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    2022-2023学年湖南省永州市双牌县七年级(下)期末数学试卷(含解析)
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    2022-2023学年湖南省永州市双牌县七年级(下)期末数学试卷(含解析)

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    这是一份2022-2023学年湖南省永州市双牌县七年级(下)期末数学试卷(含解析),共19页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年湖南省永州市双牌县七年级(下)期末数学试卷
    一、选择题(本大题共10小题,共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
    1. 若x=1y=−2是方程2x−ky=6的一个解,那么k的值是(    )
    A. −2 B. 2 C. −4 D. 4
    2. 体育是一个锻炼身体,增强体质,培养道德和意志品质的教育过程,是培养全面发展的人的一个重要方面,下列体育图标是轴对称图形的是(    )
    A. B. C. D.
    3. 下列运算正确的是(    )
    A. 4a2−2a2=2 B. (a3)3=a6 C. a3⋅a6=a18 D. (−2a2)3=−8a6
    4. 下列各式中能用平方差公式计算的是(    )
    A. (x−y)(−x+y) B. (−x−y)(x−y) C. (x+y)(−x−y) D. (x−y)(y−x)
    5. 如图,直线L1/​/L2,△ABC的面积为10,则△DBC的面积(    )
    A. 大于10
    B. 小于10
    C. 等于10
    D. 不确定
    6. 如图,△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的,若∠BAC=40°,∠B=90°,∠CAD=10°,则旋转角的度数分别为(    )
    A. 80°
    B. 50°
    C. 40°
    D. 10°
    7. 如图所示,某同学的家在P处,他想尽快赶到附近公路边搭顺风车,他选择P→C路线,用几何知识解释其道理正确的是(    )
    A. 两点确定一条直线
    B. 垂线段最短
    C. 两点之间线段最短
    D. 经过一点有无数条直线
    8. 已知关于x、y的方程组2x+y=5ax+3y=−1与x−y=14x+by=11有相同的解,则a和b的值为(    )
    A. a=2b=−3 B. a=4b=−6 C. a=−2b=3 D. a=−4b=6
    9. 如图,以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形,设计出“中”字图案,若四个正方形的周长之和为40,面积之和为28,则长方形ABCD的面积为(    )
    A. 112
    B. 11
    C. 22
    D. 43
    10. 2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的计算结果的个位数字是(    )
    A. 8 B. 6 C. 2 D. 0
    二、填空题(本大题共6小题,共18.0分)
    11. 计算:22023×(−12)2022= ______ .
    12. 已知x,y满足方程组x−2y=5x+2y=−3,则x2−4y2的值为______.
    13. 已知2x+3y−3=0,则9x⋅27y=______.
    14. 已知方程组2x−y=4m+32y−x=−3的解x,y互为相反数,则m的值为______ .
    15. 下列说法正确的有(填序号):______ .
    ①同位角相等;  
    ②一条直线有无数条平行线;  
    ③在同一平面内,两条不相交的线段是平行线;
    ④在同一平面内,如果a/​/b,b/​/c,则a/​/c;  
    ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行.
    16. 如图,在一块长为a米,宽为b米的长方形草地上,有一条弯曲的小路,小路的左边线向右平移3米就是它的右边线,这块草地的绿地面积是______平方米.

    三、解答题(本大题共9小题,共72.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    17. (本小题6.0分)
    请把下列各式分解因式:
    (1)a2(a−b)+(b−a);
    (2)(a2+b2)2−4a2b2.
    18. (本小题6.0分)
    解方程组:
    (1)2x+3y=5x=1−y;
    (2)3x−y=7x2−y−23=2.
    19. (本小题6.0分)
    先化简,再求值:(2x+y)2−(2x+y)(2x−y),其中x=1,y=−1.
    20. (本小题8.0分)
    中国经济的快速发展让众多国家感受到了威胁,随着钓鱼岛事件、南海危机、萨德入韩等一系列事件的发生,国家安全一再受到威胁,所谓“国家兴亡,匹夫有责”,某校积极开展国防知识教育,七年级甲、乙两班分别选5名同学参加“国防知识”比赛,其预赛成绩如图所示:
    (1)根据上图填写下表:

    平均数
    中位数
    众数
    甲班
    8.5
    8.5

    乙班
    8.5

    10
    (2)分别求甲乙两班的方差,并从稳定性上分析哪个班的成绩较好.

