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2022-2023学年吉林省长春市汽开区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年吉林省长春市汽开区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省长春市汽开区八年级（下）期末数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使二次根式 x−2有意义，则x的取值范围是( )
A. x<2 B. x>2 C. x≤2 D. x≥2
2. 为了落实“双减”政策，增强学生体质，某校篮球兴趣小组开展投篮活动，六名选手投中篮备的个数分别为5，6，6，6，7，8，则这组数据的众数是( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3. 下列图形中，可以表示y是x的函数的是( )
A. B. C. D.
4. 如图，在▱ABCD中，AE平分∠DAB交CD于点E，AB=7，BC=4，则CE的长度为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 如图，两条宽为1的纸带交叉叠放，则重叠部分的面积( )
A. 有最小值1
B. 有最大值1
C. 有最小值 2
D. 有最大值 2
6. 爷爷饭后出去散步，从家里出发20分钟后到一个离家900米的街心花园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家里.下面图形中表示爷爷离家的距离y(米)与离家时间x(分)之间函数关系的是( )
A. B.
C. D.
7. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，且BE=2OE.若AE=4，则OA的长为( )
A. 3 2
B. 2 3
C. 2
D. 2 2
8. 如图，函数y=1x(x>0)和y=4x(x>0)的图象分别是l1和l2.设点P在l2上，PA//y轴交l1于点A，PB//x轴交l1于点B，则△PAB的面积为( )
A. 1
B. 4
C. 98
D. 34
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 计算： 3× 6= ______ ．
10. 在平面直角坐标系中，点A(3,m+2)在第四象限，则m的取值范围是______ ．
11. 如图是甲、乙两名同学的8次射击训练成绩的折线统计图，他们的平均成绩相同，若要从这两位同学中选一名成绩较为稳定的同学参加学校运动会的射击项目，则应选______．
12. 如图，菱形ABCD的周长为8 5，对角线AC和BD相交于点O.若AC：BD=1：2，则菱形ABCD的面积为______ ．
13. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点P在正方形ABCD内，△PBC是等边三角形，则△PBD的面积为______ ．
14. 如图，已知A(4,0)，B(4,4)，直线y=kx+4与x轴正半轴交于点C，与y轴交于点D，将线段CD绕着点C顺时针旋转90°，点D落在点E处，连接AE，BE，若△AEB为等腰三角形，则k的值为______．
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题6.0分)
计算：
(1) 2( 2− 3)；
(2) 27−12− 3．
16. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形．
17. (本小题6.0分)
图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点.只用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
(1)在图①中，点A、B均在格点上，画出一个直角三角形ABC，要求BC、AC两边均是无理数．
(2)在图②中画出一个面积为5的正方形DEFG．
18. (本小题7.0分)
已知一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=mx(m≠0)相交于A、B两点，且A点坐标为(1,3)，B点的横坐标为−3．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式．
(2)根据图象直接写出使得kx+b
19. (本小题7.0分)
如图，在▱ABCD中，AD>CD，CE平分∠BCD交AD于点E，过点E作EF//CD交BC于点F，连结DF交CE于点O，过点O作OG⊥CF于点G．
(1)求证：四边形CDEF是菱形．
(2)若CE=16，DF=12，求OG的长．
20. (本小题8.0分)
某教育局为了解初中毕业年级学生的体质情况，从某校九年级学生中随机抽取20%的学生进行体质监测.根据《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准：90分及以上为优秀；80分～89分为良好；60分～79分为及格；60分以下为不及格，将测试成绩制成如下图表．
各等级学生频率分布表
成绩
频数
频率
优秀
16
b
良好
a
0.24
及格
18
0.36
不及格
4
0.08
请根据图表信息回答下列问题：
(1)表格中的a= ______ ，b= ______ ．
(2)已知“80分～89分”这组的数据如下：81，83，84，85，85，81，80，86，87，88，83，85，则所抽取的这些学生体质监测成绩的中位数是______ ．
(3)求参加本次体质监测的学生的平均成绩x−．
(4)请估计该校九年级体质监测成绩未达到“良好”等级及以上的学生人数．
21. (本小题8.0分)
甲骑自行车匀速由A地驶向B地执行任务，乙骑摩托车匀速由A地驶向B地取文件后立即按原速原路返回(取文件的时间忽略不计)，甲、乙行驶过程中离A地的距离s(km)与甲行驶时间t(h)的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
(1)甲、乙两人中，______ (填“甲”或“乙”)出发时间早，早______ 小时．
(2)求乙从A地驶向B地时s与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
(3)乙从B地返回A地时，请先画出其函数图象并求乙与甲相遇时t的值．
22. (本小题8.0分)
综合与实践
【操作感知】如图①，在矩形纸片ABCD的AD边上取一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连结PM、BM.∠DPM=60°，则∠MBC的大小为______ 度.
