高考数学复习全程规划(新高考地区专用)重难点08解三角形(5种题型)专项练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学复习全程规划(新高考地区专用)重难点08解三角形(5种题型)专项练习(原卷版+解析)，共74页。试卷主要包含了 真题多维细目表，命题规律与备考策略，考点清单，题型方法等内容，欢迎下载使用。
二、命题规律与备考策略
本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，解三角形的题目多以解答题的形式出现，分值为10分。
三、 2023真题抢先刷，考向提前知
1．（2023•新高考Ⅰ）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．
（1）求sinA；
（2）设AB＝5，求AB边上的高．
2．（2023•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1．
（1）若∠ADC＝，求tanB；
（2）若b2+c2＝8，求b，c．
3．（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．
（1）若C＝，求B；
（2）求的最小值．
4．（2022•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3＝，sinB＝．
（1）求△ABC的面积；
（2）若sinAsinC＝，求b．
四、考点清单
解三角形
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
五、题型方法
一．正弦定理（共6小题）
1．（2023•宝鸡模拟）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
（1）证明：2a＝b+c；
（2）若csA＝，a＝2，求△ABC的面积．
2．（2023•和平区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A的大小；
（2）若．
（ⅰ）求△ABC的面积；
（ⅱ）求cs（2C﹣A）．
3．（2023•东风区校级模拟）已知a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边，sinB﹣sinC＝sinC﹣csB，且b＞c．
（1）求A；
（2）若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
4．（2023•益阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知asinA+csinC＝（asinC+b）sinB．
（1）求B；
（2）若AC边上的中线BD的长为2，求△ABC面积的最大值．
5．（2023•靖远县模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C；
（2）若△ABC为锐角三角形，D为AB边的中点，求线段CD长的取值范围．
6．（2023•潮阳区三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．C＝，AB边上的高为．
（1）若S△ABC＝2，求△ABC的周长；
（2）求的最大值．
二．余弦定理（共5小题）
7．（2023•蒙城县校级三模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且cs2C﹣cs2A＝sinAsinB﹣sin2B．
（1）求∠C的大小；
（2）已知a+b＝4，求△ABC的面积的最大值．
8．（2023•琼山区校级一模）已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．a＝2，b＝2，且csA（ccsB+bcsC）+asinA＝0．
（1）求A；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
9．（2023•广西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）证明：A＝B．
（2）若D为BC的中点，从①AD＝4，②，③CD＝2这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
10．（2023•泸县校级模拟）已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（b﹣a）（sinB+sinA）＝（b﹣c）sinC．
（1）求A；
（2）从下列条件中：①a＝；②S△ABC＝中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．
11．（2023•大理州模拟）在①2a﹣b＝2ccsB，②S＝（a2+b2﹣c2），③sin（A+B）＝1+2sin2三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设△ABC的面积为S，已知______．
（1）求角C的值；
（2）若b＝4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，△CDB的面积为，求边长a的值．
三．三角形中的几何计算（共11小题）
12．（2023•叙州区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求∠B的值；
（Ⅱ）给出以下三个条件：
条件①：a2﹣b2+c2+3c＝0；
条件②：a＝，b＝1；
条件③：S△ABC＝．
这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：
（ⅰ）求sinA的值；
（ⅱ）求∠ABC的角平分线BD的长．
13．（2023•江宁区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角B的大小；
（2）若，设△ABC的面积为S，满足，求b的值．
14．（2023•鲤城区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（2A+B）＝2sinA（1﹣csC）．
（1）证明：b＝2a；
（2）点D是线段AB上靠近点B的三等分点，且CD＝AD＝1，求△ABC的周长．
15．（2023•湖南模拟）如图，在平面四边形ABCD中，BC＝，BE⊥AC于点E，BE＝，且△ACD的面积为△ABC面积的2倍．
（1）求AD•sin∠DAC的值；
（2）当CD＝3时，求线段DE的长．
16．（2023•青羊区校级模拟）如图，△ABC是边长为2的正三角形，P在平面上且满足CP＝CA，记∠CAP＝θ．
（1）若，求PB的长；
（2）用θ表示S△PAB，并求S△PAB的取值范围．
17．（2023•鼓楼区校级模拟）△ABC的角A，B，C的对边分别为的面积为．
（1）若，求△ABC的周长；
（2）设D为AC中点，求A到BD距离的最大值．
18．（2023•三明三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝2，a2＝c2+2c+4，CD平分∠ACB交AB于点D，
CD＝．
（1）求∠ADC；
（2）求△BCD的面积．
19．（2023•鼓楼区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角C；
（2）若△ABC的中线CD长为，求△ABC面积的最大值．
20．（2023•雁塔区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C的大小；
（2）若C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，求a+2b的最小值．
21．（2023•华龙区校级模拟）已知．
（1）若，求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）＝2，且△ABC的面积为，当a＝6时，求△ABC的周长．
22．（2023•武汉模拟）在△ABC中，AB＝2，D为AB中点，．
（1）若BC＝，求AC的长；
（2）若∠BAC＝2∠BCD，求AC的长．
四．解三角形（共22小题）
23．（2023•沙坪坝区校级模拟）在△ABC中，A，B，C的对边为a，b，c，若已知a（a﹣4sinA）＝b（c﹣4sinC）；
（1）证明：a2≥16sinB（c﹣4sinC）；
（2）证明：当△ABC的面积为时，求a+b+c的值．
24．（2023•福州模拟）已知函数，将f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的单调递减区间；
（2）记锐角三角形ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求a﹣b的取值范围．
25．（2023•安庆二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）若角，求角A的大小；
（2）若a＝4，，求b．
26．（2023•爱民区校级三模）在△ABC中，．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求a的值．
条件①：；条件②：；条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
27．（2023•桐城市校级一模）在△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a＝4，＝．
（1）若，求sinA；
（2）若AB边上的中线长为，求AB的长．
28．（2023•辽宁模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）若，且b＝3，求△ABC的面积S．
29．（2023•云南模拟）已知函数在上单调，且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若钝角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＝2，，求△ABC周长的最大值．
30．（2023•阳泉三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2＝a2﹣bc．
（1）求A；
（2）若bsinA＝4sinB，且lgb+lgc≥1﹣2cs（B+C），求△ABC面积的取值范围．
31．（2023•全国模拟）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinB+bcs（+）＝0．
（1）求A；
（2）若a＝，求△ABC面积的最大值．
32．（2023•武侯区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求角C的大小；
（2）已知b＝4，△ABC的面积为6，求sinB的值．
