：(1)x2−4x+k
=x2−4x+4+k−4
=(x−2)2+k−4，
∵x2−4x+k是一个完全平方式，
∴k−4=0，
∴k=4，
故答案为：4；
(2)−2x2−4x+3
=−2(x2+2x)+3
=−2(x2+2x+1−1)+3
=−2(x+1)2+2+3
=−2(x+1)2+5，
∵(x+1)2+≥0，
∴−2(x+1)2≤0，
∴−2(x+1)2+5≤5，
∴当x=−1时，−2(x+1)2+5有最大值，最大值为5，
即当x为−1时，多项式−2x2−4x+3有最大值，个最大值为5；
(3)∵2a2+3b2−4a+12b+14=0，
∴2a2−4a+2+3b2+12b+12=0，
即：2(a2−2a+1)+3(b2+4b+4)=0，
∴2(a−1)2+3(b+2)2=0，
∵2(a−1)2≥0，3(b+2)2≥0，
∴2(a−1)2=0且3(b+2)2=0，
∴a=1，b=−2．
(1)先将x2−4x+k配方得(x−2)2+k−4，然后根据x2−4x+k是一个完全平方式得k−4=0，由此即可得出k的值；
(2)先将−2x2−4x+3配方得−2(x+1)2+5，然后根据−2(x+1)2+5≤5可得出答案；
(3)先将2a2+3b2−4a+12b+14=0配方得2(a−1)2+3(b+2)2=0，然后根据非负数的性质得2(a−1)2=0且3(b+2)2=0，由此可的得出a，b的值．
此题主要考查了配方法进行因式分解，非负数的性质等，解答此题的关键是熟练掌握配方法及完全平方公式的结构特征，理解非负数的性质：几个非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0．
24.【答案】解：(1)设1辆小客车能坐x名学生，1辆大客车能坐y名学生，
根据题意得：3x+y=105x+2y=110，
解得：x=20y=45，
则x+y=20+45=65，
答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生．
(2)①由题意得：20m+45n=400，
∴m=20−94n，
∵m、n为非负整数，
∴m=20n=0或m=11n=4或m=2n=8，
∴租车方案有三种：
方案一：小客车20车，大客车0辆，
方案二：小客车11辆，大客车4辆，
方案三：小客车2辆，大客车8辆；
②方案一租金：200×20=4000(元)，
方案二租金：200×11+380×4=3720(元)，
方案三租金：200×2+380×8=3440(元)，
∵4000>3720>3440，
∴方案三租金最少，最少租金为3440元．
【解析】(1)设1辆小客车能坐x名学生，1辆大客车能坐y名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；列出方程组，再解即可；
(2)①根据题意可得小客车m辆运的人数+大客车n辆运的人数=400，然后求出非负整数解即可；
②根据①所得方案和小客车每辆租金200元，大客车每辆租金380元分别计算出租金，再比较即可．
此题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
25.【答案】75°
【解析】解：(1)∵∠BPD=∠D=45°，∠APC=60°，
∴∠DPC=180°−45°−60°=75°，
故答案为：75°；
(2)①如图1，此时，BD//PC成立，
∵PC//BD，∠DBP=90°，
∴∠CPN=∠DBP=90°，
∵∠C=30°，
∴∠CPA=60°，
∴∠APN=30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3秒；
如图2，PC//BD，
∵PC//BD，∠PBD=90°，
∴∠CPB=∠DBP=90°，
∵∠C=30°，
∴∠CPA=60°，
∴∠APM=30°，
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转D的角度为180°+30°=210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21秒，
综上所述，当旋转时间为3或21秒时，PC//DB成立；
②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN=3t°，∠BPM=2t°，
∴∠BPN=180°−∠BPM=180°−2t°，
∴∠CPD=360°−∠BPD−∠BPN−∠APN−∠APC=360°−45°−(180°−2t°)−(3t°)−60°=75°−t°，
当∠CPD=∠BPM，即2t°=75°−t°，
解得：t=25，
∴当∠CPD=∠BPM，旋转的时间是25秒．
(1)根据平角的定义即可得到结论；
(2)①如图1，根据平行线的性质得到∠CPN=∠DBP=90°，求得∠APN=30°，于是得到结论；如图2，根据平行线的性质得到∠CPB=∠DBP=90°，根据三角形的内角和得到∠CPA=60°，求得∠APM=30°，于是得到结论；
②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN=3t°，∠BPM=2t°，根据周角的定义得到∠CPD=360°−∠BPD−∠BPN−∠APN−∠APC=360°−45°−(180°−2t°)−(3t°)−60°=75°−t°，列方程即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解题的关键．
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