第8课 用频率估计概率-九年级数学上册同步精品讲义（浙教版）

第8课 用频率估计概率

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学习目标
1.了解随机事件在每次试验中发生与否具有不确定性，但随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐趋于稳定.
2.通过试验，认识大量重复试验所得的频率可作为概率的估计值.
3.会运用大量重复试验所取得的事件发生的频率估计概率.

知识精讲


知识点01 用频率估计概率
在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近.因此，我们可以通过大量重复试验,用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率，
注：1．当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，即事件发生可能性的大小可以用试验的频率来表示，然后用概率的知识来解决问题．
2．频率与概率二者并不完全相同，频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性．
能力拓展
考点01 用频率估计概率
【典例1】某射击运动员在同一条件下的射击，结果如下表：
射击总次数n
10
20
50
100
200
500
1000
击中靶心的次数m
9
16
41
88
168
429
861
击中靶心的频率
0.90
0.8
0.82
0.88
0.84
0.858
0.861
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是（　　）
A．0.90 B．0.82 C．0.84 D．0.861
【思路点拨】利用频率估计概率求解即可．
【解析】解：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是0.861，
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【即学即练1】某种油菜籽在相同条件下的发芽试验的结果如下：
试验的粒数n
20
80
100
200
400
800
1000
1500
发芽的粒数m
14
54
67
132
264
532
670
1000
发芽的频率
0.7
0.675
0.67
0.66
0.66
0.665
a
0.667
（1）填空：上表中a＝　0.67　；
（2）根据上表，请估计，当n很大时，发芽的频率将会接近多少？（结果保留两位小数）
（3）根据上表，这种油菜籽发芽的概率的估计值是多少？（结果保留两位小数）
【思路点拨】（1）用发芽的粒数÷试验的粒数；
（2）根据图表，估计得出频率即可；
（3）根据大量反复试验下频率稳定值即概率解答．
【解析】解：（1）a＝670÷1000＝0.67，
故答案为：0.67；
（2）当n很大时，发芽的频率将会接近0.67；
（3）在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，
根据上表，这种油菜籽发芽的概率的估计值是0.67．
【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．

