重难点04函数的奇偶性（7种考法）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）（原卷版）

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重难点04函数的奇偶性（7种考法）
【目录】
考法1：函数奇偶性的定义与判断
考法2：由奇偶性求函数解析式
考法3：函数奇偶性的应用
考法4：抽象函数的奇偶性
考法5：由奇偶性求参数
考法6：由函数奇偶性解不等式
考法7：奇偶函数对称性的应用
二、命题规律与备考策略

一、奇函数
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x
命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
二、偶函数
解题方法点拨：
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
命题方向：
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
三．函数奇偶性的性质与判断
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
四．奇偶函数图象的对称性
【解题方法点拨】
由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]内的最值．
解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数，
那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4
【命题方向】
本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总结，特别是偶函数与周期性相结合的试题，现在的一个命题方式是已知周期偶函数某一小段内与x轴交点的个数，求在更大范围内它与x轴的交点个数，同学们务必多多留意．
五．奇偶性与单调性的综合
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反

【命题方向】奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．
六．抽象函数及其应用
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的奇偶性；
【命题方向】抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
三、题型方法
考法1：函数奇偶性的定义与判断
一、单选题
1．（2023·广西·校联考模拟预测）果树的负载量，是影响果树产量和质量的重要因素.苹果树结果期的负载量y（单位：kg）与干周x（树干横截面周长，单位：cm）可用模型模拟，其中，，均是常数.则下列最符合实际情况的是（    ）
A．时，y是偶函数 B．模型函数的图象是中心对称图形
C．若，均是正数，则y有最大值 D．苹果树负载量的最小值是
2．（2023·河南新乡·统考三模）函数的部分图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
3．（2023·北京丰台·统考二模）已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是（    ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知x，，且，则（    ）
A．0 B． C．1 D．
二、多选题
5．（2023·江苏·统考二模）已知函数，则（    ）
A．是偶函数，也是周期函数 B．的最大值为
C．的图像关于直线对称 D．在上单调递增
6．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知函数，则下列说法正确的有（    ）
A．是偶函数
B．是周期函数
C．在区间 上，有且只有一个极值点
D．过 作y=的切线，有无数条
三、填空题
7．（2023·安徽合肥·二模）若定义域为的奇函数满足，且，则________．
8．（2023·江西上饶·统考二模）关于函数，有如下四个命题：
①函数的图像关于轴对称；
②函数的图像关于直线对称；
③函数的最小正周期为；
④函数的最小值为2．其中所有真命题的序号是_________________．
9．（2023·陕西渭南·统考二模）若函数的关系式由方程确定.则下述命题中所有真命题的序号为_____________.
①函数是减函数；           
②函数是奇函数；
③函数的值域为     
④方程无实数根：
⑤函数的图像是轴对称图形.
四、解答题
10．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数满足．
(1)讨论的奇偶性；
(2)设函数，求证：．









考法2：由奇偶性求函数解析式
一、单选题
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数是偶函数，当时，．若曲线在点处的切线方程为，则实数a的值为（    ）
A．4 B．2 C．1 D．
2．（2023·江苏南通·二模）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
3．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）若函数的图象关于原点对称，且，则（    ）
A． B．0 C．1 D．2
4．（2023·宁夏中卫·统考二模）设是定义在R上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的个数有（    ）
（1）当时，
（2）
（3）若，则实数的最小值为
（4）若有三个零点，则实数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）
A． B． C． D．

6．（2023·北京朝阳·二模）已知函数是上的奇函数，当时，.若关于x的方程有且仅有两个不相等的实数解则实数m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ）
A．当时， B．，都有
C．的解集为 D．的单调递增区间是，
8．（2023·江苏·二模）已知定义域为R的奇函数，当时，,下列叙述正确的是（    ）
A．存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根
B．当时，有
C．当时，的最小值为1，则
D．若关于x的方程和的所有实数根之和为零，则
三、填空题
9．（2023·广东湛江·统考二模）已知奇函数则__________．
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且在定义域内有且只有三个零点，则可能是______．（本题答案不唯一）
四、双空题
11．（2023·河南·校联考模拟预测）已知是定义R在上的奇函数，当时，，当时，，则________；若方程有两个不同的实数根，则a的取值范围是________．

12．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则当时，___________；若对都有，则实数的取值范围为___________.
五、解答题
13．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）若函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减．
(1)求函数的解析式；
(2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．






考法3：函数奇偶性的应用
一、单选题
1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知函数，记等差数列的前n项和为，若，，则（    ）
A． B． C．2023 D．4046
2．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（    ）
A． B．0 C．2 D．4
3．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知函数及其导函数定义域均为R，记函数，若函数的图象关于点(3，0)中心对称，为偶函数，且，，则（    ）
A．672 B．674 C．676 D．678