33．（2023•定远县校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．
（1）求角C；
（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
34．（2023•平顶山模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，6csBcsC﹣1＝3cs（B﹣C）．
（1）若，求csC；
（2）若c＝3，点D在BC边上，且AD平分，求△ABC的面积．
35．（2023•厦门模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求a的值；
（2）点D在线段BC上，∠BAC＝120°，∠BAD＝45°，CD＝1，求△ABC的面积．
36．（2023•泉州模拟）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c2＝（a2+c2﹣b2）（tanA+tanB）．
（1）求角A的大小；
（2）若边，边BC的中点为D，求中线AD长的取值范围．
37．（2023•包河区校级模拟）在①4asinC＝3ccsA，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____，．
（Ⅰ）求sinA；
（Ⅱ）如图，D为边AC上一点，DC＝DB，AB⊥BD，求△ABC的面积．
38．（2023•旌阳区校级模拟）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝（2b﹣c）sinB+c（2sinC﹣sinB）．
（1）求A；
（2）点D在边BC上，且BD＝3DC，AD＝4，求△ABC面积的最大值．
39．（2023•惠安县模拟）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，acsB﹣2acsC＝（2c﹣b）csA．
（1）若c＝a，求csB的值；
（2）若b＝1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围．
40．（2023•南关区校级模拟）已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求A；
（2）若，且△ABC的面积为，求△ABC周长．
41．（2023•开福区校级模拟）已知向量＝（sinx，1+cs2x），＝（csx，），．
（1）求函数y＝f（x）的最大值及相应x的值；
（2）在△ABC中，角A为锐角且，，BC＝2，求△ABC的面积．
42．（2023•江西模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A+sinAsinB＝cs2B﹣cs2C．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA＝2sinB，，求△ABC的面积．
43．（2023•镇江三模）在凸四边形ABCD中，．
（1）若．求CD的长；
（2）若四边形ABCD有外接圆，求AD+CD的最大值．
44．（2023•成都模拟）在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足asinA+4bsinCcs2A＝bsinB+csinC．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，且BC上的中线AD长为，求斜三角形ABC的面积．
五．三角形的形状判断（共4小题）
45．（2023•安徽二模）在△ABC中，sin2A+3sin2C＝3sin2B．
（1）若sinBcsC＝，判断△ABC的形状；
（2）求tan（B﹣C）的最大值．
46．（2023•洪山区校级模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且sin（A﹣B）csC＝csBsin（A﹣C）．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若△ABC为锐角三角形，且，求的最大值．
47．（2023•湖北模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，．
（1）求角A；
（2）若D为BC边上一点，且满足AD＝CD＝2BD，试判断△ABC的形状．
48．（2023•福建模拟）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）当，λ＝2时，求c的值；
（2）判断△ABC的形状．
重难点08解三角形（5种题型）
一、 真题多维细目表
二、命题规律与备考策略
本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，解三角形的题目多以解答题的形式出现，分值为10分。
三、 2023真题抢先刷，考向提前知
1．（2023•新高考Ⅰ）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．
（1）求sinA；
（2）设AB＝5，求AB边上的高．
【分析】（1）由三角形内角和可得C＝，由2sin（A﹣C）＝sinB，可得2sin（A﹣C）＝sin（A+C），再利用两角和与差的三角函数公式化简可得sinA＝3csA，再结合平方关系即可求出sinA；
（2）由sinB＝sin（A+C）求出sinB，再利用正弦定理求出AC，BC，由等面积法即可求出AB边上的高．
【解答】解：（1）∵A+B＝3C，A+B+C＝π，
∴4C＝π，
∴C＝，
∵2sin（A﹣C）＝sinB，
∴2sin（A﹣C）＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C），
∴2sinAcsC﹣2csAsinC＝sinAcsC+csAsinC，
∴sinAcsC＝3csAsinC，
∴，
∴sinA＝3csA，即csA＝sinA，
又∵sin2A+cs2A＝1，∴，
解得sin2A＝，
又∵A∈（0，π），∴sinA＞0，
∴sinA＝；
（2）由（1）可知sinA＝，csA＝sinA＝，
∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcsC+csAsinC＝×＝，
∴＝＝5，
∴AC＝5sinB＝5＝2，BC＝5＝5＝3，
设AB边上的高为h，
则＝，
∴＝，
解得h＝6，
即AB边上的高为6．
【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
2．（2023•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1．
（1）若∠ADC＝，求tanB；
（2）若b2+c2＝8，求b，c．
【分析】（1）根据已知条件，推得，过A作AE⊥BC，垂足为E，依次求出AE，BE，即可求解；
（2）根据已知条件，求得，两边同时平方，再结合三角形的面积公式，即可求解．
【解答】解：（1））D为BC中点，，
则，
过A作AE⊥BC，垂足为E，如图所示：
△ADE中，，，，解得CD＝2，
∴BD＝2，，
故＝＝；
（2），
，
AD＝1，b2+c2＝8，
则，
∴bccsA＝﹣2①，
，即②，
由①②解得 ，
∴，
∴bc＝4，又b2+c2＝8，
∴b＝c＝2．
【点评】本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．
3．（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．
（1）若C＝，求B；
（2）求的最小值．
【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B．
（2）利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论．
【解答】解：（1）∵＝，1+cs2B＝2cs2B≠0，csB≠0．
∴＝＝，
化为：csAcsB＝sinAsinB+sinB，
∴cs（B+A）＝sinB，
∴﹣csC＝sinB，C＝，
∴sinB＝，
∵0＜B＜，∴B＝．
（2）由（1）可得：﹣csC＝sinB＞0，∴csC＜0，C∈（，π），
∴C为钝角，B，A都为锐角，B＝C﹣．
sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cs2C，
＝＝＝＝＝+4sin2C﹣5≥2﹣5＝4﹣5，当且仅当sinC＝时取等号．
∴的最小值为4﹣5．
【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．（2022•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3＝，sinB＝．
（1）求△ABC的面积；
（2）若sinAsinC＝，求b．
【分析】（1）根据S1﹣S2+S3＝，求得a2﹣b2+c2＝2，由余弦定理求得ac的值，根据S＝acsinB，求△ABC面积．
（2）由正弦定理得∴a＝，c＝，且ac＝，求解即可．
【解答】解：（1）S1＝a2sin60°＝a2，
S2＝b2sin60°＝b2，
S3＝c2sin60°＝c2，
∵S1﹣S2+S3＝a2﹣b2+c2＝，
解得：a2﹣b2+c2＝2，
∵sinB＝，a2﹣b2+c2＝2＞0，即csB＞0，
∴csB＝，
∴csB＝＝，
解得：ac＝，
S△ABC＝acsinB＝．
∴△ABC的面积为．
（2）由正弦定理得：＝＝，
∴a＝，c＝，
由（1）得ac＝，
∴ac＝•＝
已知，sinB＝，sinAsinC＝，
解得：b＝．
【点评】本题考查利用正余弦定理解三角形，需灵活运用正余弦定理公式．
四、考点清单
解三角形
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
五、题型方法
一．正弦定理（共6小题）
1．（2023•宝鸡模拟）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
（1）证明：2a＝b+c；
（2）若csA＝，a＝2，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用余弦定理化简已知即可证明；
（2）由题意，利用余弦定理可求得bc的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sinA的值，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）证明：因为，可得2a﹣acsB＝b+bcsA，
所以由余弦定理可得2a＝b+b•+a•，
整理可得2a＝b+c，得证；
（2）因为csA＝，a＝2，2a＝b+c，
所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsA，可得24＝b2+c2﹣2×bc×＝（b+c）2﹣2bc﹣2×bc×＝96﹣2bc﹣2×bc×，
解得bc＝20，
又sinA＝＝，