分层提分


题组A 基础过关练
1．从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币的次数很大时，落下后，正面朝上的频率最有可能接近的数值为（　　）
A．0.83 B．0.52 C．1.50 D．1.03
【思路点拨】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解析】解：当抛掷的次数很大时，正面朝上的频率最有可能接近正面向上的概率，
故选：B．
【点睛】本题考查的是模拟实验和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键．
2．王师傅对某批零件的质量进行了随机抽查，并将抽查结果绘制成如下表格，请你根据表格估计，若从该批零件中任取一个，为合格零件的概率为（　　）
随机抽取的零件个数n
20
50
100
500
1000
合格的零件个数m
18
46
91
450
900
零件的合格率
0.9
0.92
0.91
0.9
0.9
A．0.9 B．0.8 C．0.5 D．0.1
【思路点拨】用“实验频率”的稳定值估计“概率”，从而得到合格零件的概率；
【解析】解：∵随着实验次数的增多，合格零件的频率逐渐靠近常数0.9，
∴从该批零件中任取一个，为合格零件的概率为0.9．
故选：A．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．
3．某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：
移植总数
10
270
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数量
8
235
369
662
1335
3203
6335
8073
12628
成活频率
0.800
0.870
0.923
0.883
0.890
0.915
0.905
0.897
0.902
估计树苗移植成活的概率是（　　）（结果保留小数点后一位）
A．0.81 B．0.8 C．0.9 D．无法计算
【思路点拨】根据表格中的数据和概率的含义，可以估计树苗移植成活的概率．
【解析】解：由表格中的数据可以估计树苗移植成活的概率是0.9，
故选：C．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，写出相应概率．
4．在不透明的袋子中装有黑、白两种球共50个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则袋子中黑球的个数约为（　　）
A．20个 B．30个 C．40个 D．50个
【思路点拨】根据黑球的频率稳定在0.4附近得到黑球的概率约为0.4，根据概率公式列出方程求解可得．
【解析】解：设袋子中有n个黑球，
根据题意得＝0.4，
解得：n＝20，
故选：A．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是了解黑球的频率稳定在0.4附近即为概率约为0.4．
5．某篮球运动员进行定点投篮训练，其成绩如表：
投篮次数
10
100
10000
投中次数
9
89
9012
则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是 　0.9　（精确到0.1）．
【思路点拨】对于不同批次的定点投篮命中率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法．
【解析】解：三次投篮命中的平均数是：≈0.9，
则这名运动员定点投篮一次，投中的概率约是0.9；
故答案为：0.9．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
6．某射手在相同条件下进行射击训练，当射击次数很大时，该射手击中靶心的频率在常数0.9附近摆动，则在这种条件下，该射手射击一次击中靶心的概率的估计值是 　0.9　．
【思路点拨】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解．
【解析】解：当射击次数很大时，该射手击中靶心的频率在常数0.9附近摆动，、
所以在这种条件下，该射手射击一次击中靶心的概率的估计值是0.9，
故答案为：0.9．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
7．综合实践小组的同学们在相同条件下做了测定某种黄豆种子发芽率的实验，结果如表所示：
黄豆种子数（单位：粒）
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
发芽种子数（单位：粒）
762
948
1142
1331
1518
1710
1902
种子发芽的频率（结果保留至小数点后三位）
0.953
0.948
0.952
0.951
0.949
0.950
0.951
那么这种黄豆种子发芽的概率约为　0.95　（精确到0.01）．
【思路点拨】根据7批次种子粒数从800粒增加到2000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95．
【解析】解：由表知随着试验次数的增加种子发芽的频率逐渐稳定再0.95附近，
所以这种黄豆种子发芽的概率约为0.95，
故答案为：0.95．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数s
150
300
600
900
1200
1500
摸到白球的频数n
63
a
247
365
484
606
摸到白球的频率
0.420
0.410
0.412
0.406
0.403
b
（1）按表格数据格式，表中的a＝　123　；b＝　0.404　；
（2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近 　0.4　（精确到0.1）；
（3）请推算：摸到红球的概率是 　0.6　（精确到0.1）；
（4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有 　15　只．
【思路点拨】（1）根据频率＝频数÷样本总数分别求得a、b的值即可；
（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.4左右；
（3）摸到红球的概率为1﹣0.4＝0.6；
（4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可；
【解析】解：（1）a＝300×0.41＝123，b＝606÷1500＝0.404；
（2）当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.40；
（3）摸到红球的概率是1﹣0.4＝0.6；
（4）设红球有x个，根据题意得：＝0.6，
解得：x＝15；
故答案为：123，0.404；0.4；0.6；15．
【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为1．
9．一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
（1）摸到白球的概率估计值为 　0.2　（精确到0.1）；
（2）若袋子中白球有4个，
①求袋中黑色球的个数；
②若将m个相同的白球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当大量重复试验后，摸出白球的概率估计值是 　　．（用含m的式子表示）

【思路点拨】（1）根据图象可以看出，摸到白球的频率在0.2左右附近摆动．根据频率与概率的关系，可知摸到白球的概率约为0.2．
（2）①根据摸到白球的频率与白球的个数可得袋中球的总个数，则根据黑球个数＝袋中球的总个数﹣白球的个数求之即可．
②根据摸出白球的频率＝白球的个数÷球的总个数，然后根据频率与概率的关系，估计出摸出白球的概率．
【解析】解：（1）由题图可以看出，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在0.20左右摆动．
根据频率与概率的关系，可知摸到白球的概率为0.2．
故答案为：0.2．
（2）①∵袋子中白球有4个．
∴袋中球的总个数为4÷0.2＝20．
∴袋中黑色球的个数为20﹣4＝16．
②∵将m个相同的白球放进了这个不透明的袋子里．
∴袋中白球的个数为4+m，袋中球的总个数为20+m．
∴摸到白球的频率为．
根据频率与概率的关系可得，
摸到白球的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，熟练掌握频率与概率的关系是解题的关键．

题组B 能力提升练
10．如图，小红在一张长为6m，宽为5m的长方形纸上画了一个老虎图案，他想知道该图案的面积大小，于是想了这样一个办法，朝长方形的纸上扔小球，并记录小球落在老虎图案上的次数（球扔在界线上或长方形纸外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果整理成统计表，由此他估计此图案的面积大约为（　　）
试验次数m
60
120
180
240
300
360
420
480
小球落在图案内的次数n
22
38
65
83
102
126
151
168
小球落在图案内的频率
0.37
0.32
0.36
0.35
0.34
0.35
0.36
0.35

