2022-2023学年广东省河源市龙川县登云中学九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省河源市龙川县登云中学九年级（下）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若，是一元二次方程的两个不同实数根，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列方程是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根 D. 没有实数根

4.  观察下列每组图形，相似图形是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，这个球中只有个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值大约为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定是否有实数根

7.  已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D.

8.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定

9.  下列方程中没有实数根的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，矩形的面积为，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点，则该反比例函数的解析式是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.  若函数是反比例函数，则______．

12.  我市今年对九年级学生进行了物理、化学实验操作考试，其中物实验操作考试有个考题备选，分别记为，，，，学生从中机抽取一个考题进行测试，如果每一个考题抽到的机会均等，那么学生小林抽到考题的概率是______．

13.  如果一元二次方程有两个实数根，，则 ______ ， ______ ．

14.  已知，是一元二次方程的两个根，则 ______ ， ______ ．

15.  如图，，点、分别在、上，如果，，，那么的长为______．

 

16.  已知，是边上的一点，连接，请你添加一个条件，使∽，这个条件可以是______ 写出一个即可

17.  方程的解为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共65.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
．

19.  本小题分
．

20.  本小题分
已知扇形的半径为，为上的任一点不与、重合，，垂足为，，垂足为，连接．
如图，，求证：；
如图，，探索与的数量关系．

 

21.  本小题分
如图，在中，，为上任一点，，垂足为，，分别为，的中点求证：

22.  本小题分
如图，已知梯形中，，又，．
对角线与相交于点，交于点，试求的长．
如图，动点由点出发沿向点移动，速度为单位分，同时动点由点出发沿向点移动，速度为单位分，又与交于点，与交于点猜想：对于动点和在运动过程中的任一时刻分别不与，和，重合，始终有，请加以证明．
设梯形的面积为，试问，在题点，的运动过程中，四边形的面积是否发生变化？如发生变化，请加以说明；如不发生变化，请求出它的面积用的代数式表示．

 

23.  本小题分
一块直角三角形木板的直角边长为，长为要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图所示请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求加工损耗忽略不计

24.  本小题分
正方形中，，点、分别在、边上不与点、重合．

如图，连接，作，交于点若，则______；
如图，连接，将线段绕点顺时针旋转，当点落在正方形上时，记为点；再将线段绕点顺时针旋转，当点落在正方形上时，记为点；依此操作下去，
如图，线段经过两次操作后拼得，其形状为______，在此条件下，求证：；
若线段经过三次操作恰好拼成四边形，
请判断四边形的形状为______，此时与的数量关系是______；
以中的结论为前提，设的长为，四边形的面积为，求与的函数关系式及面积的取值范围．

25.  本小题分
在平面直角坐标系上，已知点，轴于，轴于，直线交于．
如图，若为延长线上一动点，当的面积时，过点作于，点、分别为、上动点，求的最小值及点的坐标．
如图，直线与交于点，作直线轴，在的条件下，将沿方向平移个单位得到，在直线上是否存在点使得为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程的根，
，
，
，
、是一元二次方程的两个根，
，
．
故选：．
先根据一元二次方程的解的定义得到，则，于是原式可化简为，然后根据根与系数的关系得到，再利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．
 

2.【答案】 

【解析】解：、分母上有未知数，不是整式方程，故本选项错误；
B、且时，是关于的一元一次方程，故本选项错误；
C、整理为，是关于的一元二次方程，故本选项正确；
D、是二元二次方程，故本选项错误．
故选：．
根据一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
 

3.【答案】 

【解析】解：
方程有两个相等的实数根．
故选：．
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．
总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

4.【答案】 

【解析】解：两图形形状不同，故不是相似图形，不符合题意；
B.两图形形状不同，故不是相似图形，不符合题意；
C.两图形形状相同，故是相似图形，符合题意；
D.两图形形状不同，故不是相似图形，不符合题意；
故选：．
根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意知，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
故选：．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
由方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出该方程有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
故选：．
根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出方程有两个不相等的实数根，此题得解．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：、，所以方程有两个相等的实数解，所以选项错误；
B、，所以方程没有实数解，所以选项正确；
C、，所以方程有两个不相等的实数解，所以选项错误；
D、方程两个的实数解为，，所以选项错误．
故选：．
分别进行判别式的值，再利用判别式的意义对、、进行判断．利用直接开平方法解方程判断选项．
本题考查了根的判别式：利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作轴于，轴于，如图，
四边形为矩形，点为对角线的交点，
．
，
故该反比例函数的解析式是：．
故选：．
过点作轴于，轴于，根据矩形的性质得，然后根据反比例函数的比例系数的几何意义求解．
本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
根据反比例函数的一般形式：的次数是，且系数不等于，即可求解．
本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式．
 

12.【答案】 

【解析】解：物实验操作考试有个考题备选，且每一个考题抽到的机会均等，
学生小林抽到考题的概率是：．
故答案是：．
根据概率公式解答即可．
此题考查了概率公式，概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】  

【解析】解：根据根与系数的关系可得：，．
题目所求与的结果正好为两根之和与两根之积的形式，根据根与系数的关系，列式计算即可求出与的值．
解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后确定根与系数的关系式．
 

14.【答案】   

【解析】解：原方程整理得，
，．
故答案为：，．
利用根与系数的关系即可得到，．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行线分线段成比例、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出是解决问题的关键．
根据平行线分线段成比例、比例的基本性质解答即可．
【解答】
解：，
，
，
，
故答案为：．  