所以△ABC的面积S＝bcsinA＝＝6．
【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
2．（2023•和平区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A的大小；
（2）若．
（ⅰ）求△ABC的面积；
（ⅱ）求cs（2C﹣A）．
【分析】（1）由正弦定理进行化简可求tanA，进而可求A；
（2）（i）利用余弦定理先求c，然后利用三角形的面积公式求解；
（ii）利用正弦定理求出sinC，再利用二倍角公式求出sin2C，cs2C，求解即可．
【解答】解：（1）∵（bcsC+ccsB）tanA＝﹣a，
由正弦定理得（sinBcsC+sinCcsB）tanA＝﹣sinA．
∴sin（B+C）tanA＝﹣sinA，
∴sinA•tanA＝﹣sinA，∵sinA＞0，
∴tanA＝﹣，∵A∈（0，π），
∴A＝；
（2）（ⅰ）若，A＝，
由余弦定理得7＝c2+1﹣2c×1×（﹣），
即c2+c﹣6＝0，∵c＞0，∴c＝2，
∴△ABC的面积为bcsinA＝×1×2×＝；
（ⅱ）由正弦定理＝，得sinC＝，
∵a＞c，∴csC＝，
∴cs2C＝2cs2C﹣1＝，
sin2C＝2sinCcsC＝，
∴cs（2C﹣A）＝cs2CcsA+sin2CsinA＝×（﹣）+×＝．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，两角差的余弦公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
3．（2023•东风区校级模拟）已知a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边，sinB﹣sinC＝sinC﹣csB，且b＞c．
（1）求A；
（2）若a＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简已知等式可得sin（B+）＝sinC，由题意可求得B＞C，进而根据B++C＝π，可得A的值．
（2）由已知利用三角形的面积公式可求bc＝2，进而根据余弦定理可求b+c的值，即可求解△ABC的周长的值．
【解答】解：（1）因为sinB﹣sinC＝sinC﹣csB，
所以sinB+csB＝2sinC，即sin（B+）＝sinC，
因为b＞c，可得B＞C，
所以B++C＝π，可得B+C＝，A＝．
（2）因为a＝，△ABC的面积为＝bcsinA，
又sinA＝，
所以bc＝2，
由余弦定理可得csA＝＝＝，
所以＝，可得b+c＝3，
所以△ABC的周长的值为3+．
【点评】本题主要考查了两角和的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
4．（2023•益阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知asinA+csinC＝（asinC+b）sinB．
（1）求B；
（2）若AC边上的中线BD的长为2，求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求tanB，进而可求B；
（2）延长BD到E，使得BE＝BD，则，则，然后结合向量数量积的性质及基本不等式可求ac的范围，然后结合三角形的面积公式可求．
【解答】解：（1）因为asinA+csinC＝（asinC+b）sinB，
由正弦定理得，a2+c2＝acsinB+b2，
∴＝2accsB，
故，即tanB＝，
因为B为三角形内角，所以B＝，；
（2）如图延长BD到E，使得BD＝DE，则，则，
∴＝＝4，
即4＝（a2+c2+2accs60°），
∴a2+c2＝16﹣ac≥2ac，当且仅当a＝c时取等号，
解得，ac，
△ABC面积S＝＝≤＝．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式及向量数量积的性质的综合应用，属于中档题．
5．（2023•靖远县模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C；
（2）若△ABC为锐角三角形，D为AB边的中点，求线段CD长的取值范围．
【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简可得tanC＝1，即可求解；
（2）由向量的线性运算可得，等式两边同时平方可得，由正弦定理可得，结合角B的范围可得b∈（2，4），即可求解．
【解答】解：（1），由正弦定理，得，
即sinCsinA+sinCcsA＝sinB，
因为A+B+C＝π，所以sinB＝sin（A+C）＝sinAcsC+csAsinC，
由sinA≠0，得sinC＝csC，即tanC＝1，
因为0＜C＜π，所以；
（2）因为D为AB边的中点，所以，
所以＝，
在△ABC中，由正弦定理，得，
因为△ABC为锐角三角形，且，所以，
则tanB∈（1，+∞），故b∈（2，4），
所以，即线段CD长的取值范围为．
【点评】本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，还考查了向量数量积的性质及正切函数的性质，属于中档题．
6．（2023•潮阳区三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．C＝，AB边上的高为．
（1）若S△ABC＝2，求△ABC的周长；
（2）求的最大值．
【分析】（1）由S＝ab•sinC＝c•＝2，可得c和ab的值，再由余弦定理，求得a+b的值，即可得解；
（2）结合（1）中结论、正弦定理、两角差的正弦公式与辅助角公式，可推出＝，再由正弦函数的图象与性质，求出的最大值．
【解答】解：（1）∵S△ABC＝ab•sinC＝c•＝2，∴c＝4，
∵C＝，∴ab＝8，
由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab•csC＝（a+b）2﹣3ab，
∴16＝（a+b）2﹣3×8，∴a+b＝2，
∴△ABC的周长为a+b+c＝2+4．
（2）由正弦定理知，＝＝，
＝＝＝
＝＝
＝（其中θ为锐角，且tanθ＝）
∵0＜A＜，∴当A+θ＝时，取得最大值．
【点评】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练掌握正余弦定理、三角形面积公式、两角差的正弦公式与辅助角公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二．余弦定理（共5小题）
7．（2023•蒙城县校级三模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且cs2C﹣cs2A＝sinAsinB﹣sin2B．
（1）求∠C的大小；
（2）已知a+b＝4，求△ABC的面积的最大值．
【分析】（1）先把cs2C﹣cs2A＝sinA•sinB﹣sin2B化为a2+b2﹣c2＝ab，用余弦定理即可求解．
（2）先用基本不等式求出ab的最大值，再代入三角形的面积公式即可．
【解答】解：（1）∵cs2C﹣cs2A＝sinA•sinB﹣sin2B，
∴1﹣sin2C﹣（1﹣sin2A）＝sinA•sinB﹣sin2B，
∴sin2A﹣sin2C＝sinA•sinB﹣sin2B，
∴a2+b2﹣c2＝ab，
∴csC＝＝＝，
∵C∈（0，π），∴∠C＝．
（2）∵a+b≥2，∴4≥2，∴ab≤4，
当且仅当a＝b＝2时取等号，∴（ab）max＝4，
∴△ABC面积的最大值为 ×4×sin＝．
【点评】此题考查了余弦定理，以及利用基本不等式求三角形面积的最大值，熟练掌握余弦定理，基本不等式是解本题的关键．
8．（2023•琼山区校级一模）已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．a＝2，b＝2，且csA（ccsB+bcsC）+asinA＝0．
（1）求A；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
【分析】（1）由正弦定理可将等式化简，再由三角形中的角的范围求出A的值；
（2）由（1）可得求出c边，进而由余弦定理可得csC的值，再由三角形AD⊥AC可求出D为CB的中点，可得三角形ABD的面积为三角形ABC的一半，求出三角形ABD的面积．
【解答】解：（1）因为csA（ccsB+bcsC）+asinA＝0，
由正弦定理可得：csA（sinCcsB+sinBcsC）+sinAsinA＝0，
可得：csAsin（B+C）+sin2A＝0，
在△ABC中，sin（B+C）＝sinA≠0，
所以可得csA+sinA＝0，
即tanA＝﹣，而A为三角形的内角，
所以可得A＝π；
（2）在△ABC中由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccsA，
因为a＝2，b＝2，
所以28＝4+c2﹣2×2c•（﹣），解得：c＝4或c＝﹣6（舍），
所以c＝4，
再由余弦定理可得a2+b2﹣c2＝2bacsC，可得csC＝，
在Rt△ABD中，CD＝＝＝，
所以可得CD＝，
S△ABD＝S△ABC＝•AB•ACsin∠BAC＝＝•4•2•＝；
所以△ABD的面积为．
【点评】本题考查了三角形正余弦定理，面积公式的知识点，属于中档题．
9．（2023•广西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）证明：A＝B．
（2）若D为BC的中点，从①AD＝4，②，③CD＝2这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【分析】（1）由余弦定理和正弦定理化简已知等式，可证A＝B；
（2）三种情况，在△ACD中，利用余弦定理证明即可．
【解答】（1）证明：因为，
由余弦定理可得，
即，又由正弦定理，得csA＝csB，
角A，B为△ABC中内角，所以A＝B．
（2）△ABC中，A＝B，D为BC的中点，如图所示，
①②⇒③，
已知AD＝4，，求证CD＝2．
证明：AC＝2CD，△ACD中，，
解得CD＝2．
①③⇒②，
已知AD＝4，CD＝2，求证．
证明：AC＝2CD＝4，所以△ACD中，．
②③⇒①，
已知，CD＝2，求证：AD＝4．
证明：AC＝2CD＝4，
在△ACD中，由余弦定理，，
所以AD＝4．
【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
10．（2023•泸县校级模拟）已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（b﹣a）（sinB+sinA）＝（b﹣c）sinC．
（1）求A；
（2）从下列条件中：①a＝；②S△ABC＝中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得csA的值，结合A的范围可求A的值．