A．11.1m2 B．10.5m2 C．9.6m2 D．9m2
【思路点拨】根据大量重复试验频率稳定值估计出概率，然后求得答案即可．
【解析】解：观察表格发现随着试验次数的增多，小球落在图案内的频率稳定在0.35，
∴此图案的面积为6×5×0.35＝10.5（m2），
故选：B．
【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是根据频率稳定值确定概率，难度不大．
11．在利用正六面体骰子进行频率估计概率的试验中，小颖同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　）

A．朝上的点数是5的概率 B．朝上的点数是奇数的概率
C．朝上的点数大于2的概率 D．朝上的点数是3的倍数的概率
【思路点拨】随机掷一个均匀正六面体骰子，每一个面朝上的概率为，约为16.67%，根据频率估计概率试验统计的频率，随着试验次数的增加，频率越稳定在35%左右，因此可以判断各选项．
【解析】解：从统计图中可得该事件发生的可能性约在35%左右，
A的概率为1÷6×100%≈16.67%，
B的概率为3÷6×100%＝50%，
C的概率为4÷6×100%≈66.67%，
D的概率为2÷6×100%≈33.33%，
即朝上的点数是3的倍数的概率与之最接近，
故选：D．
【点睛】本题考查随机事件发生的概率，折线统计图的制作方法，求出每个选项的事件发生概率，再依据折线统计图中反映的频率进行判断．
12．“十一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数m
68
108
140
355
560
690
落在“铅笔”区域的频率
0.68
0.72
0.70
0.71
0.70
0.69
下列说法错误的是（　　）

A．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”
B．转动转盘一次，获得“铅笔”的概率大约是0.70
C．再转动转盘100次，指针落在“铅笔”区域的次数不一定是68次
D．如果转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有900次
【思路点拨】根据图表可求得指针落在铅笔区域的概率，另外概率是多次实验的结果，因此不能说转动转盘20次，一定有6次获得文具盒．
【解析】解：A、转动转盘20次，不一定有6次获得“文具盒”，它是随机事件，结果不确定，故A选项不正确，符合题意；
B、大量重复试验中频率稳定在0.7左右，故用频率估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故B选项正确，不符合题意；
C、由B可知再转动转盘100次，指针落在“铅笔”区域的次数不一定是68次，故C选项正确，不符合题意；
D、指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有3000×0.3＝900次，故D选项正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题要理解用面积法求概率的方法．注意概率是多次实验得到的一个相对稳定的值．
13．一名职业篮球球员某次投篮训练结果记录如图所示，由此可估计这名球员投篮800次，投中的次数约为 　600　次．

【思路点拨】根据统计图给出的数据得出这名篮球球员投中的概率，再乘以总次数即可得出答案．
【解析】解：由统计图可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.75附近，
则这名篮球球员投中的概率为0.75，
投中的次数约为：800×0.75＝600（次）．
故答案为：600．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
14．盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据：
摸棋的次数n
100
200
300
500
800
1000
摸到黑棋的次数m
24
51
76
124
201
250
摸到黑棋的频率（精确到0.001）
0.240
0.255
0.253
0.248
0.251
0.250
（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是　0.25　；（精确到0.01）
（2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚棋颜色不同的概率，并说明理由
【思路点拨】（1）大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解；
（2）画树状图列出所有等可能结果，再找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得．
【解析】解：（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是0.25，
故答案为：0.25；

（2）由（1）可知，黑棋的个数为4×0.25＝1，则白棋子的个数为3，
画树状图如下：

由表可知，所有等可能结果共有12种情况，
其中这两枚棋颜色不同的有6种结果，
所以这两枚棋颜色不同的概率为．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．

题组C 培优拔尖练
15．北京2022年冬奥会的吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会的吉祥物为“雪容融”，体现了人与自然和谐共生，深受青少年的喜爱．现有两张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中一张正面印有“冰墩墩”图案，另一张正面印有“雪容融”图案，将两张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，小颖和同学抽取卡片获得的数据如下表：
抽取卡片的次数/次
100
200
300
400
500
抽到冰墩墩的次数/次
53
98
156
201
248
若抽取卡片的次数为1000，则“抽到冰墩墩”的频数最接近（　　）
A．250 B．500 C．700 D．850
【思路点拨】由表格知，随着抽取次数的增加，抽到冰墩墩的频率约为≈0.5，据此用抽取的总次数乘以概率的估计值．
【解析】解：由表格知，随着抽取次数的增加，抽到冰墩墩的概率约为＝0.496≈0.5，
所以当抽取卡片的次数为1000时，“抽到冰墩墩”的频数最接近1000×0.5＝500，
故选：B．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
16．某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（　　）