16.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，
当，或或时，∽，
故答案为：答案不唯一．
根据相似三角形的判定方法解决问题即可．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

17.【答案】， 

【解析】解：，
所以，．
故答案为，．
利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
 

18.【答案】解：，
，
，
． 

【解析】把看作一个整体，利用十字相乘分解因式，即可求解．
本题主要考查解一元二次方程，掌握十字相乘分解因式是关键．
 

19.【答案】解：，
，
，
，． 

【解析】用直接开方法解方程即可．
本题考查直接开方法解一元二次方程，掌握方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图中，连接．

，，
，
，
四边形是矩形，
．

解：连接，延长、交于，

，，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，，
，
 

【解析】证明四边形是矩形即可解决问题．
连接，延长、交于，证明∽，可得解决问题．
本题考查矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
 

21.【答案】解：如图：连接、，
，，为的中点，
，，
，
为的中点，
．
 

【解析】连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后再根据等腰三角形三线合一的性质即可解答．
本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：如图，，

∽，
，
，
，
∽，
，
，
；
证明：如图，设动点、的运动时间为分，由题意得：，，

，，
，
∽，
，
同理：∽，
，
，
，
，
∽，
，
；
解：四边形的面积不发生变化，
，
，
，
，
∽，
，
同理，，
设梯形的高为，则，
，，
，，
，，
 

【解析】由，可得∽，进而可得，再由，可得∽，运用相似三角形性质即可求得答案；
设动点、的运动时间为分，由题意得：，，，，可证得：∽，∽，利用相似三角形性质可得，再结合，可得∽，得出，再利用平行线判定定理即可证得结论；
设梯形的高为，则，，，利用相似三角形性质可得出：，，再由，即可求得答案．
本题是相似三角形综合题，考查了梯形的面积，三角形面积，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，动点运动中的问题等，设运动时间，用含的代数式表示相关线段是解题的关键．
 

23.【答案】解：对于甲图：设正方形的边长为，则，，
，
∽，
，即，解得，
对于乙图：作，交于，如图乙，，
，
，
设正方形的边长为，则，
易得四边形为矩形，
，
，
，
∽，
，即，解得，
，
甲图中的正方形的面积要大，
所以甲同学的加工方法符合要求． 

【解析】对于甲图：设正方形的边长为，则，，证明∽，利用相似比可计算出；对于乙图：作，交于，如图乙，先利用勾股定理计算出，再利用面积法计算出，设正方形的边长为，则，易得，则，接着证明∽，利用相似比可计算出，然后比较和的大小进行判断．
本题考查了相似三角形的应用：常常构造“”型或“”型相似图，然后利用三角形相似的性质计算相应线段的长．也考查了正方形的性质．
 

24.【答案】解： 
等边三角形； 
证明：在正方形中，，
在和中

≌

正方形；
利用中结论，易证、、、均为全等三角形，
，．
．

，
当时，取得最小值；当或时，，
的取值范围为：． 

【解析】解：如图中，

四边形是正方形，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为．

如题图，由旋转性质可知，则为等边三角形．故答案为等边三角形．
证明：在正方形中，，
在和中




四边形的形状为正方形，此时理由如下：
依题意画出图形，如图所示：连接、，作于，于．

由旋转性质可知，，
四边形是菱形，

，
有
，
，
，
，
，
，
四边形的形状为正方形．
即，
，
，，
．
在与中，
，
≌
．
故答案为正方形，．

利用中结论，易证、、、均为全等三角形，
，．
．

，
当时，取得最小值；当时，，
的取值范围为：．
利用勾股定理求出，再利用全等三角形的性质证明即可．
由旋转性质，易得是等边三角形；利用等边三角形的性质、勾股定理求出的长；
四边形是正方形；利用三角形全等证明；
面积的表达式是一个二次函数，利用二次函数的性质求出最值及的取值范围．
本题是几何变换综合题，以旋转变换为背景考查了正方形、全等三角形、等边三角形、勾股定理、二次函数等知识点．着重对于几何基础知识的考查．
 

25.【答案】解：轴于，轴于，
，
四边形是矩形，
，
，，
，，
直线交于，
，
，
．
设，
，
当时，，解得，
，
于，
，
如下图所示，作点关于直线的对称点，作于，交于此时的值最小．

，，
∽，
，
，
，
在中，根据勾股定理，
因此、、三点重合，的最小值为，；
如下图所示，作于，

由题意得，
四边形为矩形
，
，
为等腰直角三角形，，
又，
，
向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，
，
，
，
∽，
，
又，
，即，
设点坐标为，，，，
若，则即，
解得，
若则即，
解得，
若则即，
解得，
综上满足条件的点有五个，坐标为：或或． 

【解析】先分别求得、、三点坐标，根据直线交于，可求点坐标，设，根据可求得点坐标，由此可求得点坐标，作点关于直线的对称点，作于，可得即为的最小值，证明∽，借助相似的性质可求的长度，借助勾股定理求得，由此得出点与点重合，即可得出点坐标；
求出平移后坐标，证明∽，由此可求得点坐标，即可得出点横坐标，设，利用距离公式分别表示，，，利用它们两两相等分三种情况讨论即可．
本题考查了矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，一次函数与几何问题，等腰三角形的定义．中，能根据题中所给条件，求出各个点坐标是解决此问的关键，其次还需理解点到直线的距离，垂线段最短；中能根据等腰三角形的定义分三种情况讨论是解决此题的关键．