（2）选择①．由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求△ABC周长l＝2sin（B+）+，可求B+的范围，根据正弦函数的性质可求△ABC周长的取值范围；选择②利用三角形的面积公式可得bc＝4，由余弦定理得a2＝（b+c）2﹣12，根据基本不等式可求，即可得解△ABC周长的取值范围．
【解答】解：（1）因为（b﹣a）（sinB+sinA）＝（b﹣c）sinC，
由正弦定理得（b﹣a）（b+a）＝（b﹣c）c，即b2+c2﹣a2＝bc﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
由余弦定理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）选择①．由正弦定理，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
即△ABC周长＝＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
即△ABC周长的取值范围﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
选择②．，得，得bc＝4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣12，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
即△ABC周长，
∵，当且仅当b＝c＝2时等号成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
∴
即△ABC周长的取值范围[6，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
11．（2023•大理州模拟）在①2a﹣b＝2ccsB，②S＝（a2+b2﹣c2），③sin（A+B）＝1+2sin2三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设△ABC的面积为S，已知______．
（1）求角C的值；
（2）若b＝4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，△CDB的面积为，求边长a的值．
【分析】（1）选①由余弦定理化简已知等式可得csC＝，结合范围C∈（0，π），可求C的值．
选②利用三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可得tanC＝，结合范围C∈（0，π），可求C的值．
选③利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（C+）＝1，结合范围C+∈（，），即可求解C的值．
（2）由题意S△ABC＝S△ACD+S△BCD，利用三角形的面积公式可得a×CD+CD＝，a×CD＝，联立即可解得a的值．
【解答】解：（1）选①2a﹣b＝2ccsB，
则由余弦定理可得：2a﹣b＝2c•，整理可得a2+b2﹣c2＝ab，
可得csC＝＝，
因为C∈（0，π），
所以C＝．
选②S＝（a2+b2﹣c2），
可得absinC＝，即sinC＝＝csC，
所以tanC＝，
因为C∈（0，π），
可得C＝．
选③sin（A+B）＝1+2sin2，
可得：sinC＝2﹣csC，可得2sin（C+）＝2，
可得：sin（C+）＝1，
因为C∈（0，π），C+∈（，），
所以C+＝，可得C＝．
（2）在△ABC中，S△ABC＝S△ACD+S△BCD，
可得BC•CD•sin∠BCD+CA•CD•sin∠ACD＝CA•CB•sin∠ACB，可得a×CD+CD＝，①
又S△CDB＝a×CD＝，②
由①②可得：＝，解得a＝2，或a＝﹣（舍去），
所以边长a的值为2．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
三．三角形中的几何计算（共11小题）
12．（2023•叙州区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求∠B的值；
（Ⅱ）给出以下三个条件：
条件①：a2﹣b2+c2+3c＝0；
条件②：a＝，b＝1；
条件③：S△ABC＝．
这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：
（ⅰ）求sinA的值；
（ⅱ）求∠ABC的角平分线BD的长．
【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式，容易求出sin（）＝0，则易知B＝；
（Ⅱ）结合B＝，此时b应该最大，而条件②中b＝1，与已知矛盾，故条件①③正确，再结合面积公式、余弦定理以及三角形内角平分线的性质求解．
【解答】解：（Ⅰ）由得：
＝＝0，
结合B∈（0，π），得，故B＝；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）得，即a2+c2﹣b2+ac＝0……（*），
因为，故b是最大边，故条件②不成立，即条件①③正确，
对于条件①：a2﹣b2+c2+3c＝0，与（*）式结合得a＝3，
对于条件③：，故ac＝15，所以c＝5，
所以，故b＝7，
所以，即，解得sinA＝，csA＝，
显然＝＝＝＝，
结合AC＝7，故，
在△ABD中，BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•csA＝×＝，
故BD＝．
【点评】本题考查了正余弦定理、面积公式和三角形内角平分线的性质，同时考查了学生的运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
13．（2023•江宁区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角B的大小；
（2）若，设△ABC的面积为S，满足，求b的值．
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式、诱导公式化简变形，即可得出答案；
（2）利用三角形面积公式得ac，结合正弦定理即可得出答案．
【解答】解：（1）∵，
∴，
在△ABC中，由正弦定理得，
∵sinC＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B），
∴，
∴，
∵A∈（0，π），∴sinA≠0，
∴，
又B∈（0，π），则；
（2）由（1）得，则，解得ac＝12，
又由正弦定理得，
∴，解得．
【点评】本题考查正弦定理和面积公式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
14．（2023•鲤城区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（2A+B）＝2sinA（1﹣csC）．
（1）证明：b＝2a；
（2）点D是线段AB上靠近点B的三等分点，且CD＝AD＝1，求△ABC的周长．
【分析】（1）由题意得A+B＝π﹣C，利用两角和差的三角函数公式变形得sinAcsC+csAsinC＝sinB＝2sinA，利用正弦定理，即可证明结论；
（2）作图，由题意得BD＝，b＝2a，利用余弦定理可得cs∠CDB＝﹣a2，cs∠ADC＝1﹣2a2，结合cs∠CDB+cs∠ADC＝0，求解即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：在△ABC中，A+B＝π﹣C，sin（2A+B）＝2sinA（1﹣csC），
则sin（π+A﹣C）＝2sinA﹣2sinAcsC，即﹣sin（A﹣C）＝2sinA﹣2sinAcsC，
∴﹣（sinAcsC﹣csAsinC）＝2sinA﹣2sinAcsC，即sinAcsC+csAsinC＝sinB＝2sinA，
∴由正弦定理得b＝2a；
（2）作图：
点D是线段AB上靠近点B的三等分点，且CD＝AD＝1，则BD＝，
由（1）得b＝2a，
在△CBD中，由余弦定理得cs∠CDB＝＝＝﹣a2，
在△ADC中，由余弦定理得cs∠ADC＝＝＝1﹣2a2，
∵∠CDB+∠ADC＝π，
∴cs∠CDB+cs∠ADC＝0，
即﹣a2+1﹣2a2＝0，解得a＝，
∴b＝2a＝，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝++＝+．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15．（2023•湖南模拟）如图，在平面四边形ABCD中，BC＝，BE⊥AC于点E，BE＝，且△ACD的面积为△ABC面积的2倍．
（1）求AD•sin∠DAC的值；
（2）当CD＝3时，求线段DE的长．
【分析】（1）由题意得S△ACD＝AC•AD•sin∠DAC，S△ABC＝AC•BE，S△ACD＝2S△ABC，即可得出答案；
（2）由题意得CE＝1，利用正弦定理得sin∠ACD＝，分类讨论cs∠ACD＝，cs∠ACD＝﹣，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵△ACD的面积为△ABC面积的2倍，BE⊥AC，
∴S△ACD＝AC•AD•sin∠DAC，S△ABC＝AC•BE，S△ACD＝2S△ABC，
∴AC•AD•sin∠DAC＝2×AC•BE，
又BE＝，则AD•sin∠DAC＝2BE＝2；
（2）在Rt△BCE中，则CE2＝BC2﹣BE2＝1，即CE＝1，
在△ACD中，由正弦定理得＝，即CD•sin∠ACD＝AD•sin∠DAC＝2，
∴sin∠ACD＝，
∴cs∠ACD＝±＝±，
当cs∠ACD＝时，
在△CDE中，由余弦定理得DE2＝CE2+CD2﹣2CE•CDcs∠ACD＝12+32﹣2×1×3×＝8，即DE＝2，
当cs∠ACD＝﹣时，
在△CDE中，由余弦定理得DE2＝CE2+CD2﹣2CE•CDcs∠ACD＝12+32﹣2×1×3×（﹣）＝12，即DE＝2．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16．（2023•青羊区校级模拟）如图，△ABC是边长为2的正三角形，P在平面上且满足CP＝CA，记∠CAP＝θ．
（1）若，求PB的长；
（2）用θ表示S△PAB，并求S△PAB的取值范围．
【分析】（1）由题意得∠PAB＝，CP＝CA＝AP＝2，利用余弦定理，即可得出答案；
（2）由题意得∠PCA＝π﹣2θ，∠APC＝θ，利用正弦定理得PA＝4csθ，表示出S△PAB＝PA•ABsin（+θ），结合三角函数的性质，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠CAP＝，△ABC是边长为2的正三角形，
∴∠PAB＝，CP＝CA＝AP＝2，
∴在△APB中，由余弦定理得PB2＝AP2+AB2﹣2AP•ABcs∠PAB＝4+4﹣8×（﹣）＝12，即PB＝2；
（2）∵CP＝CA，∠CAP＝∠CPA＝θ，
∴∠PCA＝π﹣2θ，∠APC＝θ，
在△APC中，由正弦定理得，解得PA＝4csθ，