A．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，抽到的卡片上标有奇数
B．扔一枚面额一元的硬币，正面朝上
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，某人随机出的是“剪刀”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
【思路点拨】根据频率估计概率分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解析】解：A、从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现奇数的概率是＝，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
B、扔一枚面额一元的硬币，正面朝上的概率是，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，某人随机出的是“剪刀”的概率是，符合这一结果，故此选项符合题意；
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率是，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
17．小明在一次用频率估计概率的实验中，从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，把抽到红桃出现的频率绘制的统计图，则满足题意的统计图是（　　）
A． B．
C． D．
【思路点拨】根据题意先求出抽到红桃出现的频率，再结合图形即可得出答案．
【解析】解：从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到红桃的概率是＝0.25，
则满足题意的统计图是A；
故选：A．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是求出抽到红桃的概率．
18．为了加强疫情防控，某校从4月初开始启动闭环管理，要求所有的学生午餐统一在学校食堂就餐．为了加强对食堂的监控，有效保证饮食质量，学校随机抽取部分学生开展满意度问卷调查，学生根据实际情况给食堂评分．将本次调查结果制成如下统计表：
评分/分
4
5
6
7
8
9
10
人数/人
6
18
36
46
a
28
4
比率
3%
9%
18%
23%
31%
b
2%
（1）本次问卷调查，学生所评分数的众数是 　8　分；
（2）根据本次调查结果，若从本校随机抽选一名学生给食堂评分，估计他的评分不低于8分的概率是多少？
（3）学校决定：本次调查综合得分8～10分为“满意”，给予食堂通报表扬；6～8分为“比较满意”，提醒食堂进行改善；0～6分为“不满意”，贵令食堂限时整改．根据本次调查结果，判断学校可能对食堂采取何种措施，说明理由．（这里的0～6表示大于等于0同时小于6）
【思路点拨】（1）根据统计表中4分的人数为6人，占3%求得总人数，进而求得a的值，进而根据众数的定义求得众数即可求解；
（2）根据8分以及8分的人数的占比估计概率即可；
（3）根据统计表求得平均数即可求解．
【解析】解：（1）6÷3%＝200，a＝200﹣6﹣18﹣36﹣46﹣28﹣4＝62，
则8分的人数最多，故众数为8分
故答案为：8．
（2）∵由表格知评分不低于8分的频率是＝0.47，
∴评分不低于8分的概率估计是0.47．
（3）＝＝7.2分，
∵6≤7.2≤8，
∴学校将对食堂采取提醒改善的措施．
【点睛】本题考查了求众数，平均数，频率估计概率，掌握以上知识是解题的关键．
19．某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中．
柑橘总质量n/kg
…
300
350
400
450
500
损坏柑橘质量m/kg
…
30.93
35.32
40.36
45.02
51.05
柑橘损坏的频率（精确到0.001）
…
0.103
0.101
0.101
0.100
0.102
（1）柑橘损坏的概率约为 　0.1　（精确到0.1）；
（2）当抽取柑橘的总质量n＝2000kg时，损坏柑橘质量m最有可能是 　B　．
A.99.32kgB.203.45kgC.486.76kgD.894.82kg
（3）若水果公司新进柑橘的总质量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
【思路点拨】（1）根据随着总质量的增加，频率的稳定值可得答案；
（2）总质量乘以柑橘损坏的概率即可得出答案；
（3）设每千克定价为x元，根据“销售额﹣总成本＝利润”列方程求解即可．
【解析】解：（1）柑橘损坏的概率约为0.1，
故答案为：0.1；
（2）当抽取柑橘的总质量n＝2000kg时，损坏柑橘质量m约为2000×0.1＝200（kg），
故选：B．
（3）设每千克定价为x元，
则10000×（1﹣0.1）x﹣10000×1.8＝5400，
解得x＝2.6，
答：在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为2.6元比较合适．
【点睛】考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键．