2021_2023年高考数学真题分类汇编专题12数列选择题

专题12数列(选择题)

近三年高考真题

知识点1：等差数列基本量运算

1．（2023•甲卷（文））记为等差数列的前项和．若，，则　　

A．25 B．22 C．20 D．15

【答案】

【解析】等差数列中，，

所以，

，

故，

则，，

则．

故选：．

知识点2：等比数列基本量运算

2．（2022•乙卷（文））已知等比数列的前3项和为168，，则　　

A．14 B．12 C．6 D．3

【答案】

【解析】设等比数列的公比为，，由题意，．

前3项和为，，

，，

则，

故选：．

3．（2021•甲卷（文））记为等比数列的前项和．若，，则　　

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】

【解析】为等比数列的前项和，，，

由等比数列的性质，可知，，成等比数列，

，2，成等比数列，

，解得．

故选：．

4．（2021•甲卷（理））等比数列的公比为，前项和为．设甲：，乙：是递增数列，则　　

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 

C．甲是乙的充要条件 

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】

【解析】若，，则，则是递减数列，不满足充分性；

，

则，

，

若是递增数列，

，

则，，

满足必要性，

故甲是乙的必要条件但不是充分条件，

故选：．

5．（2023•天津）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为　　

A．3 B．18 C．54 D．152

【答案】

【解析】因为为等比数列，，

所以，，

由等比数列的性质可得，，

即，

所以或（舍，

所以，，

则．

故选：．

6．（2023•甲卷（理））已知等比数列中，，为前项和，，则　　

A．7 B．9 C．15 D．30

【答案】

【解析】等比数列中，设公比为，

，为前项和，，显然，

（如果，可得矛盾，如果，可得矛盾），

可得，

解得，即或，

所以当时，．

当时，．没有选项．

故选：．

7．（2022•上海）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是　　

A．若，则数列是递增数列 

B．若，则数列是递增数列 

C．若数列是递增数列，则 

D．若数列是递增数列，则

【答案】

【解析】如果数列，公比为，满足，但是数列不是递增数列，所以不正确；

如果数列，公比为，满足，但是数列不是递增数列，所以不正确；

如果数列，公比为，，数列是递增数列，但是，所以不正确；

数列是递增数列，可知，可得，所以，可得正确，所以正确；

故选：．

8．（2023•新高考Ⅱ）记为等比数列的前项和，若，，则　　

A．120 B．85 C． D．

【答案】

【解析】等比数列中，，，显然公比，

设首项为，则①，②，

化简②得，解得或（不合题意，舍去），

代入①得，

所以．

故选：．

知识点3：数列的实际应用

9．（2022•新高考Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构，，，，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中，，，是举，，，，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，．已知，，成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则　　

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9

【答案】

【解析】设，则，，，

由题意得：，，

且，

解得，

故选：．

10．（2021•北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长，，，，（单位：成等差数列，对应的宽为，，，，（单位：，且长与宽之比都相等．已知，，，则　　

A．64 B．96 C．128 D．160

【答案】

【解析】和是两个等差数列，且是常值，由于，，

故，

由于

所以．

另，解得：

故：．

故选：．

知识点4：数列的最值问题

11．（2021•北京）已知是各项为整数的递增数列，且，若，则的最大值为　　

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】

【解析】数列是递增的整数数列，

要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，

假设递增的幅度为1，

，

，

则，

当时，，，

，即可继续增大，非最大值，

当时，，，

，不满足题意，

即为最大值．

故选：．

知识点5：数列的递推问题

12．（2023•北京）数列满足，下列说法正确的是　　

A．若，则是递减数列，，使得时， 

B．若，则是递增数列，，使得时， 

C．若，则是递减数列，，使得时， 

D．若，则是递增数列，，使得时，

【答案】

【解析】对原式进行变形，得，

当，则，，

设，则，所以是递减数列，

当，，错误，同理可证明错误，

当，则，即，又因为，所以，

假设，则，即，又因为，所以，

所以当，，正确，

对于，当，代入进去很明显不是递减数列，错误，

故选：．

13．（2022•浙江）已知数列满足，，则　　

A． B． C． D．

【答案】

【解析】，

为递减数列，

又，且，

，

又，则，

，

，

，则，

；

由得，得，

累加可得，，

，

；

综上，．

故选：．

14．（2021•浙江）已知数列满足，．记数列的前项和为，则　　

A． B． C． D．

【答案】

【解析】因为，所以，所以，

，

，故，

由累加法可得当时，

，

又因为当时，也成立，所以，

所以，

，故，

由累乘法可得当时，，

所以．

另设，，，可得在递增，接下来运用待定系数法估计的上下界，设，则探索也满足上界的条件．

．

在此条件下，有，

注意到，取，，从而，此时可得．

故选：．

知识点6：等差数列与等比数列的综合应用

15．（2023•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则　　

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 

C．甲是乙的充要条件 

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】

【解析】若是等差数列，设数列的首项为，公差为，

则，

即，

故为等差数列，

即甲是乙的充分条件．

反之，若为等差数列，则可设，

则，即，

当时，有，

上两式相减得：，

当时，上式成立，所以，

则（常数），

所以数列为等差数列．

即甲是乙的必要条件．

综上所述，甲是乙的充要条件．

故本题选：．

知识点7：数列新定义问题

16．（多选题）（2021•新高考Ⅱ）设正整数，其中，，记，则　　

A． B． 

C． D．

【答案】

【解析】，，对；

当时，，（7）．

，（2），（7）（2），错；

，

．

，

．对；

，，对．

故选：．