【迁移探究】如图②，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片ABCD按照【操作感知】进行折叠，并延长PM交CD于点Q，连结BQ．
(1)判断△MBQ与△CBQ的关系并证明．
(2)若正方形ABCD的边长为4，点P为AD中点，则CQ的长为______ ．
23. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，函数y=kx(k>0,x>0)的图象与BC边相交于点M(点M不与点B重合)，与AB边相交于点N．
(1)如图①，若点B的坐标为(4,2)，M为CB中点，求k的值和点N的坐标．
(2)如图②，连结OB，过点M作MQ⊥OB，垂足为Q.若k=1，MB=2CM时，设OB长为m，MQ长为n，求m与n的函数关系式．
24. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系中，点P的坐标为(x1,y1)，点Q的坐标为(x2,y2)，且x1≠x2，y1≠y2.若P、Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P、Q的“相关矩形”，如图①为点P、Q的“相关矩形”示意图.若点P(1,0)，点Q(m,5)．
(1)当m=3时，在图②中画出点P、Q的“相关矩形”并求它的周长．
(2)若点P、Q的“相关矩形”为正方形，求m的值．
(3)已知一次函数y=−2x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，若在线段AB上存在一点C，使得点C、Q的“相关矩形”是正方形．
①点A的坐标为______ ，点B的坐标为______ ．
②直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵二次根式 x−2有意义，
∴x−2≥0，
解得：x≥2，
故选：D．
利用当二次根式有意义时，被开方式为非负数，得到有关x的一元一次不等式，解之即可得到本题答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，此类考题相对比较简单，但从近几年的中考看，几乎是一个必考点．
2.【答案】B
【解析】解：5，6，6，6，7，8，这组数据中，6出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为6，
故选：B．
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数进行求解即可．
本题主要考查了求一组数据的众数，熟知众数的定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：由函数的定义，可知C选项中，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，符合函数定义，
故选：C．
根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，结合函数图象即可解答．
本题考查函数的定义，理解函数的定义，再结合函数图象解题是关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，DC=AB=7，AD=BC=4，
∴∠DEA=∠BAE，
∵AE平分∠DAB交CD于点E，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠DEA=∠DAE，
∴AD=ED=4，
∴CE=DC−ED=7−4=3，
故选：A．
由四边形ABCD是平行四边形，得DC//AB，DC=AB=7，AD=BC=4，所以∠DEA=∠BAE，而∠DAE=∠BAE，则∠DEA=∠DAE，所以AD=ED=4，则CE=DC−ED=3，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，证明AD=ED是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
根据题意得：AD//BC，AB//CD，BE=BF=1，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，
∴∠EAB=∠BCF，
在△ABE与△CBF中，
∠AEB=∠BFC=90°∠EAB=∠FCBBE=BF，
∴△ABE≌△CBF(AAS)，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=1sin∠BAE，
∴S菱形ABCD=AD⋅BE=1sin∠BAE，
∴当∠BAE=90°时，重叠部分的面积有最小值是1，
故选：A．
首先过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案．
此题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：依题意，0−20分钟散步，离家路程增加到900米，
20−30分钟朋友聊天，离家路程不变，
30−45分钟返回家，离家路程减少为0米．
故选：B．
爷爷散步的时间段看，分为0−20分钟散步，20−30分钟朋友聊天，30−45分钟返回家，按时间段把函数图象分为三段．
