2022-2023学年吉林省长春108中八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省长春108中八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  从一台对讲机发出无线电信号到外的另一台对讲机接收到该信号，大约需要，用科学记数法表示外的一台对讲机接收到该信号大约需要(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列函数中，函数值随的增大而减小的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，下列变形正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若，是方程的两个根，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在平行四边形中，平分且交于点，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，点在反比例函数，的图象上，点在反比例函数的图象上，轴于点且，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  使有意义的的取值范围是______ ．

10.  为了增强青少年的防毒意识，学校举办了一次“禁毒教育”演讲比赛．某位选手的演讲内容，语言表达，演讲技巧这三项得分别为为分，分，分，若依次按，，的比例确定成绩，则该选手的比赛成绩是______分．

11.  如图，直线，直线分别交，，于点，，直线分别交，，于点，，，，，，则的长为______ ．

12.  已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．

13.  如图，在平面直角坐标系中，已知直线和直线交于点，若关于、的二元一次方程组的解为、，则______．

14.  如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，点的坐标为若直线与正方形有两个公共点，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．
化简：．

16.  本小题分
用适当的方法解下列方程：
；
；
．

17.  本小题分
哈市某展览馆计划将长米，宽米的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是个平方米的矩形展览区，四周留有等宽的通道求通道的宽为多少米？

18.  本小题分
如图，四边形平行形，点在边上，点在对角线上，，．
求证：∽；
若，，，直接写出的长______ ．

19.  本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．

在图中画线段，点在边上，点在边上，且．
在图中的线段上找一点，使．
在图中画一条线段，将线段分为：的两部分要求：点、均在格点上

20.  本小题分
某中学对全校学生进行了一次革命传统和中华优秀传统文化宣讲活动，为了解宣讲效果，校学生会随机从八、九年级各抽取名学生进行问卷测试满分：分，测试成绩均为整数，并将测试结果进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：

八年级抽取的名学生的测试成绩分别是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
八、九年级抽取的学生测试成绩统计表：

根据以上信息，解答下列问题：
直接写出上表中 ______ ， ______ ， ______ ；
根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的测试成绩较好？请说明理由写出一条理由即可；
该校八、九年级共有学生人，估计此次八、九年级学生问卷测试成绩在分及以上的学生有多少人？

21.  本小题分
一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，在整个过程中进水速度不变，同时修船过程中排水速度不变，船修好后不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，直到将船内积水排尽设轮船触礁后船舱内积水量为，时间为，与之间的函数图象如图所示．
修船过程中排水速度为______ ，的值为______ ．
求修船完工后与之间的函数关系式并写出自变量的取值范围．
当船内积水量是船内最高积水量的时，直接写出的值．

22.  本小题分
【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容．

【定理证明】小明根据教材图的提示，证明过程为：
延长至点，使，连接、，
结合图帮助小明完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明．
【定理应用】如图，在中，，垂足为点点在边上，是边的中线，垂直平分，则与的关系为______ ．
【拓展提高】如图，在中，，，恰好是边上中线，则的度数为______ 在直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半

 

23.  本小题分
直线与轴交于点，与轴交于点，菱形如图放置在平面直角坐标系中，其中点在轴负半轴上，直线经过点，交轴于点．
请直接写出点，点的坐标，并求出的值；
点是线段上的一个动点点不与、重合，经过点且平行于轴的直线交于，交于当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
点是轴正半轴上的一个动点，是平面内任意一点，为何值时，以点、、、为顶点的四边形是菱形？