    21. (本小题8.0分)
    如图,EF/​/AD,∠1=∠2,∠BAC=70°.求∠AGD的度数.

    22. (本小题9.0分)
    王老师在黑板上写下了四个算式:
    ①32−12=(3+1)(3−1)=8=8×1,
    ②52−32=(5+3)(5−3)=16=8×2,
    ③72−52=(7+5)(7−5)=24=8×3,
    ④92−72=(9+7)(9−7)=32=8×4.

    认真观察这些算式,并结合你发现的规律,解答下列问题:
    (1)请再写出另外两个符合规律的算式:
    算式①______;
    算式②______.
    (2)小华发现上述算式的规律可以用文字语言概括为:“两个连续奇数的平方差能被8整除”,如果设两个连续奇数分别为2n+1和2n−1(n为正整数),请你用含有n的算式验证小华发现的规律.
    23. (本小题10.0分)
    教科书中这样写道:“我们把多项式及叫做完全平方式”,如果一个多项式不是完全平方式,我们常常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决数学问题的方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题.
    例如:x2+2x−3=(x2+2x+1)−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1);
    2x2+4x−6=2(x2+2x+1)−8=2(x+1)2−8,则当x=−1时,2x2+4x−6有最小值,最小值是−8.
    根据材料用配方法解决下列问题:
    (1)若多项式x2−4x+k是一个完全平方式,则常数k= ______ ;
    (2)当x为何值时,多项式−2x2−4x+3有最大值?并求出这个最大值;
    (3)已知2a2+3b2−4a+12b+14=0,求出a,b的值.
    24. (本小题9.0分)
    某校准备组织七年级400名学生参加夏令营,已知满员时,用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人;用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人.
    (1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生?
    (2)若学校计划租用小客车m辆,大客车n辆,一次送完,且恰好每辆车都坐满;
    ①请你设计出所有的租车方案;
    ②若小客车每辆需租金200元,大客车每辆需租金380元,请选出最省钱的租车方案,并求出最少租金
    25. (本小题10.0分)
    如图,有一副直角三角板如图1放置(其中),与直线重合,且三角板,三角板均可以绕点P逆时针旋转.
    (1)在图1中,∠DPC= ______ ;
    (2)如图2,若三角板PBD保持不动,三角板PAC绕点P逆时针旋转,转速为10°/秒,转动一周三角板PAC就停止转动,在旋转的过程中,当旋转时间为多少时,有PC//DB成立;
    (3)如图3,在图1基础上,若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转,转速为3°/秒,同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转,转速为2°/秒,当PC转到与PA重合时,两三角板都停止转动,在旋转过程中,当∠CPD=∠BPM时,求旋转的时间是多少?


    答案和解析

    1.【答案】B 
    【解析】解:把x=1y=−2代入方程2x−ky=6得:2+2k=6,
    解得:k=2,
    故选:B.
    把x=1y=−2代入方程2x−ky=6得出2+2k=6,再求出方程的解即可.
    本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程,能得出关于k的一元一次方程是解此题的关键.

    2.【答案】C 
    【解析】解:A,B,D选项中的图形都不能找到一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以不是轴对称图形;
    C选项中的图形能找到一条直线,使图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形;
    故选:C.
    根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可.
    本题主要考查了轴对称图形,如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形.