此题主要考查利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
7.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=CO=BO=DO，
∵BE=2OE．
∴BO=3OE=OA，
在Rt△AOE中，AE2+EO2=AO2，
∴16+OE2=9OE2，
∴OE= 2，
∴OA=30E=3 2，
故选：A．
由矩形的性质可得AC=BD，AO=CO=BO=DO，由勾股定理可求OE的长，即可求解．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，由勾股定理求出BE的长是解决问题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图，延长PA、PB分别交x轴，y轴于点C、D，连接OA、OB，
设点A的横坐标为x，则点A的纵坐标为1x，点P的纵坐标为4x，
∴PA=PC−AC=4x−1x=3x，
∵点B在反比例函数y=1x的图象上，点B的纵坐标为4x，
∴点B的横坐标为14x，
即BD=14x，
∴PD=PB−BD=x−14x=34x，
∴S△PAB=12PA⋅PB
=12×3x×34x
=98，
故选：C．
根据反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，设点A的横坐标为x，用含有x的代数式表示PA、PB，再利用三角形面积公式进行计算即可．
本题考查反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，设点A的横坐标为x，根据反比例函数图象上点的坐标特征用含有x的代数式表示出PA、PB是解决问题的关键．
9.【答案】3 2
【解析】解：原式= 3×6
= 2×9
=3 2，
故答案为：3 2．
根据二次根式的乘法，先把被开方数相乘，再进行二次根式的化简．
本题考查了二次根式的乘除法，是基础知识比较简单，要识记．
10.【答案】m<−2
【解析】解：∵点A(3,m+2)在第四象限，
∴m+2<0，
解得：m<−2，
故答案为：m<−2．
根据平面直角坐标系中第四象限点的坐标特征(+,−)可得m+2<0，然后进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
11.【答案】乙
【解析】解：由图象看作，乙的波动比甲小，即乙的方差小于甲．
所以乙的成绩比甲稳定，
所以若要从这两位同学中选一名成绩较为稳定的同学参加学校运动会的射击项目，则应选乙．
故答案为：乙．
根据图形波动的大小可直接得出答案．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12.【答案】16
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，BO=DO，
∴AC=2AO，BD=2BO，
∴AO：BO=1：2；
∵菱形ABCD的周长为8 5，
∴AB=2 5，
∵AO：BO=1：2，
∴AO=2，BO=4，
∴AC=4，BD=8，
∴菱形ABCD的面积S=4×82=16，
故答案为：16．
由菱形的性质可知：对角线互相平分且垂直又因为AC：BD=1：2，所以AO：BO=1：2，再根据菱形的面积为两对角线乘积的一半计算即可．
本题考查了菱形性质和勾股定理，注意：菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边相等和菱形的面积为两对角线乘积的一半．
13.【答案】 3−1
【解析】解：∵△PBC是等边三角形，
∴点P在BC的垂直平分线上，
∴点P到CD的距离为1，
∴S△PCD=12×2×1=1，
S△PBC=12×2× 3= 3，
S△BCD=12×2×2=2，
∴△PBD的面积为S△PBC+S△PCD−S△BCD= 3+1−2= 3−1，
故答案为： 3−1．
△PBD的面积为S△PBC+S△PCD−S△BCD，根据题意分别求出这三个三角形的面积即可解答．
本题考查正方形的性质和三角形的面积，找出三角形面积之间的关系是解题关键．
14.【答案】−2
【解析】解：作EM⊥AB于M，EN⊥x轴于N，
∵A(4,0)，B(4,4)，
∴AB⊥x轴，AB=4，
∵△AEB为等腰三角形，
∴AM=BM，
∴M(4,2)，
∴E点的纵坐标为2，即EN=2，
∵∠DCE=90°，
∴∠DCO+∠ECN=90°，
∵∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠ECN=∠CDO，
在△ECN和△CDO中，
∠ECN=∠CDO∠CNE=∠DOC=90°CE=DC，
∴△ECN≌△CDO(AAS)，
∴OC=EN=2，
∴C(2,0)，
代入y=kx+4得，0=2k+4，
解得k=−2，
故答案为：−2．
作EM⊥AB于M，EN⊥x轴于N，由等腰三角形的性质即可求得E的纵坐标，然后通过证得△ECN≌△CDO求得OC=EN=2，得到C(2,0)，代入解析式即可求得k的值．
本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形变化−旋转，三角形全等的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征，求得E点的纵坐标是解题的关键．