4．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数满足，且是偶函数，当时，，则（    ）
A． B．3 C． D．
5．（2022·天津·统考高考真题）函数的图像为（    ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ）
A． B． C．0 D．1
二、多选题
7．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知函数的定义域为R，为奇函数，且对，恒成立，则（    ）
A．为奇函数 B． C． D．
8．（2023·海南海口·校联考模拟预测）已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（   ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．（2023·上海松江·统考二模）已知函数为上的奇函数；且，当时，，则______．
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，且满足时，．若不等式在上恒成立，则a的取值范围是__________,
考法4：抽象函数的奇偶性
一、单选题
1．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（    ）
A． B．函数的图象关于点对称
C． D．若，则
2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若为奇函数，为偶函数，且，，则（    ）
A．670 B．672 C．674 D．676
3．（2023·安徽淮南·统考二模）定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
4．（2023·广西玉林·统考三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ）
A．是偶函数 B．是R上的减函数
C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为


5．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且函数是偶函数，当时，，则（    ）
A． B． C． D．
6．（2023·贵州黔西·校考一模）已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于对称．若，则（    ）
A．3 B．2 C．0 D．50
二、多选题
7．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）已知函数的定义域为，，且．当时，，则（    ）
A．
B．是偶函数
C．为增函数
D．当，且，时，
8．（2023·山西太原·太原五中校考一模）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（    ）
A． B．是偶函数
C．关于中心对称 D．
9．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考模拟预测）已知函数的定义域为，对任意的，都有，且，当时，，则（    ）
A．是偶函数
B．
C．当，是锐角的内角时，
D．当，且，时，
10．（2023·福建莆田·统考二模）已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（    ）
A． B．为偶函数
C． D．
11．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知函数的定义域为，为奇函数，且对于任意，都有，则（    ）
A． B．
C．为偶函数 D．为奇函数
三、填空题
12．（2023·浙江台州·统考二模）若定义在上的函数满足：，，且，则满足上述条件的函数可以为___________.（写出一个即可）
13．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数与的定义域均为，，且为偶函数，则___________．
考法5：由奇偶性求参数
一、单选题
1．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，则在函数的值域为R的条件下，满足“函数为偶函数”的概率为（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）若为奇函数，则的值为（    ）
A．-1 B．0 C．1 D．-1或1
3．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数为上的奇函数，且，当时，，则，，的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
4．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，当时，，若函数是偶函数，则下列结论不正确的为（    ）
A． B．的最小正周期
C．有4个零点 D．
二、多选题
5．（2023·河北张家口·统考二模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若恒成立，则（    ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象的对称中心为
C．函数在上的最小值为1，最大值为
D．函数的极小值点为
三、双空题
6．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．
四、填空题
7．（2021·全国·统考高考真题）已知函数是偶函数，则______.
8．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为______．




五、解答题
9．（2023·云南昆明·云南省昆明市第十中学校考模拟预测）对于函数.
(1)若，且为奇函数，求a的值；
(2)若方程恰有一个实根，求实数a的取值范围；
(3)设，若对任意，当时，满足，求实数a的取值范围．








考法6：由函数奇偶性解不等式
一、单选题
1．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）已知函数的定义域为R，其导函数为，若，且当时，，则的解集为（     ）
A． B．
C． D．
2．（2023·四川成都·校考三模）已知函数,则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
3．（2023·广东广州·统考二模）已知偶函数与其导函数的定义域均为，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
4．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，，且在上单调递增，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
5．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，，若，且满足，则不等式的解集为（    ）
A． B．    
C． D．
6．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
7．（2023·江西·统考模拟预测）定义在区间上的可导函数关于轴对称，当时，恒成立，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
8．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知函数，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．



二、填空题
9．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的x的取值范围是______________．
10．（2023·河南周口·统考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为______.
考法7：奇偶函数对称性的应用
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，是偶函数，，则（    ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
2．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）设函数在定义域上满足，若在上是减函数，且，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
3．（2023·青海西宁·统考二模）已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（    ）

A． B． C． D．
4．（2023·陕西渭南·统考一模）已知函数满足：①定义域为，②为偶函数，③为奇函数，④对任意的，且，都有，则的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．

5．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（    ）
A． B．为奇函数
C．在上是减函数 D．方程仅有6个实数解
二、多选题
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数，的定义域均为R，是奇函数，是偶函数，且，，则（    ）．
A．为奇函数 B．4为的一个周期
C． D．
三、填空题
7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）某函数满足以下三个条件：
①是偶函数；②；③的最大值为4．
请写出一个满足上述条件的函数的解析式______．