    3.【答案】D 
    【解析】解:A、4a2−2a2=2a2,故A不符合题意;
    B、(a3)3=a9,故B不符合题意;
    C、a3⋅a6=a9,故C不符合题意;
    D、(−2a2)3=−8a6,故D符合题意;
    故选:D.
    利用合并同类项的法则,同底数幂的乘法的法则,幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可.
    本题主要考查合并同类项,幂的乘方与积的乘方,同底数幂的乘法,解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

    4.【答案】B 
    【解析】解:A、(x−y)(−x+y)=−(−x+y)(−x+y)=−(−x+y)2,能用完全平方公式计算,故此选项不符合题意;
    B、(−x−y)(x−y)=−(x+y)(x−y),能用平方差公式计算,故此选项符合题意;
    C、(x+y)(−x−y)=−(x+y)(x+y)=−(x+y)2,能用完全平方公式计算,故此选项不符合题意;
    D、(x−y)(y−x)=−(x−y)(x−y)=−(x−y)2,能用完全平方公式计算,故此选项不符合题意;
    故选:B.
    根据平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2对各选项分别进行判断.
    本题考查了平方差公式.运用平方差公式计算时,关键要找相同项和相反项,其结果是相同项的平方减去相反项的平方.

    5.【答案】C 
    【解析】解:∵L1//L2,
    ∴L1,L2之间的距离是固定的,
    ∴△ABC和△DBC的BC边上的高相等,
    ∴△ABC和△DBC的面积相等,
    ∴△DBC的面积等于10.
    故选C.
    由于平行线间的距离处处相等,而△ABC和△DBC的BC边上的高相等,所以△ABC和△DBC的面积相等,即可求出答案.
    此题主要考查了平行线的性质和三角形面积公式.此外还利用了夹在平行线间的距离处处相等.

    6.【答案】B 
    【解析】解:∵∠BAC=40°,∠CAD=10°,
    ∴∠BAD=40°+10°=50°,
    ∵△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的,
    ∴∠BAD为旋转角,
    ∴旋转角的度数为50°.
    故选:B.
    首先利用已知条件求出∠BAD,然后利用旋转角的定义即可求解.
    此题主要考查了旋转的性质,解题的关键是正确找出旋转角.

    7.【答案】B 
    【解析】解:某同学的家在P处,他想尽快赶到附近公路边搭顺风车,他选择P→C路线,是因为垂直线段最短,
    故选:B.
    根据垂线段的性质解答即可.
    此题主要考查了垂线段的性质,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:两垂直线段最短.

    8.【答案】C 
    【解析】
    【分析】
    本题考查了二次一次方程组的解和解二元一次方程组,能正确得出x,y的值是解此题的关键.
    利用方程组的解的定义,先解2x+y=5和x−y=1组成的方程组,再把x、y代入另外两个方程得到关于a、b的方程组,然后解方程组求出a、b的值即可.
    【解答】
    解:解方程组2x+y=5x−y=1得x=2y=1,
    把x=2y=1代入ax+3y=−14x+by=11得2a+3=−18+b=11,
    解得a=−2b=3.
    故选C.  
    9.【答案】A 
    【解析】解:设AB=a,BC=b,由四个正方形的周长之和为40,面积之和为28可得,
    4a×2+4b×2=40,2a2+2b2=28,
    即a+b①,a2+b2=14②,
    由①得,a2+2ab+b2=25③,
    ③−②得2ab=11,
    所以ab=112,
    即长方形ABCD的面积为112,
    故选:A.
    设AB=a,BC=b,由四个正方形的周长之和为40,面积之和为28,根据完全平方公式得出2ab=11,求解即可.
    本题考查完全平方公式的几何背景,用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的前提.

    10.【答案】D 
    【解析】解:2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
    =(3−1)×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
    =(32−1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
    =(34−1)(34+1)(38+1)(316+1)
    =(38−1)(38+1)(316+1)
    =(316−1)(316+1)
    =332−1,
    31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,…,
    依此类推,个位数字以3,9,7,1循环,
    ∵32÷4=8,
    ∴332的个位数字为1,即332−1的个位数字为0.
    故选:D.
    已知等式变形后,利用平方差公式计算得到结果,归纳总结确定出结果个位数字即可.
    此题考查了平方差公式,以及尾数特征,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.