15.【答案】解：(1)原式=2− 6；
(2)原式=3 3−(2+ 3)
=3 3−2− 3
=2 3−2．
【解析】(1)直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案；
(2)直接利用二次根式的性质以及分母有理化分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
16.【答案】证明：在▱ABCD中，DC//AB，DC=AB，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴EB//FD，EB=FD，
∴四边形EBFD是平行四边形．
【解析】由平行四边形的性质得出AB=CD，BE//DF，证出BE=DF，即可得出四边形EBFD是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
17.【答案】解：如下图：
(1)如图①，△ABC1，△ABC2即为所求；
(2)如图②，正方形DFEG即为所．
【解析】(1)根据勾股定理的性质和直角三角形的判定定理作图；
(2)根据勾股定理的性质及正方形的面积公式作图．
本题考查了作图的应用和设计，掌握勾股定理、直角三角形的判定定理和正方形的判定定理是解题的关键．
18.【答案】(1)将点A(1,3)代入y=mx，
解得：m=3．
∴反比例函数解析式为y=3x．
∵点B的横坐标为−3，
∴点B坐标(−3,−1)．
把A(1,3)，B(−3,−1)代入y=kx+b得：
k+b=3−3k+b=−1，
解得：k=1b=2，
∴一次函数的解析式为y=x+2；
(2)由图象可知kx+b
(2)观察图象kx+b
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵EF//CD，
∴四边形CDEF为平行四边形，
∵CE平分∠BCD，
∴∠ECB=∠ECD，
∵AD//BC，
∴∠ECB=∠DEC，
∴∠ECD=∠DEC，
∴CD=DE，
∴四边形CDEF是菱形；
(2)解：∵四边形CDEF为菱形，
∴EO=CO=12CE=12×16=8，DO=FO=12DF=12×12=6，CE⊥DF，
在Rt△COF中，由勾股定理得：CF= CO2+FO2= 82+62=10，
∵OG⊥CF，
∴S△COF=12CO⋅FO=12CF⋅OG，
∴OG=CO⋅FOCF=8×610=245．
【解析】(1)证四边形CDEF为平行四边形，再证∠ECD=∠DEC，则CD=DE，然后由菱形的判定即可得出结论；
(2)由菱形的性质得EO=CO=12CE=8，DO=FO=12DF=6，CE⊥DF，再由勾股定理得CF=10，然后由三角形面积即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】12 0.32 82
【解析】解：(1)抽取的学生总人数为4÷0.08=50(人)，
a=50−(4+18+16)=12，
b=1−(0.08+0.36+0.24)=0.32．
故答案为：12，0.32；
(2)将九年级学生测试成绩为“80分～89分”这组的数据重新排列为80，81，81，83，83，84，85，85，85，86，87，88，
不及格和及格段的学生一共有4+18=22(人)，优秀的学生有16人，
∴所抽取的50名学生测试成绩中间的两个数分别是是81分和83分，
∴所抽取的50名学生测试成绩的中位数应该是(81+83)÷2=82(分)，
故答案为：82；
(3)x−=(92×16+84×12+70×18+45×4)÷50=78.4．
答：参加本次体质监测的学生的平均成绩为78.4．
(4)(4+18)÷20%=110(人)．
答：该校九年级体质监测成绩未达到“良好”等级及以上的学生人数约为110人．
(1)根据不及格的人数及其对应频率可得抽取的学生总人数，根据各组频数之和等于数据总数可得a的值，根据各组频率之和等于1可得b的值；
(2)根据中位数的意义进行解答即可；
(3)根据平均数公式计算即可；
(4)用样本中成绩为未达到“良好”等级及以上的学生数除以20%即可．
本题考查统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数的意义是正确解答的前提，用到样本估计总体是统计中常用的方法．
21.【答案】甲 2
【解析】解：(1)由图象可知，甲、乙两人中甲出发时间早，早2小时，
故答案为：甲，2；
(2)设乙从A地驶向B地时s与t之间的函数关系式为s=kt+b(k≠0)，
将(2,0)、(4,80)代入，得2k+b=04k+b=80
解得k=40b=−80
∴乙从A地驶向B地时s与t之间的函数关系式为s=40t−80(2≤x≤4)；
(3)画出函数图象如图：
甲从A地驶向B地时的速度为806=403(km/h)，
∴403t+40(t−2)=2×80，
解得t=4.5．
答：乙从B地返回A地时，与甲相遇时t的值为4.5．
(1)由图象直接得出结论；
(2)用待定系数法求函数解析式即可；
(3)根据相遇时两人的路程之和为2×80列出方程，解方程即可．
本题考查一次函数的应用，根据题意明确图象中得信息是解题关键．