∴S△PAB＝PA•ABsin（+θ）＝•4csθ•2sin（+θ）＝4csθsin（+θ）＝sin2θ+cs2θ+＝2sin（2θ+）+，
∵，∴0＜θ＜，
∴＜2θ+＜，即sin（2θ+）∈（﹣，1]，
∴2sin（2θ+）+∈（0，2+]，
故S△PAB的取值范围为（0，2+]．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17．（2023•鼓楼区校级模拟）△ABC的角A，B，C的对边分别为的面积为．
（1）若，求△ABC的周长；
（2）设D为AC中点，求A到BD距离的最大值．
【分析】（1）由题中条件可求得tanA，再由同角三角函数得基本关系可求得csA，，从而求出bc，再由余弦定理可求得b+c，从而求出周长；
（2）由余弦定理和基本不等式求出BD的最小值，再由三角形的面积可求得．
【解答】解：（1）∵，∴bccsA＝﹣1，①
∵△ABC的面积为，∴，②
由①②得：tanA＝，
∵，∵A∈（0，π），∴，
由①及csA＝，∴bc＝3，
在△ABC中，由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bccsA＝＝＝（b+c）2﹣4，
即（b+c）2＝12，∴，∴，
∴△ABC的周长为；
（2）记d＝|AD|，e＝|BD|，
由（1）知：bc＝3，csA＝，
∴，
在△ABD中，由余弦定理有：csA＝＝，
∴＝＝，
∴e≥2，当且仅当c＝d＝时等号成立，
∵，
当底边e最小时，高h最大，
∴＝，
∴A到BD距离的最大值为．
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系求值、用正余弦定理和面积公式解三角形、用基本不等式求最值等，属于中档题．
18．（2023•三明三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝2，a2＝c2+2c+4，CD平分∠ACB交AB于点D，
CD＝．
（1）求∠ADC；
（2）求△BCD的面积．
【分析】（1）由条件和余弦定理求A，再在△ADC中由正弦定理求∠ADC；
（2）由（1）及条件求出∠ABC，∠BCD，再在△ABC中由余弦定理求a，最后由面积公式即可求得．
【解答】解：（1）∵b＝2，a2＝c2+2c+4，∴a2＝c2+bc+b2，∴b2+c2﹣a2＝﹣bc，
∴由余弦定理有：＝，
∵A∈（0，π），∴，
在△ADC中，由正弦定理，
∴＝＝，
∵∠ADC∈（0，）∴．
（2）由（1）知，，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠BCD＝，∴，
∴，∴c＝b＝2，
在△ABC中由余弦定理有a2＝b2+c2﹣2bccs∠BAC＝＝12，
∴，∵，
∴＝＝．
【点评】本题考查用正、余弦定理和面积公式解三角形，属于中档题．
19．（2023•鼓楼区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角C；
（2）若△ABC的中线CD长为，求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换知识化简即可；（2）由CD为中线可转化为向量法求解，得到48＝a2+b2+ab，再由基本不等式可得ab≤16，最后由三角形的面积即可求得．
【解答】（1）在△ABC中，由正弦定理得：，
，
化简得，
∵A∈（0，π），∴sinA≠0，
∴，
即，
∴，
∴，∴，
又∵C∈（0，π），∴，
∴，即；
（2）由CD是△ABC的中线，∴，
∴，即，
∴48＝a2+b2+ab≥2ab+ab＝3ab，∴ab≤16，当且仅当a＝b时，等号成立，
∴三角形面积，
∴△ABC的面积的最大值为．
【点评】本题考查正余弦定理、面积公式、三角恒等变换、向量、基本不等式在解三角形中的应用，属于中档题．
20．（2023•雁塔区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C的大小；
（2）若C的角平分线交AB于点D，且CD＝2，求a+2b的最小值．
【分析】（1）由三角恒等变换知识化简条件式即可；
（2）由CD为角平分线得到S△ABC＝S△ACD+S△BCD，从而得到，再由基本不等式求最值即可．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∵B∈（0，π），∴sinB≠0，
∴，即，
∵C∈（0，π），
∴；
（2）∵CD为角C的角平分线，且CD＝2，
∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD，，
根据三角形面积公式可得：
＝，
即，
等式两边同时除以，
可得：，即，
则，
当且仅当即，b＝时等式成立，
∴a+2b的最小值为．
【点评】本题考查利用三角恒等变换知识解三角形和角平分线、基本不等式在解三角形中的应用，属于中档题．
21．（2023•华龙区校级模拟）已知．
（1）若，求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）＝2，且△ABC的面积为，当a＝6时，求△ABC的周长．
【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）＝2sin（2x+）+1，由题意可求，利用正弦函数的性质即可求解f（x）的值域．
（2）由（1）可得，可求，解得，利用三角形的面积公式可求bc的值，利用余弦定理可求b+c的值，即可得解△ABC的周长．
【解答】解：（1）由题意，
＝2cs2x+sin2x
＝2cs2x﹣1+sin2x+1
＝cs2x+sin2x+1
＝2sin（2x+）+1，
当x时，可得，
所以﹣＜sin（2x+）≤1，
所以f（x）＝2sin（2x+）+1∈（0，3]，
所以函数f（x）的值域为（0，3]．
（2）由（1）可得 ，
所以，
因为A∈（0，π），可得，
所以，解得，
又由，可得bc＝8，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣24，
因为a＝6，
所以，
所以△ABC的周长为．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换，正弦函数的性质，三角形的面积公式以及余弦定理的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．
22．（2023•武汉模拟）在△ABC中，AB＝2，D为AB中点，．
（1）若BC＝，求AC的长；
（2）若∠BAC＝2∠BCD，求AC的长．
【分析】（1）分别在△BDC，可求cs∠BDC，△ADC中，由余弦定理可求AC；
（2）设AC＝x，BC＝y，又正弦定理可得＝，进而可得2y2＝x（y2+1）①，利用cs∠ADC＝﹣cs∠BDC，可得x2+y2＝6②，进而可求解．
【解答】解：（1）在△BDC中，cs∠BDC＝＝，
cs∠ADC＝﹣cs∠BDC，
在△ADC中，AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CDcs∠ADC＝4，
∴AC＝2；
（2）设AC＝x，BC＝y，
在△ADC，△BDC中，由正弦定理，可得＝，＝，
又sin∠ADC＝sin∠BDC，得＝，
在△BDC中，由余弦定理得cs∠BCD＝，
由∠BAC＝2∠BCD，有sin∠BAC＝sin2∠BCD＝2sin∠BCDcs∠BCD，
∴＝2•，整理得2y2＝x（y2+1）①，
又由cs∠ADC＝﹣cs∠BDC，＝﹣，
整理得x2+y2＝6②，
联立①②得：x3﹣2x2﹣7x+12＝0，即（x﹣3）（x2+x﹣4）＝0
又﹣1＜x＜+1，故x＝，
∴AC＝．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属中档题．
四．解三角形（共22小题）
23．（2023•沙坪坝区校级模拟）在△ABC中，A，B，C的对边为a，b，c，若已知a（a﹣4sinA）＝b（c﹣4sinC）；
（1）证明：a2≥16sinB（c﹣4sinC）；
（2）证明：当△ABC的面积为时，求a+b+c的值．
【分析】（1）利用正弦定理边化角，将问题转化为证明a2≥16sinA（a﹣4sinA），整理可得完全平方式，由此可得结论；
（2）由（1）可得a＝8sinA，进而用a，c表示出sinA，sinC，结合已知关系式整理可求得a2＝bc，代入三角形面积公式即可求得a的值，再由余弦定理可得b+c的值，进而求出a+b+c的值．
【解答】（1）证明：∵a（a﹣4sinA）＝b（c﹣4sinC），由正弦定理可得：sinA（a﹣4sinA）＝sinB（c﹣4sinC），
要证a2≥16sinB（c﹣4sinC），只需证a2≥16sinA（a﹣4sinA），
即证64sin2A﹣16asinA+a2≥0，即证（8sinA﹣a）2≥0成立，
显然（8sinA﹣a）2≥0成立，
所以a2≥16sinB（c﹣4sinC）成立；
（2）由（1）得：a2＝16sinB（c﹣4sinC）时，a2﹣16asinA+64sin2A＝（a﹣8sinA）2＝0，
则a＝8sinA，由正弦定理可得＝＝＝8，
则sinA＝，sinC＝
由a（a﹣4sinA）＝b（c﹣4sinC）得：a（a﹣）＝b（c﹣），
整理可得a2＝bc，
所以S△ABC＝bcsinA＝＝＝，
解得：a＝．
所以sinA＝＝，可得csA＝或csA＝﹣，
当csA＝时，由余弦定理可得：csA＝＝，即＝﹣，
csA＝﹣时，由余弦定理可得：csA＝＝，即﹣＝﹣，
解得a+b+c＝•＝，或a+b+c＝+，
所以a+b+c＝+或a+b+c＝+．
【点评】本题考查分析法证明的应用及正弦定理的应用，属于中档题．
24．（2023•福州模拟）已知函数，将f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的单调递减区间；
（2）记锐角三角形ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求a﹣b的取值范围．
【分析】（1）根据平移变换得到g（x），注意到y＝sinx与y＝﹣sinx的单调性相反即可；（2）根据正弦定理，将a﹣b表示出来，利用三角函数求值域的方法求范围即可．
【解答】解：（1）将f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到，
再将得到的图象向左平移个单位长度，
得到＝cs（x+）＝﹣sinx，则g（x）＝﹣sinx．
当函数y＝sinx单调递增时，g（x）单调递减，
故函数g（x）的单调递减区间为．
（2）∵，∴﹣sinC＝﹣，∴，又C为锐角，∴，A+B＝．
∵，∴．
∴．
∵△ABC为锐角三角形，
∴即解得，
∴，∴．
∴a﹣b的取值范围为（﹣1，1）．
【点评】本题考查三角函数的性质，考查正弦定理，属于基础题．
25．（2023•安庆二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）若角，求角A的大小；
（2）若a＝4，，求b．
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理的边角互化结合三角恒等变换化简，即可得出答案；