    11.【答案】2 
    【解析】解:22023×(−12)2022
    =2×22022×(−12)2022
    =2×(−12×2)2022
    =2×(−1)2022
    =2×1
    =2.
    故答案为:2.
    利用积的乘方的法则进行运算即可.
    本题主要考查积的乘方,解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

    12.【答案】−15 
    【解析】解:x−2y=5  ①x+2y=−3  ②
    ①+②得:2x=2,
    x=1
    将x=1代入①得:y=−2
    原式=12−4×(−2)2
    =−15.
    故答案为:−15.
    先解二元一次方程组,再代入求值即可求出答案.
    本题考查解二元一次方程组,解题的关键是熟练掌握加减消元法解二元一次方程组,本题属于基础题型.

    13.【答案】27 
    【解析】
    【分析】
    本题考查了同底数幂的乘法,属于基础题.
    根据同底数幂的乘法,可得答案.
    【解答】
    解:由2x+3y−3=0,得2x+3y=3.
    9x⋅27y=32x⋅33y=32x+3y=33=27,
    故答案为:27.  
    14.【答案】0 
    【解析】解:∵方程组2x−y=4m+32y−x=−3的解x,y互为相反数,
    ∴x+y=0,
    解方程组x+y=02y−x=−3,可得x=1y=−1,
    代入方程组中第一个方程,可得2−(−1)=4m+3,
    解得m=0,
    故答案为:0.
    先根据题意得到方程组x+y=02y−x=−3,可得x=1y=−1,再代入方程组中第一个方程,可得2−(−1)=4m+3,进而解得m=0.
    本题主要考查了二元一次方程组的解,解题时注意:当遇到有关二元一次方程组的解的问题时,通常采用代入法,即将解代入原方程组,这种方法主要用在求方程中的字母系数.

    15.【答案】②④ 
    【解析】
    【分析】
    本题主要考查了平行线的性质及平行公理,都是基础知识,需要熟练记忆.
    根据平行线的性质,平行公理对各小题分析判断后,利用排除法求解即可.
    【解答】
    解:①应是两直线平行,同位角相等,故此项错误;  
    ②一条直线有无数条平行线,故此项正确;  
    ③因为线段有端点,所以线段有长短,线段不相交也不一定平行,故在同一平面内,两条不相交的线段不一定是平行线,故此项错误;
    ④在同一平面内,如果a/​/b,b/​/c,则a/​/c,符合平行公理,故正确;  
    ⑤应为:在同一平面内,过直线外一点有且只只有一条直线与已知直线平行,故此项错误,
    综上可知,正确的说法有②④,
    故答案为:②④.  
    16.【答案】b(a−3) 
    【解析】解:由题意得:
    这块草地的绿地面积是b(a−3)平方米,
    故答案为:b(a−3).
    根据平移的性质可得,绿地部分可看作是长为(a−3)米.宽为b米的矩形,然后进行计算即可解答.
    本题考查了生活中的平移现象,熟练掌握平移的性质是解题的关键.

    17.【答案】解:(1)原式=a2(a−b)−(a−b)
    =(a−b)(a2−1)
    =(a−b)(a+1)(a−1);
    (2)原式=a4+2a2b2+b4−4a2b2
    =a4−2a2b2+b4
    =(a2−b2)2
    =(a+b)2(a−b)2. 
    【解析】(1)先提公因式(a−b),再利用平方差公式即可进行因式分解;
    (2)根据完全平方公式展开后,合并同类项,再利用完全平方公式进行因式分解即可.
    本题考查提公因式法、公式法分解因式,掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提.

    18.【答案】解:(1)2x+3y=5 ①x=1−y ②,
    把②代入①得:2−2y+3y=5,
    解得:y=3,
    把y=3代入②得:x=−2,
    则方程组的解为x=−2y=3;
    (2)方程组整理得:3x−y=7 ①3x−2y=8 ②,
    ①−②得:y=−1,
    把y=−1代入①得:x=2,
    则方程组的解为x=2y=−1. 
    【解析】(1)方程组利用代入消元法求出解即可;
    (2)方程组整理后,利用加减消元法求出解即可.
    此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.