22.【答案】30 43
【解析】解：【操作感知】：由折叠知，∠APB=∠MPB，∠ABP=∠MBP，∠A=∠M=90°，
∵∠DPM=60°，
∴∠APB=∠MPB=(180°−∠DPM)÷2=60°，
∴∠ABP=∠MBP=30°，
∴∠MBC=90°−∠ABP−∠MBP=30°，
故答案为：30；
【迁移探究】(1)判断：△MBQ≌△CBQ，
证明：∵正方形纸片ABCD按照【操作感知】进行折叠，
∴AB=BM=BC，∠A=∠BMP=∠BMQ=∠C=90°
在Rt△MBQ和Rt△CBQ中，
BQ=BQBM=BC，
∴Rt△MBQ≌Rt△CBQ(HL)，
即△MBQ≌△CBQ；
(2)设CQ的长为x，
∵正方形ABCD的边长为4，点P为AD中点，
∴DQ=4−x，MQ= BQ2−BM2= BC2+CQ2−BM2=x，PM=AP=12×4=2，
在Rt△PDQ中，PQ2=PD2+DQ2，
即(2+x)2=22+(4−x)2，
解得x=43，
故答案为：43．
操作感知：根据折叠求出∠ABP=∠MBP=30°，即可得出结论；
迁移探究：(1)根据HL证Rt△MBQ≌Rt△CBQ即可；
(2)设CQ的长为x，则DQ=4−x，MQ= BQ2−BM2= BC2+CQ2−BM2=x，利用勾股定理求出x的值即可．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，长方形的性质，全等三角形的判定等知识是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵点B的坐标为(4,2)，M为CB中点，
∴M的坐标为(2,2)，
将M点的坐标代入y=kx得，k=2×2=4，
∴y=4x，
∴当x=4时，y=1，
∴N的坐标为(4,1)；
(2)连结OM，设M的坐标为(t,1t)，B的坐标为(3t,1t)，
∴S△OBC=12⋅3t⋅1t=32，
∴S△OBC=S△OMC+S△OBM=12⋅t⋅1t+12⋅m⋅n=32，
∴mn=2，即m=2n．
【解析】(1)根据题意得到M(2,2)，然后利用待定系数法即可求得k，进一步求得点N的坐标；
(2)连结OM，设M的坐标为(t,1t)，B的坐标为(3t,1t)，利用S△OBC=S△OMC+S△OBM得到12⋅t⋅1t+12⋅m⋅n=32，进一步得到m与n的函数关系式．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，三角形面积，正确表示出点的坐标是解题的关键．
24.【答案】(2,0) (0,4)
【解析】解：(1)当m=3时，Q(3,5)，点P、Q的“相关矩形”PDQE如图所示：
∵四边形PDQE是矩形，
∴PE=DQ=5，PD=EQ=2，
∴矩形PDQE的周长=2×(5+2)=14．
(2)∵P(1,0)，Q(m,5)，DQ⊥x轴，PE⊥x轴，EQ⊥y轴，PD⊥y轴，
∴D(m,0)，E(1,5)，
∴PD=|m−1|，PE=5，
∵四边形PDQE是正方形，
∴PD=PE，
∴|m−1|=5，
∴m=6或−4．
(3)①在一次函数y=−2x+4中，令x=0，得y=4，令y=0，得x=2，
∴A(2,0)，B(0,4)，
故答案为：(2,0)(0,4)．
②如图，
∵点C线段AB上，
∴设C(n,−2n+4)，且0≤n≤2，
则D(m,−2n+4)，E(n,5)，
∴CD=|m−n|，CE=5−(−2n+4)=2n+1，
∵点C、Q的“相关矩形”是正方形，即四边形CDQE是正方形，
∴CD=CE，即|m−n|=2n+1，
∴m=3n+1或m=−n−1，
当m=3n+1时，
∵0≤n≤2，
∴1≤3n+1≤7，
即1≤m≤7；
当m=−n−1时，
∵0≤n≤2，
∴−3≤−n−1≤−1，
即−3≤m≤−1；
综上所述，m的取值范围为−3≤m≤−1或1≤m≤7．
(1)根据点P、Q的“相关矩形”的定义画出图形，利用矩形的周长公式即可求得点P、Q的“相关矩形”的周长．
(2)利用点P、Q的“相关矩形”的定义可得：D(m,0)，E(1,5)，即PD=|m−1|，PE=5，根据正方形的性质可得PD=PE，即|m−1|=5，解方程即可得出答案．
(3)设C(n,−2n+4)，且0≤n≤2，则D(m,−2n+4)，E(n,5)，可得CD=|m−n|，CE=5−(−2n+4)=2n+1，根据正方形性质可得CD=CE，即|m−n|=2n+1，得出m=3n+1或m=−n−1，利用不等式性质即可求得答案．
本题考查新定义问题，涉及一次函数的图象和性质，矩形的性质，正方形的性质，解答本题需要我们理解点P、Q的“相关矩形”的定义，对学生的综合能力要求较高，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
2022-2023学年吉林省长春市汽开区八年级（下）期末数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使二次根式 x−2有意义，则x的取值范围是( )
A. x<2 B. x>2 C. x≤2 D. x≥2
2. 为了落实“双减”政策，增强学生体质，某校篮球兴趣小组开展投篮活动，六名选手投中篮备的个数分别为5，6，6，6，7，8，则这组数据的众数是( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3. 下列图形中，可以表示y是x的函数的是( )