（2）根据题意，利用余弦定理求解，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵，
∴2sinBsinC•＝sinA，即2sinBsinC＝sinA，
即＝sinA，
又A∈（0，π），即sinA≠0，
则2sinBsinC＝1+csA，即2sinBsinC＝1﹣cs（B+C），
∴cs（B﹣C）＝1，
又﹣π＜B﹣C＜π，且，故；
（2）由（1）得cs（B﹣C）＝1，﹣π＜B﹣C＜π，则b＝c，
∵，
∴csA＝±，
当A为锐角时，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccsA，即16＝2b2﹣b2，
即；
当A为钝角时，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccsA，即16＝2b2+b2，
即．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
26．（2023•爱民区校级三模）在△ABC中，．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求a的值．
条件①：；条件②：；条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理：边转化角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果；
（Ⅱ）条件①，可得角C是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①；条件②，利用条件建立，边b与c的方程组，求出b与c，再利用余弦定理，即可求出结果；条件③，利用正弦定理，先把角转化成边，再结合条件建立，边b与c的方程组，求出b与c，利用余弦定理，即可求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）因为bsin2A＝asin B，由正弦定理得，sinBsin2A＝sinAsin B，
又B∈（0，π），所以sinB≠0，得到sin2A＝sinA，
又sin2A＝2sinAcsA，所以2sinAcsA＝sinA，
又A∈（0，π），所以sinA≠0，得到csA＝，所以A＝；
（Ⅱ）选条件①：sinC＝；
由（1）知，A＝，根据正弦定理知，＝＝＝＞1，即c＞a，
所以角C有锐角或钝角两种情况，△ABC存在，但不唯一，故不选此条件．
选条件②：；
因为S△ABC＝bcsinA＝bcsin＝bc＝3，所以bc＝12，
又，得到b＝c，代入bc＝12，得到c2＝12，解得c＝4，所以b＝3，
由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccsA＝（3）2+42﹣2×3×4×＝27+16﹣36＝7，所以a＝．
选条件③：csC＝；
因为S△ABC＝bcsinA＝bcsin＝bc＝3，所以bc＝12，
由csC＝，得到sinC＝＝＝，
又sinB＝sin（π﹣A﹣C）＝sin（A+C）＝sin AcsC+csAsin C，由（1）知A＝，
所以sinB＝×+×＝，
又由正弦定理得＝＝＝，得到b＝c，代入bc＝12，得到c2＝12，解得c＝4，所以b＝3，
由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccsA＝（3）2+42﹣2×3×4×＝27+16﹣36＝7，所以a＝．
【点评】本题考查正余弦定理，属于中档题．
27．（2023•桐城市校级一模）在△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a＝4，＝．
（1）若，求sinA；
（2）若AB边上的中线长为，求AB的长．
【分析】（1）由正弦定理，两角和的余弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanC＝，结合C∈（0，π），可得C＝，利用正弦定理，即可得出答案；
（2）设AB边上的中线为CD，则2＝+，两边平方，利用余弦定理可得b2+3b﹣28＝0，解得b的值，根据余弦定理，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵a＝4，＝，
由正弦定理得＝＝，
整理得csB+csAcsC＝sinAcsC，
∵csB＝﹣cs（A+C）＝sinAsinC﹣csAcsC，
∴sinAsinC＝sinAcsC，
又sinA≠0，则tanC＝，
∵C∈（0，π），∴C＝，
由正弦定理得，即，解得sinA＝1；
（2）设AB边上的中线为CD，则2＝+，
∴4||2＝（+）2＝b2+a2+2abcs∠ACB，即37＝b2+9+3b，
整理得b2+3b﹣28＝0，解得b＝4或﹣7（不合题意，舍去），
∴AB＝c＝＝＝．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力、推理论证能力、转化与化归思想，属于中档题．
28．（2023•辽宁模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）若，且b＝3，求△ABC的面积S．
【分析】（1）利用余弦定理得＝＝，即＝，可得tanB＝，即可得出答案；
（2）由（1）得B＝，利用正弦定理得sinC＝，结合余弦定理和面积公式，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵，
∴在△ABC中，由余弦定理得＝＝，
∵csC≠0，
∴＝，
∵sinA≠0，∴tanB＝，
∵B∈（0，π），∴B＝；
（2）由（1）得B＝，
在△ABC中，由正弦定理得＝＝，即sinC＝，
∴a+c＝2a×＝ac①，
在△ABC中，由余弦定理得9＝a2+c2﹣2accs，即a2+c2﹣ac＝9②，
联立①②得2（ac）2﹣3ac﹣9＝0，即（ac﹣3）（2ac+3）＝0，解得ac＝3或ac＝﹣（不合题意，舍去），
∴△ABC的面积为S＝acsinB＝×3×＝．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
29．（2023•云南模拟）已知函数在上单调，且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若钝角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＝2，，求△ABC周长的最大值．
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，根据单调性求出ω的取值范围，再根据对称性求出ω的值，即可得出答案；
（2）首先求出A，再利用余弦定理及基本不等式求出b+c的最大值，即可得出答案．
【解答】解：（1）
＝
＝，
∵f（x）在上单调，且ω∈N*，
∴，解得0＜ω≤3，
又，则为f（x）的一条对称轴，
∴，解得ω＝2+3k，k∈Z，
∴ω＝2，即；
（2）由（1）得，
则，即，
又0＜A＜π，则，
∴或，解得或，
∵△ABC为钝角三角形，∴，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsA，即，
即，当且仅当b＝c时取等号，
∴，
∴，
即△ABC周长的最大值为．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
30．（2023•阳泉三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2＝a2﹣bc．
（1）求A；
（2）若bsinA＝4sinB，且lgb+lgc≥1﹣2cs（B+C），求△ABC面积的取值范围．
【分析】（1）结合题意，利用余弦定理，即可得出答案；
（2）由（1）得A＝，利用正弦定理可得a＝4，利用余弦定理可得bc≤，结合题意可得bc≥1，利用面积公式，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵b2+c2＝a2﹣bc，即b2+c2﹣a2＝﹣bc，
∴在△ABC中，由余弦定理得csA＝＝﹣，
又A∈（0，π），则A＝；
（2）由（1）得A＝，
∵bsinA＝4sinB，∴由正弦定理得ab＝4b，解得a＝4，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccsA≥2bc+bc＝3bc，则bc≤，当且仅当b＝c＝时等号成立，
∵lgb+lgc≥1﹣2cs（B+C），∴lg（bc）≥1+2csA＝0，解得bc≥1，
∴1≤bc≤，
∴△ABC的面积为S＝bcsinA＝bc，
∴≤S≤，
故△ABC面积的取值范围为[，]．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
31．（2023•全国模拟）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinB+bcs（+）＝0．
（1）求A；
（2）若a＝，求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）利用正弦定理可得sinA+cs（+）＝0，结合三角函数的诱导公式可得sinA＝sin（+），即可得出答案；
（2）由（1）得A＝，利用余弦定理可得bc≤＝3+6，结合面积公式，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵asinB+bcs（+）＝0，
∴在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcs（+）＝0，
∵B∈（0，），∴sinA+cs（+）＝0，
∴sinA+cs（++）＝0，即sinA＝sin（+），
∵A∈（0，），∴+∈（，），
∴A＝+，解得A＝；
（2）由（1）得A＝，a＝，
在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccsA≥（2﹣）bc，当且仅当b＝c时等号成立，
∴bc≤＝3+6，
∴△ABC的面积S＝bcsinA＝bc≤，
故△ABC面积的最大值为．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
32．（2023•武侯区校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求角C的大小；
（2）已知b＝4，△ABC的面积为6，求sinB的值．
【分析】（1）根据两角和与差的三角函数，可得，即可得出答案；
（2）首先根据面积公式求a，再根据余弦定理和正弦定理，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，
即，则，
又C∈（0，π），则；，
（2）由题意得，解得，
由余弦定理得，即，
由正弦定理得，即，解得．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