    19.【答案】解:原式=4x2+4xy+y2−(4x2−y2)
    =4x2+4xy+y2−4x2+y2
    =4xy+2y2,
    当x=1,y=−1时,
    原式=4×1×(−1)+2×(−1)2
    =−4+2
    =−2. 
    【解析】先展开,去括号合并同类项,化简后将x、y的值代入计算即可.
    本题考查整式化简求值,解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式,把所求式子化简.

    20.【答案】解:(1)根据表格可知甲班同学,有两个学生得分8.5分,甲班学生得分的众数是8.5分,
    把乙班学生的得分按从大到小排列为:7,7.5,8,10,10,乙班学生得分的中位数是8分,
    (2)甲班学生得分的平均数为:7.5+8+8.5+8.5+105=8.5,
    甲班学生得分的方差为:s甲2=15[(8.5−7.5)2+(8.5−8)2+(8.5−8.5)2+(8.5−8.5)2+(8.5−10)2]
    =0.7,
    乙班学生得分的平均数为:7+7.5+8+10+105=8.5,
    乙班学生得分的方差为:s乙2=15[(8.5−7)2+(8.5−7.5)2+(8.5−8)2+(8.5−10)2+(8.5−10)2]
    =1.6,
    ∵s甲2 ∴甲班学生成绩更稳定. 
    【解析】(1)根据中位数和众数的定义进行计算;
    (2)根据方差的意义进行判断.
    本题考查了平均数,中位数,方差的意义,掌握平均数平均数表示一组数据的平均程度.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数);方差是用来衡量一组数据波动大小的量是关键.

    21.【答案】解:∵EF/​/AD,
    ∴∠2=∠3,
    ∵∠1=∠2,
    ∴∠1=∠3
    ∴DG/​/AB,
    ∴∠BAC+∠AGD=180°,
    ∵∠BAC=70°,
    ∴∠AGD=110° 
    【解析】根据平行线的性质与判定即可求出答案
    本题考查平行线的性质,解题的关键是灵活运用平行线的性质与判定,本题属于基础题型.

    22.【答案】解:(1)92−72=(9+7)(9−7)=8×4;112−92=(11+9)(11−9)=8×5;
    (2)(2n+1)2−(2n−1)2=(2n+1−2n+1)(2n+1+2n−1)=2×4n=8n
    ∵n为正整数,
    ∴两个连续奇数的平方差是8的倍数. 
    【解析】
    【分析】
    此题主要考查了平方差公式的应用,正确发现数字变化规律是解题关键.
    (1)根据已知算式写出符合题意的答案;
    (2)利用平方差公式计算得出答案.
    【解答】
    解:(1)92−72=(9+7)(9−7)=8×4,112−92=(11+9)(11−9)=8×5;
    故答案为:92−72=(9+7)(9−7)=8×4,112−92=(11+9)(11−9)=8×5
    (2)见答案.  
    23.【答案】4 
    【解析】解:(1)x2−4x+k
    =x2−4x+4+k−4
    =(x−2)2+k−4,
    ∵x2−4x+k是一个完全平方式,
    ∴k−4=0,
    ∴k=4,
    故答案为:4;
    (2)−2x2−4x+3
    =−2(x2+2x)+3
    =−2(x2+2x+1−1)+3
    =−2(x+1)2+2+3
    =−2(x+1)2+5,
    ∵(x+1)2+≥0,
    ∴−2(x+1)2≤0,
    ∴−2(x+1)2+5≤5,
    ∴当x=−1时,−2(x+1)2+5有最大值,最大值为5,
    即当x为−1时,多项式−2x2−4x+3有最大值,个最大值为5;
    (3)∵2a2+3b2−4a+12b+14=0,
    ∴2a2−4a+2+3b2+12b+12=0,
    即:2(a2−2a+1)+3(b2+4b+4)=0,
    ∴2(a−1)2+3(b+2)2=0,
    ∵2(a−1)2≥0,3(b+2)2≥0,
    ∴2(a−1)2=0且3(b+2)2=0,
    ∴a=1,b=−2.
    (1)先将x2−4x+k配方得(x−2)2+k−4,然后根据x2−4x+k是一个完全平方式得k−4=0,由此即可得出k的值;
    (2)先将−2x2−4x+3配方得−2(x+1)2+5,然后根据−2(x+1)2+5≤5可得出答案;
    (3)先将2a2+3b2−4a+12b+14=0配方得2(a−1)2+3(b+2)2=0,然后根据非负数的性质得2(a−1)2=0且3(b+2)2=0,由此可的得出a,b的值.
    此题主要考查了配方法进行因式分解,非负数的性质等,解答此题的关键是熟练掌握配方法及完全平方公式的结构特征,理解非负数的性质:几个非负数的和等于0,那么每一个非负数都等于0.