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，对于任意图形及直线，，给出如下定义：将图形先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形的伴随图形．
例如：点的轴，轴轴伴随图形是点．
点的轴，轴伴随图形点的坐标为______ ；
若直线的解析式为：，则点的轴，伴随图形点的坐标为______ ；
已知，，，直线经过点．
当，且直线与轴平行时，点的轴，伴随图形点的坐标为______ ；
当，点的轴，伴随图形点的坐标为，求直线的解析式______ ；
当直线经过原点时，的轴，伴随图形上只存在两个与轴的距离为的点，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：负数小于，正数大于；
，，，．
．
故选：．
负数小于，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，故分别求得几个负数的绝对值，则可得答案．
本题考查了实数大小比较，属于基础知识的考查，比较简单．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项，的函数值随着增大而增大，
故A不符合题意；
选项，的函数值随着增大而减小，
故B符合题意；
选项，在每一个象限内，的函数值随着增大而减小，
故C不符合题意；
选项，在每一个象限内，的函数值随着增大而增大，
故D不符合题意，
故选：．
根据反比例函数的性质和正比例函数的性质分别判断即可．
本题考查了反比例函数的性质，正比例函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据比例的性质进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个根，
，，
故选：．
根据一元二次方程根与系数的关系进行判断即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，应掌握：设，是一元二次方程的两个实数根，则，．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分且交于点，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质得，，则，而，所以，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由菱形的性质得出，由菱形的面积得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴于点，
，，
：：：，
：：：，
：：，
，
反比例函数的图象在第四象限，
，
．
故选：．
先根据反比例函数的比例系数的几何意义，可知，，则：：，再根据同底的两个三角形面积之比等于高之比，得出：：：，则：：，然后根据反比例函数的图象所在的象限，即可确定的值．
本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度中等，得到：：，是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：有意义，
，
．
故答案为：．
根据分式有意义的条件解答即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意，则该名考生的综合成绩为：


分．
故答案为：．
根据加权平均数的计算方法求值即可．
本题考查了加权平均数．掌握加权平均数的算法是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
解得：．
故答案为：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

13.【答案】 

【解析】解：直线和直线交点的坐标为，
的解为．
，
故答案为：．
直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得出、的值，再代入计算即可．
本题考查了代数式求值，一次函数与二元一次方程组的关系：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
 

14.【答案】 

【解析】解：正方形的边长为，点的坐标为，
，
当直线经过点时，，此时，
当直线经过点时，，此时．
直线与正方形有两个公共点，则的取值范围是．
故答案是：．
当直线过，时，求得，即可得到结论．
此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式．
 

15.【答案】解：原式

．
原式


． 

【解析】根据二次根式的除法法则可解决问题．
先将异分母分式化为同分母分式，相加之后再约分即可．
本题考查二次根式的计算及分式的加减法，熟知二次根式的除法法则即分式的通分和约分是解题的关键．
 

16.【答案】解：方程两边都乘以得：，
解这个方程得：，
检验：当时，，
所以是原方程增根，原方程无解．
，
开方得：，
所以或，
解得：，；
移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，． 

【解析】方程两边同时乘化成整式方程，然后解这个方程并检验即可；
方程利用直接开配方法求出解即可；
方程利用配方法求出解即可．
此题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

17.【答案】解：设通道的宽为米，则展览区的长为米，宽为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：通道的宽为米． 

【解析】设通道的宽为米，则展览区的长为米，宽为米，根据矩形展览区的面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∽；
解：∽，
，
，，，
，
．
由及平行四边形的性质得出，再由，即可证明∽；
由∽得出，将有关数据代入计算，即可求的长．
本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握并会应用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图中，线段即为所求；

如图中，点即为所求；

如图中，线段即为所求．
 

【解析】作出的中位线即可；
取格点，，连接交于点，点即为所求；
利用平行线分线段成比例定理求解即可．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】     