33．（2023•定远县校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．
（1）求角C；
（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【分析】（1）由题意得a（sinA+sinB）＝（c﹣b）（sinC+sinB），利用正弦定理边化角得a（a+b）＝（c﹣b）（c+b），即a2+b2﹣c2＝﹣ab，结合余弦定理，即可得出答案；
（2）由（1）得，由余弦定理得a2+b2﹣c2＝﹣ab，即（a+b）2﹣ab＝c2＝18，结合面积公式可得ab＝6，求出a+b，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵，，，
∴a（sinA+sinB）＝（c﹣b）（sinC+sinB），
在△ABC中，由正弦定理得a（a+b）＝（c﹣b）（c+b），即a2+b2﹣c2＝﹣ab，
∴，
又C∈（0，π），则；
（2）由（1）得，由余弦定理得a2+b2﹣c2＝﹣ab，即（a+b）2﹣ab＝c2＝18，
又，则ab＝6，
∴（a+b）2＝18+ab＝24，即，
∴△ABC的周长为．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
34．（2023•平顶山模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，6csBcsC﹣1＝3cs（B﹣C）．
（1）若，求csC；
（2）若c＝3，点D在BC边上，且AD平分，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用两角和、差的余弦公式求出cs（B+C），由诱导公式求出csA，即可求出sinA，最后由csC＝﹣cs（A+B）计算，即可得出答案；
（2）利用二倍角公式求出，再由S△ABC＝S△ADC+S△ADB求出b，最后由面积公式计算，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵6csBcsC﹣1＝3cs（B﹣C）＝3csBcsC+3sinBsinC，
则3csBcsC﹣3sinBsinC＝3cs（B+C）＝1，，
又A+B+C＝π，cs（B+C）＝cs（π﹣A）＝﹣csA，则，
又A∈（0，π），则，
则；
（2）由（1）得，则，
又S△ABC＝S△ADC+S△ADB，则，
即，
则，即，解得b＝4，
故△ABC的面积．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
35．（2023•厦门模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求a的值；
（2）点D在线段BC上，∠BAC＝120°，∠BAD＝45°，CD＝1，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据正弦定理、三角函数的和差角公式，将条件变形即可得出答案；
（2）由可得AB＝AC，然后由余弦定理可解出AB，AC，即可得出答案；或利用正弦定理结合结合条件求∠ACB＝30°，然后再利用余弦定理及三角形面积公式，即可得出答案．
【解答】解：（1）由正弦定理得，
∴，
∴，
∴，
∵sinC＞0，∴；
（2）方法1：∵，即，
又，
∴，即AB＝AC，
在△ABC中，由余弦定理得，则2AB2﹣3＝﹣AB2，
∴AB＝AC＝1，
∴；
方法2：设∠ACB＝θ，在△ACD中，由正弦定理得，
同理在△ABC中，
∴，
∴，即，
又0°＜θ＜60°，
∴θ＝30°，即AB＝AC，
在△ABC中，由余弦定理得，即2AB2﹣3＝﹣AB2，
∴AB＝AC＝1，
∴．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
36．（2023•泉州模拟）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c2＝（a2+c2﹣b2）（tanA+tanB）．
（1）求角A的大小；
（2）若边，边BC的中点为D，求中线AD长的取值范围．
【分析】（1）由余弦定理，正弦定理，可得出角的正切即可求出角；
（2）由，结合正弦定理，辅助角公式，根据锐角三角形中角的范围，即可应用三角函数值域求出范围
【解答】解：（1）由余弦定理得2c²＝2accsB（tanA+tanB），即c＝acsB（tanA+tanB），
由正弦定理得：
＝，∵sinC≠0，∴sinA＝csA，即 tanA＝1，
∵，∴；
（2）由余弦定理得：，则，
，
由正弦定理得，则b＝2sinB，c＝2sinC，
bc＝4sinBsinC＝4sinBsin（﹣B）＝2（sinBcsB+sin²B）
＝（﹣cs2B+sin2B）+＝，因为△ABC是锐角三角形，
所以，即＜B＜，
则＜2B﹣＜，＜sin（2B﹣）≤1，bc∈（2，2+]，
中线AD长的取值范围为（，]．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．
37．（2023•包河区校级模拟）在①4asinC＝3ccsA，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____，．
（Ⅰ）求sinA；
（Ⅱ）如图，D为边AC上一点，DC＝DB，AB⊥BD，求△ABC的面积．
【分析】（Ⅰ）选择条件①：利用正弦定理可得4sinAsinC＝3sinCcsA，即4sinA＝3csA，结合sin2A+cs2A＝1，即可得出答案；
选择条件②：在△ABC中，cs＝cs＝sin，则6bsin＝asinB，利用正弦定理可得6sin＝sinA＝2sincs，可得cs＝，求出sin，结合二倍角公式，即可得出答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinA＝，A为锐角，则csA＝＝，设BD＝CD＝3x，结合题意可得AD＝5x，AB＝4x，利用余弦定理求出x，可得b，c，利用面积公式，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）选择条件①：4asinC＝3ccsA，
在△ABC中，由正弦定理得4sinAsinC＝3sinCcsA，
∵sinC≠0，∴4sinA＝3csA，
又sin2A+cs2A＝1，A∈（0，π），则16sin2A＝9（1﹣sin2A），解得sinA＝；
选择条件②：，
在△ABC中，cs＝cs＝sin，
则6bsin＝asinB，
由正弦定理得6sinBsin＝sinAsinB，
∵sinB≠0，∴6sin＝sinA＝2sincs，
∵A∈（0，π），∴∈（0，），
∴sin≠0，
∴3＝cs，解得cs＝，
∴sin＝，
∴sinA＝2sincs＝2××＝；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinA＝，A为锐角，则csA＝＝，设BD＝CD＝3x，
∵DC＝DB，AB⊥BD，∴AD＝5x，AB＝4x，
在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccsA，即18＝（5x+3x）2+（4x）2﹣2•8x•4x•，解得x＝，
∴c＝4x＝，b＝8x＝2，
∴S△ABC＝bcsinA＝×2××＝6．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
38．（2023•旌阳区校级模拟）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝（2b﹣c）sinB+c（2sinC﹣sinB）．
（1）求A；
（2）点D在边BC上，且BD＝3DC，AD＝4，求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理，即可得出答案；
（2）由向量建立等量关系，结合基本不等式，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵2asinA＝（2b﹣c）sinB+c（2sinC﹣sinB），
∴2a2＝（2b﹣c）b+（2c﹣b）c，即a2＝b2+c2﹣bc，
∴，
∵A∈（0，π）．
∴；
（2）由题意得，两边平方得，
整理得256＝c2+9b2+3bc≥9bc，
∴，当且仅当，时，等号成立，
∴，
故△ABC面积的最大值为．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
39．（2023•惠安县模拟）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，acsB﹣2acsC＝（2c﹣b）csA．
（1）若c＝a，求csB的值；
（2）若b＝1，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围．
【分析】（1）由正弦定理得出c＝2b，再由余弦定理，即可得出答案；
（2）设∠BAD＝θ，把△ABC表示成两个三角形的面积和，表示出AD，即可得出答案；
【解答】解：（1）∵acsB﹣2acsC＝（2c﹣b）csA，
∴在△ABC中，由正弦定理得sinAcsB﹣2sinAcsC＝（2sinC﹣sinB）csA，
∴sinAcsB+csAsinB＝2sinAcsC+2csAsinC，∴sin（A+B）＝2sin（A+C），
∴sinC＝2sinB，即，
∴，
∴；
（2）由（1）得c＝2b，b＝1，则c＝2，
设∠BAD＝θ，如图所示：
∴，
∴，，
∴．
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
40．（2023•南关区校级模拟）已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求A；
（2）若，且△ABC的面积为，求△ABC周长．
【分析】（1）由正弦定理得，即，可得，即可得出答案；
（2）由面积公式和余弦定理，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵acsC+asinC﹣b﹣c＝0，
∴在△ABC中，由正弦定理得，即，
∵0＜C＜π，∴sinC≠0，
∴，
∴，
又A∈（0，π），则，
∴，解得；
（2）∵，且△ABC的面积为，
∴，解得bc＝12，
又a2＝b2+c2﹣2bccsA＝（b+c）2﹣2bc﹣bc＝13，
∴b+c＝7，
∴，
故△ABC的周长为．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
41．（2023•开福区校级模拟）已知向量＝（sinx，1+cs2x），＝（csx，），．
（1）求函数y＝f（x）的最大值及相应x的值；
（2）在△ABC中，角A为锐角且，，BC＝2，求△ABC的面积．
【分析】（1）由题意可得函数f（x）的解析式，由函数的最大值的求法可得函数的最大值及相应的x的值；
（2）由（1）及A的范围可得A角的大小，进而求出B角的大小，再由三角形的内角和可知C角的大小，由正弦定理可得AC，AB边的值，代入三角形的面积公式求出三角形的面积．