    24.【答案】解:(1)设1辆小客车能坐x名学生,1辆大客车能坐y名学生,
    根据题意得:3x+y=105x+2y=110,
    解得:x=20y=45,
    则x+y=20+45=65,
    答:1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生.
    (2)①由题意得:20m+45n=400,
    ∴m=20−94n,
    ∵m、n为非负整数,
    ∴m=20n=0或m=11n=4或m=2n=8,
    ∴租车方案有三种:
    方案一:小客车20车,大客车0辆,
    方案二:小客车11辆,大客车4辆,
    方案三:小客车2辆,大客车8辆;
    ②方案一租金:200×20=4000(元),
    方案二租金:200×11+380×4=3720(元),
    方案三租金:200×2+380×8=3440(元),
    ∵4000>3720>3440,
    ∴方案三租金最少,最少租金为3440元. 
    【解析】(1)设1辆小客车能坐x名学生,1辆大客车能坐y名学生,根据用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人;用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人;列出方程组,再解即可;
    (2)①根据题意可得小客车m辆运的人数+大客车n辆运的人数=400,然后求出非负整数解即可;
    ②根据①所得方案和小客车每辆租金200元,大客车每辆租金380元分别计算出租金,再比较即可.
    此题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)找准等量关系,正确列出二元一次方程.

    25.【答案】75° 
    【解析】解:(1)∵∠BPD=∠D=45°,∠APC=60°,
    ∴∠DPC=180°−45°−60°=75°,
    故答案为:75°;
    (2)①如图1,此时,BD//PC成立,
    ∵PC//BD,∠DBP=90°,
    ∴∠CPN=∠DBP=90°,
    ∵∠C=30°,
    ∴∠CPA=60°,
    ∴∠APN=30°,
    ∵转速为10°/秒,
    ∴旋转时间为3秒;
    如图2,PC//BD,
    ∵PC//BD,∠PBD=90°,
    ∴∠CPB=∠DBP=90°,
    ∵∠C=30°,
    ∴∠CPA=60°,
    ∴∠APM=30°,
    ∵三角板PAC绕点P逆时针旋转D的角度为180°+30°=210°,
    ∵转速为10°/秒,
    ∴旋转时间为21秒,
    综上所述,当旋转时间为3或21秒时,PC//DB成立;
    ②设旋转的时间为t秒,由题知,∠APN=3t°,∠BPM=2t°,
    ∴∠BPN=180°−∠BPM=180°−2t°,
    ∴∠CPD=360°−∠BPD−∠BPN−∠APN−∠APC=360°−45°−(180°−2t°)−(3t°)−60°=75°−t°,
    当∠CPD=∠BPM,即2t°=75°−t°,
    解得:t=25,
    ∴当∠CPD=∠BPM,旋转的时间是25秒.
    (1)根据平角的定义即可得到结论;
    (2)①如图1,根据平行线的性质得到∠CPN=∠DBP=90°,求得∠APN=30°,于是得到结论;如图2,根据平行线的性质得到∠CPB=∠DBP=90°,根据三角形的内角和得到∠CPA=60°,求得∠APM=30°,于是得到结论;
    ②设旋转的时间为t秒,由题知,∠APN=3t°,∠BPM=2t°,根据周角的定义得到∠CPD=360°−∠BPD−∠BPN−∠APN−∠APC=360°−45°−(180°−2t°)−(3t°)−60°=75°−t°,列方程即可得到结论.
    本题考查了旋转的性质,平行线的性质,三角形的内角和,识别图形是解题的关键.

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