A. B. C. D.
4. 如图，在▱ABCD中，AE平分∠DAB交CD于点E，AB=7，BC=4，则CE的长度为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 如图，两条宽为1的纸带交叉叠放，则重叠部分的面积( )
A. 有最小值1
B. 有最大值1
C. 有最小值 2
D. 有最大值 2
6. 爷爷饭后出去散步，从家里出发20分钟后到一个离家900米的街心花园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家里.下面图形中表示爷爷离家的距离y(米)与离家时间x(分)之间函数关系的是( )
A. B.
C. D.
7. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，且BE=2OE.若AE=4，则OA的长为( )
A. 3 2
B. 2 3
C. 2
D. 2 2
8. 如图，函数y=1x(x>0)和y=4x(x>0)的图象分别是l1和l2.设点P在l2上，PA//y轴交l1于点A，PB//x轴交l1于点B，则△PAB的面积为( )
A. 1
B. 4
C. 98
D. 34
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 计算： 3× 6= ______ ．
10. 在平面直角坐标系中，点A(3,m+2)在第四象限，则m的取值范围是______ ．
11. 如图是甲、乙两名同学的8次射击训练成绩的折线统计图，他们的平均成绩相同，若要从这两位同学中选一名成绩较为稳定的同学参加学校运动会的射击项目，则应选______．
12. 如图，菱形ABCD的周长为8 5，对角线AC和BD相交于点O.若AC：BD=1：2，则菱形ABCD的面积为______ ．
13. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点P在正方形ABCD内，△PBC是等边三角形，则△PBD的面积为______ ．
14. 如图，已知A(4,0)，B(4,4)，直线y=kx+4与x轴正半轴交于点C，与y轴交于点D，将线段CD绕着点C顺时针旋转90°，点D落在点E处，连接AE，BE，若△AEB为等腰三角形，则k的值为______．
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题6.0分)
计算：
(1) 2( 2− 3)；
(2) 27−12− 3．
16. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形．
17. (本小题6.0分)
图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点.只用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
(1)在图①中，点A、B均在格点上，画出一个直角三角形ABC，要求BC、AC两边均是无理数．
(2)在图②中画出一个面积为5的正方形DEFG．
18. (本小题7.0分)
已知一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=mx(m≠0)相交于A、B两点，且A点坐标为(1,3)，B点的横坐标为−3．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式．
(2)根据图象直接写出使得kx+b
19. (本小题7.0分)
如图，在▱ABCD中，AD>CD，CE平分∠BCD交AD于点E，过点E作EF//CD交BC于点F，连结DF交CE于点O，过点O作OG⊥CF于点G．
(1)求证：四边形CDEF是菱形．
(2)若CE=16，DF=12，求OG的长．
20. (本小题8.0分)
某教育局为了解初中毕业年级学生的体质情况，从某校九年级学生中随机抽取20%的学生进行体质监测.根据《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准：90分及以上为优秀；80分～89分为良好；60分～79分为及格；60分以下为不及格，将测试成绩制成如下图表．
各等级学生频率分布表
成绩
频数
频率
优秀
16
b
良好
a
0.24
及格
18
0.36
不及格
4
0.08
请根据图表信息回答下列问题：
(1)表格中的a= ______ ，b= ______ ．
(2)已知“80分～89分”这组的数据如下：81，83，84，85，85，81，80，86，87，88，83，85，则所抽取的这些学生体质监测成绩的中位数是______ ．
(3)求参加本次体质监测的学生的平均成绩x−．
(4)请估计该校九年级体质监测成绩未达到“良好”等级及以上的学生人数．
21. (本小题8.0分)
甲骑自行车匀速由A地驶向B地执行任务，乙骑摩托车匀速由A地驶向B地取文件后立即按原速原路返回(取文件的时间忽略不计)，甲、乙行驶过程中离A地的距离s(km)与甲行驶时间t(h)的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
