2022-2023学年山东省济宁重点学校七年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省济宁重点学校七年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若，则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，≌，，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

3.  如图，已知，，则≌的依据是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图所示，在中，的垂直平分线分别交、于、两点，且，，则的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中(    )

A. 每一个内角都大于 B. 每一个内角都小于
C. 有一个内角大于 D. 有一个内角小于

7.  某超市花费元购进苹果千克，销售中有的正常损耗，为避免亏本其它费用不考虑，售价至少定为多少元千克？设售价为元千克，根据题意所列不等式正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在中，，，以点为圆心，大于的一半且小于等于的长为半径画弧，分别与，交于点，，再以点，为圆心，大于的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，则的长(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若关于的不等式组无解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，，的平分线相交于，过点作，交于，交于，那么下列结论中：；；；的周长，其中正确的有几个(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  在平面直角坐标系中，直线经过点，则关于的不等式的解集是______ ．

12.  如图，是等腰直角三角形，，为中点，，，，则 ______ ．

13.  对于任意实数，，定义一种新运算，其运算法则为，例如：，请根据上述定义解决问题：求不等式的非负整数解______ ．

14.  某商品每件进价元，每件标价元，为了促销，商家决定打折销售，但其利润率不能低于，则这种商品最多可以打______ 折

15.  如图，在平面直角坐标系中，，，点，，在直线上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则第个等腰直角三角形顶点的横坐标为______．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式或不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
；
．

17.  本小题分
如图，已知中，，；
请用尺规作出边的垂直平分线，交于点，交于点，作的平分线，交于点要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
在第的条件下，求出的大小．

18.  本小题分
如图，已知等腰的底边，是腰延长线上一点，连接，且，．
判断的形状，并说明理由；
求的周长．

19.  本小题分
我市在创建全国文明城市过程中，决定购买，两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买种树苗棵，种树苗棵，要元；若购买种树苗棵，种树苗棵，则需要元．
求购买，两种树苗每棵各需多少元？
考虑到绿化效果和资金周转，购进种树苗要多于种树苗，且用于购买这两种树苗的总资金不能超过元，若购进这两种树苗共棵，则有哪几种购买方案？哪种购买方案最省钱？

20.  本小题分
如图，是的角平分线，，，点、为垂足，．
求证：；
若，，求四边形的面积．

21.  本小题分
如图，平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点．
求，的值；
当时，的取值范围是______ ；
请求出当取何值时，满足不等式．

22.  本小题分
某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形如图，在中，，，直线经过点，作直线，直线，垂足分别为点，请说明．
组员小明想，如果三个相等的角不是直角，那么中的结论是否会成立呢？如图，将中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，且请判断是否成立，并说明理由．
数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题如图，，是直线上的两动点三点均在直线上且互不重合，点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，若，请说明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，但是不一定成立，
选项A不符合题意；

，
，
选项B不符合题意；

，
，
，
选项C符合题意；

，
时，，时，，
选项D不符合题意．
故选：．
根据，应用不等式的性质，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

2.【答案】 

【解析】解：≌，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
由≌，得到，，因此，由三角形内角和定理求出，而，即可得到，从而得到．
本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质得到．
 

3.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌；
故选：．
根据全等三角形的判定定理可进行求解．
本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由得，
所以不等式组的解集为，
在数轴上的表示为：

故选：．
先求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

5.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
，，
的周长



，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质可得，然后利用等量代换可得的周长，进行计算即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都小于，
故选：．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
 

7.【答案】 

【解析】解：设售价为元千克，
根据题意得：．
故选：．
售价为元千克，因为销售中有的水果正常损耗，故千克苹果损耗后的质量为，根据题意列出不等式即可．
本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，根据“去掉损耗后的售价进价”列出不等式即可求解．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
根据基本作图得平分，
，
，
，
．
故选：．
根据直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，角平分线的定义，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组无解，
，
故选：．
按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，，
中，与的平分线交于点，
，，
，，
，，
即和都是等腰三角形；
故正确；
不一定等于，
不一定等于，
与不一定相等，
与不一定相等，故错误．
在中，和的平分线相交于点，
，
，
；故正确；
的周长为：；
故正确；
故选：．
由中，与的平分线交于点，，易证得和都是等腰三角形，继而可得，又由的周长为：；即可得的周长等于与的和．
此题考查了等腰三角形的性质与判定以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
 

11.【答案】 

【解析】解：将代入得，
，
即，
，
，
即不等式的解集是．
故答案为：．
把代入解析式后求出不等式的解集即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系的应用，本题也可作出函数的草图，利用函数的图象解决问题；能把语言和图形结合起来解决问题是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：延长至点，使得，连接，，

在和中，
，
≌，
，，
，
，即，
，，
．
故答案为：．
延长至点，使得，连接，，易证≌，可得，，可证明，再根据等腰三角形底边三线合一性质可得，即可求得的长，即可解题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，本题中求证≌是解题的关键．
 

13.【答案】，， 

【解析】解：，
，
，
，
，
该不等式的非负整数解为，，，
故答案为：，，．
根据定义的新运算可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，实数的运算，理解定义的新运算是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设这种商品打折出售，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为，即这种商品最多可以打折．
故答案为：．
设这种商品打折出售，利用利润售价进价，结合利润率不能低于，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
为等腰直角三角形，
，
同理可得：，，，
，，，，
，，，，
的横坐标为，
故答案为：．
先求出、、的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．
本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：，
．
，
，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：

，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
 

【解析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，、为所作；

垂直平分，
，
，
平分，
，
． 

【解析】利用基本作图作的垂直平分线和作的平分线即可；
先根据线段垂直平分线的性质得到，则，再根据角平分线的定义得到，然后计算即可．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

18.【答案】解：是直角三角形，
理由是：，，，
，
，
即是直角三角形；

设，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
的周长． 

【解析】根据勾股定理的逆定理得出答案即可；
根据勾股定理求出，再求出的周长即可．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．
 

19.【答案】解：设购买种树苗每棵需元，种树苗每棵需元，
依题意得，
解得．
答：购买种树苗每棵需元，种树苗每棵需元．
设购进种树苗棵，则购进种树苗棵，
依题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为，，，
共有种购买方案，
方案：购进种树苗棵，种树苗棵；元，
方案：购进种树苗棵，种树苗棵；元，
方案：购进种树苗棵，种树苗棵．元，
购进种树苗棵，种树苗棵最省钱． 

【解析】设购买种树苗每棵需元，种树苗每棵需元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
设购进种树苗棵，则购进种树苗棵，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键．
 

20.【答案】证明：平分，，，
，，
在和中，
，
≌，
；
解：，，
，
，，
≌，
，
≌，
，
四边形的面积．
答：四边形的面积是． 

【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出；
由勾股定理求出，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．
本题考查了勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识；作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：把代入得：，
把代入得：，
解得．
即的值为，的值为；
由图象可知当时，的取值范围是．
故答案为：；
由图象可知当时，满足不等式．
把代入，求出，再把代入，即可求出；
根据图象找出直线不在直线上方的部分对应的自变量的取值范围即可；
根据图象找出直线与直线均落在轴上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
本题考查两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了一次函数一元一次不等式，利用数形结合的思想是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
直线，直线，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
；

解：成立，理由如下：
，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
；

证明：同可得≌，
，
和均为等边三角形，
，，
，
，即，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据证明≌，得出，，等量代换可得；
根据可证，再根据证明≌，得出，，等量代换可得；
同可得≌，推出，再根据和均为等边三角形，推出，，进而可得，根据证明≌，即可得出．
本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，熟练运用“一线三等角”模型．