【解析】解：由条形统计图可知，九年级学生中分人数出现次数最多，因此九年级学生成绩的众数为；将八年级学生成绩按大小顺序排列，位于中间两个数分别为：，，
八年级学生中位数，
将九年级学生成绩按大小顺序排列，位于中间两个数分别为：，，
九年级学生中位数；
故答案为：；；．
九年级成绩较好，理由如下：因为九年级学生中位数大于八年级学生中位数，说明九年级学生高分人数多于八年级学生，且九年级学生众数大于八年级学生众数；所以九年级学生成绩交好．
由题意，抽出学生中，九年级在分及以上的学生有人，八年级在分及以上的学生有人，
人，
估计此次八、九年级学生问卷测试成绩在分及以上的学生有人．
根据众数、中位数的定义即可得出答案；
根据中位数、众数进行比较，得出结论；
根据总人数乘以百分比即可得出答案．
本题考查数据的整理和分析，条形统计图、统计表，熟练掌握中位数、众数的意义，并能通过已有数据进行估算是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：由题意可知，修船共用了：分钟，
修船过程中进水速度为：吨分钟，
修船过程中，排水速度是吨分钟，
修船完工后船不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，
修船完工后，排水速度是．
．
故答案为：；．
设修船完工后与之间的函数关系式为，
由题意，得，
解得．
修船完工后与之间的函数关系式为；
在修船过程中，当船内积水量是船内最高积水量的时，可得，
解得；
修船完工后，当船内积水量是船内最高积水量的时，可得，
解得．
故的值为或．
修船共用了分钟，修船过程中进水速度为：吨分钟，修船过程中，排水速度是吨分钟，；
利用待定系数法求解即可；
分修船过程和修船完工后两种情况解答．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，掌握待定系数法求函数关系式．
 

22.【答案】   

【解析】【定理证明】证明：延长到，使，连接，，
则，
是斜边上的中线，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是矩形，
，
；
【定理应用】解：，理由如下：
连接，

是边上的中线，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
故答案为：；
【拓展提高】解：过点作于，连接，

在中，，
，
，点是的中点，
，
，
为等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【定理证明】通过证明四边形是矩形，可得结论；
【定理应用】由直角三角形的性质可得，可得，由等腰三角形的性质和外角的性质可得结论；
【拓展提高】过点作于，连接，证明为等边三角形，得到，证明，得到，结合图形计算，得到答案．
本题是三角形综合题，考查的是直角三角形的性质，矩形的判定和性质．三角形的外角性质，正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：与轴交于点，与轴交于点，
当时，，
当时，，
，，
由勾股定理得，，
四边形是菱形，
，
，
，，
将代入得，，
；
，
，
，
点，
设，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
解得，
；
点、、、为顶点的四边形是菱形，
是等腰三角形，
当时，，
，
，
当时，则点与重合，
；
当时，则，
解得，
综上：或或时，以点、、、为顶点的四边形是菱形． 

【解析】首先求出点、的坐标，再利用勾股定理求出的长，再根据菱形的性质可得答案；
表示出设，，得，根据，可得答案；
若点、、、为顶点的四边形是菱形，则是等腰三角形，分或或三种情形，分别求出的值．
本题是一次函数综合题，主要考查了直线上点的坐标的特征，平行四边形的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等知识，将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题是解题的关键．
 

24.【答案】       

【解析】解：将点沿轴翻折得到，再沿轴翻折得出的坐标为，
故答案为：；
将点先沿轴翻折得到，再沿直线翻折得出的坐标，
故答案为：；
当时，，
直线与轴平行，
直线的解析式为，
点的轴，伴随图形点的坐标，
故答案为：；
，
将点沿轴翻折得到，
和的中点坐标为，
直线过点，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
故答案为：；
直线经过原点，且经过点，
直线为，
由题意知，、、三点沿轴翻折点坐标依次表示为：、、，
A、、三点沿直线翻折点坐标依次表示为：、、，
的轴，伴随图形上只存在两个与轴的距离为的点，
或，
解得：或．
将点先沿轴翻折，再沿轴翻折得出的坐标即可；
将点先沿轴翻折，再沿直线翻折得出的坐标即可；
先得出点的坐标和直线的解析式，然后翻折得出的坐标即可；
先求出点沿轴翻折后的点的坐标，得出和的中点坐标，再用待定系数法求出直线的解析式即可；
先求出直线的解析式，再求出的轴，伴随图形上各顶点的坐标，根据只存在两个与轴的距离为的点列不等式求解即可．
本题主要考查几何变换综合题，正确理解伴随图形的概念是解题的关键．