(1)甲、乙两人中，______ (填“甲”或“乙”)出发时间早，早______ 小时．
(2)求乙从A地驶向B地时s与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
(3)乙从B地返回A地时，请先画出其函数图象并求乙与甲相遇时t的值．
22. (本小题8.0分)
综合与实践
【操作感知】如图①，在矩形纸片ABCD的AD边上取一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连结PM、BM.∠DPM=60°，则∠MBC的大小为______ 度.
【迁移探究】如图②，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片ABCD按照【操作感知】进行折叠，并延长PM交CD于点Q，连结BQ．
(1)判断△MBQ与△CBQ的关系并证明．
(2)若正方形ABCD的边长为4，点P为AD中点，则CQ的长为______ ．
23. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，函数y=kx(k>0,x>0)的图象与BC边相交于点M(点M不与点B重合)，与AB边相交于点N．
(1)如图①，若点B的坐标为(4,2)，M为CB中点，求k的值和点N的坐标．
(2)如图②，连结OB，过点M作MQ⊥OB，垂足为Q.若k=1，MB=2CM时，设OB长为m，MQ长为n，求m与n的函数关系式．
24. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系中，点P的坐标为(x1,y1)，点Q的坐标为(x2,y2)，且x1≠x2，y1≠y2.若P、Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P、Q的“相关矩形”，如图①为点P、Q的“相关矩形”示意图.若点P(1,0)，点Q(m,5)．
(1)当m=3时，在图②中画出点P、Q的“相关矩形”并求它的周长．
(2)若点P、Q的“相关矩形”为正方形，求m的值．
(3)已知一次函数y=−2x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，若在线段AB上存在一点C，使得点C、Q的“相关矩形”是正方形．
①点A的坐标为______ ，点B的坐标为______ ．
②直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵二次根式 x−2有意义，
∴x−2≥0，
解得：x≥2，
故选：D．
利用当二次根式有意义时，被开方式为非负数，得到有关x的一元一次不等式，解之即可得到本题答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，此类考题相对比较简单，但从近几年的中考看，几乎是一个必考点．
2.【答案】B
【解析】解：5，6，6，6，7，8，这组数据中，6出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为6，
故选：B．
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数进行求解即可．
本题主要考查了求一组数据的众数，熟知众数的定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：由函数的定义，可知C选项中，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，符合函数定义，
故选：C．
根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，结合函数图象即可解答．
本题考查函数的定义，理解函数的定义，再结合函数图象解题是关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，DC=AB=7，AD=BC=4，
∴∠DEA=∠BAE，
∵AE平分∠DAB交CD于点E，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠DEA=∠DAE，
∴AD=ED=4，
∴CE=DC−ED=7−4=3，
故选：A．
由四边形ABCD是平行四边形，得DC//AB，DC=AB=7，AD=BC=4，所以∠DEA=∠BAE，而∠DAE=∠BAE，则∠DEA=∠DAE，所以AD=ED=4，则CE=DC−ED=3，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，证明AD=ED是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
根据题意得：AD//BC，AB//CD，BE=BF=1，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，
∴∠EAB=∠BCF，
在△ABE与△CBF中，
∠AEB=∠BFC=90°∠EAB=∠FCBBE=BF，
∴△ABE≌△CBF(AAS)，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=1sin∠BAE，