【解答】解：（1）因为f（x）＝•﹣＝sinx•csx+（1+cs2x）﹣＝sin2x+cs2x＝sin（2x+），
当2x+＝+2kπ，k∈Z，即x＝+kπ，k∈Z，则函数值f（x）最大，且为，
所以函数y＝f（x）的最大值为，相应x的值为+kπ，k∈Z；
（2）由（1）可得f（A）＝sin（2A+）＝，A角为锐角，所以2A+＝π，
解得A＝，
又因为A+B＝，所以B＝，
进而可得C＝，
由正弦定理可得＝＝，BC＝2，
可得AC＝，AB＝1+，
所以S△ABC＝AC•AB•sinA＝••（1+）•＝．
【点评】本题考查数量积的应用及正弦定理的应用，属于中档题．
42．（2023•江西模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A+sinAsinB＝cs2B﹣cs2C．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA＝2sinB，，求△ABC的面积．
【分析】（1）先将条件中的等式全部变为正弦，然后利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求角，即可得出答案；
（2）先利用正弦定理将sinA＝2sinB转化为a，b的关系，再结合（1）中的条件求出a，b，最后利用三角形的面积公式求解，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵sin2A+sinAsinB＝cs2B﹣cs2C＝1﹣sin2B﹣（1﹣sin2C）＝sin2C﹣sin2B，
∴在△ABC中，由正弦定理得a2+ab＝c2﹣b2，即a2+b2﹣c2＝﹣ab，
∴，
又C∈（0，π），∴；
（2）∵sinA＝2sinB，∴由正弦定理得a＝2b①，
又a2+b2﹣7＝﹣ab②，
联立①②得a＝2，b＝1，
∴．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
43．（2023•镇江三模）在凸四边形ABCD中，．
（1）若．求CD的长；
（2）若四边形ABCD有外接圆，求AD+CD的最大值．
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求sin∠ABD的值，利用两角差的余弦公式可求cs∠CBD的值，在△BCD中，由余弦定理即可求解CD的值．
（2）由题意可求，由正弦定理可得sin∠ADB＝sin∠CDB，即，设，由正弦定理可得，，利用三角函数恒等变换的应用可求，进而利用正弦函数的性质即可求解其最大值．
【解答】解：（1）因为，
所以，
所以，
因为BC＝，BD＝2，
所以在△BCD中，由余弦定理可知，CD2＝BD2+BC2﹣2BD⋅BC⋅cs∠CBD＝13，即．
（2）因为四边形ABCD有外接圆，所以，
因为AB＝BC，且由正弦定理可知，，
所以sin∠ADB＝sin∠CDB，
即，
设，则，
由正弦定理可知，，
所以，
同理可知，
所以CD+AD
＝2sinθ+2（csθ+sinθ）
＝
＝，
因为，
所以，
所以当，
即时，AD+CD取得最大值为．
【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．
44．（2023•成都模拟）在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足asinA+4bsinCcs2A＝bsinB+csinC．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，且BC上的中线AD长为，求斜三角形ABC的面积．
【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解；
（2）由已知利用余弦定理可得4＝b2+c2﹣bc，①在△ABD中，由余弦定理可得cs∠ADB＝，在△ACD中，由余弦定理可得cs∠ADC＝，由cs∠ADB＝﹣cs∠ADC，整理可得b2+c2＝8，②，由①②解得b＝c＝2，进而利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵asinA+4bsinCcs2A＝bsinB+csinC，
∴由正弦定理可得，a2+4bc•cs2A＝b2+c2，
∴cs2A＝＝csA，
∵三角形ABC为斜三角形，
∴∠A不为直角，即csA≠0，
∴csA＝，
又∵A∈（0，π），
∴A＝；
（2）∵A＝，a＝2，
∴由余弦定理可得4＝b2+c2﹣bc，①
∵BC上的中线AD长为，可得BD＝CD＝1，
∴在△ABD中，由余弦定理可得cs∠ADB＝，
在△ACD中，由余弦定理可得cs∠ADC＝，
又∵cs∠ADB＝cs（π﹣∠ADC）＝﹣cs∠ADC，
∴＝﹣，整理可得b2+c2＝8，②
∴由①②解得b＝c＝2，
∴S△ABC＝bcsinA＝＝．
【点评】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化能力，属于中档题．
五．三角形的形状判断（共4小题）
45．（2023•安徽二模）在△ABC中，sin2A+3sin2C＝3sin2B．
（1）若sinBcsC＝，判断△ABC的形状；
（2）求tan（B﹣C）的最大值．
【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求sinBcsC及sinCcsB，进而可求sin（B+C），即可判断；
（2）结合（1）及两角差的正切公式可求tan（B﹣C），然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：（1）因为sin2A+3sin2C＝3sin2B，
所以a2+3c2＝3b2，
所以2a2＝3a2+3c2﹣3b2，
所以csB＝＝＝＝，
所以sinA＝3sinCcsB＝sin（B+C）＝sinBcsC+sinCcsB，
所以2sinCcsB＝sinBcsC＝，
所以sinCcsB＝，
所以sin（B+C）＝sinBcsC+sinCcsB＝1，
故B+C＝，A＝，
所以△ABC为直角三角形；
（2）由（1）知2sinCcsB＝sinBcsC，
所以tanB＝2tanC＞0，
所以tan（B﹣C）＝＝＝＝，
当且仅当2tanC＝，即tanC＝时取等号，
故tan（B﹣C）的最大值为．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
46．（2023•洪山区校级模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且sin（A﹣B）csC＝csBsin（A﹣C）．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若△ABC为锐角三角形，且，求的最大值．
【分析】（1）根据已知条件，结合三角函数的和与差公式，即可求解；
（2）根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的恒等变换，以及换元法，即可求解．
【解答】解：（1）sin（A﹣B）csC＝csBsin（A﹣C）．
则（sinAcsB﹣csAsinB）csC＝csB⋅（sinAcsC﹣csAsinC），化简整理可得，csA•sin（C﹣B）＝0，
故csA＝0或sin（C﹣B）＝0，
则或B＝C，
∴△ABC为直角三角形或等腰三角形．
（2）得asinB＝bsinA＝1，
∴，
又B＝C，A+B+C＝π，
∴sin2B+sin2A＝sin2B+sin2（π﹣2B）＝sin2B+4sin2Bcs2B，
令t＝sin2B，t∈（0，1），
∴sin2B+4sin2Bcs2B＝t+4t（1﹣t）＝﹣4t2+5t，
故当时，即原式取最大值，
即，
综上最大值为．
【点评】本题主要考查三角形的形状判断，属于中档题．
47．（2023•湖北模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，．
（1）求角A；
（2）若D为BC边上一点，且满足AD＝CD＝2BD，试判断△ABC的形状．
【分析】（1）利用正弦定理边化角，分析运算即可；
（2）设∠ACD＝θ，用θ表示其他角，并结合正弦定理建立关系，利用三角恒等变换运算求解即可．
【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理有：，
因为sinB≠0，所以，
又因为A为锐角，即．
（2）设∠ACD＝θ，
在△ACD中，AD＝CD，则∠CAD＝θ，
可得，
在△ABD中，由正弦定理有：，
又因为AD＝2BD，所以，
则，化简得，
因为，即，则，
所以△ABC为直角三角形．
【点评】本题考查正弦定理等相关解三角形的知识，属于中档题．
48．（2023•福建模拟）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）当，λ＝2时，求c的值；
（2）判断△ABC的形状．
【分析】（1）由正弦定理通过边角互化将条件转化为角的关系，再通过三角恒等变换求角B，再由正弦定理求c；
（2）由条件通过三角恒等变换判断tanA，tanB的正负，结合两角和公式判断tanC的符号，由此确定三角形形状．
【解答】解：（1）由，得，
所以acsA+bcsB＝λccsC，
所以sinAcsA+sinBcsB＝λsinCcsC，
则sin2A+sin2B＝λsin2C，
又，λ＝2，C＝π﹣A﹣B，
所以，
所以（sinB+csB）2＝﹣2（csB﹣sinB）（csB+sinB），
因为，所以，sinB+csB≠0，
所以sinB+csB＝2sinB﹣2csB，
所以tanB＝3，所以，，，
由，得；
（2）因为sin2A+sin2B＝λsin2C，
所以sin[（A+B）+（A﹣B）]+sin[（A+B）﹣（A﹣B）]＝λsin2C，
所以2sin（A+B）cs（A﹣B）＝2λsinCcsC，又sin（A+B）＝sinC≠0，
所以cs（A﹣B）＝λcsC＝﹣λcs（A+B），
化简得（1+λ）csAcsB＝（λ﹣1）sinAsinB，
所以，
因为λ＞1，所以，
所以tanA＞0，tanB＞0，
所以，
又A，B，C∈（0，π），
所以A，B，C都为锐角，
所以△ABC为锐角三角形．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，三角形形状的判断，考查运算求解能力，属于中档题．
考题
考点
考向
2022新高考1第18题
解三角形及其综合应用
求角度及最值
2021新高考2第18题
解三角形及其综合应用
求三角形的面积，应用余弦定理判断三角形的形状
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝
考题
考点
考向
2022新高考1第18题
解三角形及其综合应用
求角度及最值
2021新高考2第18题
解三角形及其综合应用
求三角形的面积，应用余弦定理判断三角形的形状
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