∴S菱形ABCD=AD⋅BE=1sin∠BAE，
∴当∠BAE=90°时，重叠部分的面积有最小值是1，
故选：A．
首先过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案．
此题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：依题意，0−20分钟散步，离家路程增加到900米，
20−30分钟朋友聊天，离家路程不变，
30−45分钟返回家，离家路程减少为0米．
故选：B．
爷爷散步的时间段看，分为0−20分钟散步，20−30分钟朋友聊天，30−45分钟返回家，按时间段把函数图象分为三段．
此题主要考查利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
7.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=CO=BO=DO，
∵BE=2OE．
∴BO=3OE=OA，
在Rt△AOE中，AE2+EO2=AO2，
∴16+OE2=9OE2，
∴OE= 2，
∴OA=30E=3 2，
故选：A．
由矩形的性质可得AC=BD，AO=CO=BO=DO，由勾股定理可求OE的长，即可求解．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，由勾股定理求出BE的长是解决问题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图，延长PA、PB分别交x轴，y轴于点C、D，连接OA、OB，
设点A的横坐标为x，则点A的纵坐标为1x，点P的纵坐标为4x，
∴PA=PC−AC=4x−1x=3x，
∵点B在反比例函数y=1x的图象上，点B的纵坐标为4x，
∴点B的横坐标为14x，
即BD=14x，
∴PD=PB−BD=x−14x=34x，
∴S△PAB=12PA⋅PB
=12×3x×34x
=98，
故选：C．
根据反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，设点A的横坐标为x，用含有x的代数式表示PA、PB，再利用三角形面积公式进行计算即可．
本题考查反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，设点A的横坐标为x，根据反比例函数图象上点的坐标特征用含有x的代数式表示出PA、PB是解决问题的关键．
9.【答案】3 2
【解析】解：原式= 3×6
= 2×9
=3 2，
故答案为：3 2．
根据二次根式的乘法，先把被开方数相乘，再进行二次根式的化简．
本题考查了二次根式的乘除法，是基础知识比较简单，要识记．
10.【答案】m<−2
【解析】解：∵点A(3,m+2)在第四象限，
∴m+2<0，
解得：m<−2，
故答案为：m<−2．
根据平面直角坐标系中第四象限点的坐标特征(+,−)可得m+2<0，然后进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
11.【答案】乙
【解析】解：由图象看作，乙的波动比甲小，即乙的方差小于甲．
所以乙的成绩比甲稳定，
所以若要从这两位同学中选一名成绩较为稳定的同学参加学校运动会的射击项目，则应选乙．
故答案为：乙．
根据图形波动的大小可直接得出答案．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12.【答案】16
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，BO=DO，
∴AC=2AO，BD=2BO，
∴AO：BO=1：2；
∵菱形ABCD的周长为8 5，
∴AB=2 5，
∵AO：BO=1：2，
∴AO=2，BO=4，
∴AC=4，BD=8，
∴菱形ABCD的面积S=4×82=16，
故答案为：16．
由菱形的性质可知：对角线互相平分且垂直又因为AC：BD=1：2，所以AO：BO=1：2，再根据菱形的面积为两对角线乘积的一半计算即可．
本题考查了菱形性质和勾股定理，注意：菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边相等和菱形的面积为两对角线乘积的一半．
13.【答案】 3−1
【解析】解：∵△PBC是等边三角形，
∴点P在BC的垂直平分线上，
∴点P到CD的距离为1，
∴S△PCD=12×2×1=1，
S△PBC=12×2× 3= 3，
S△BCD=12×2×2=2，
∴△PBD的面积为S△PBC+S△PCD−S△BCD= 3+1−2= 3−1，
故答案为： 3−1．
△PBD的面积为S△PBC+S△PCD−S△BCD，根据题意分别求出这三个三角形的面积即可解答．
本题考查正方形的性质和三角形的面积，找出三角形面积之间的关系是解题关键．
14.【答案】−2
【解析】解：作EM⊥AB于M，EN⊥x轴于N，
∵A(4,0)，B(4,4)，
∴AB⊥x轴，AB=4，
∵△AEB为等腰三角形，
∴AM=BM，
∴M(4,2)，
∴E点的纵坐标为2，即EN=2，
∵∠DCE=90°，
∴∠DCO+∠ECN=90°，
∵∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠ECN=∠CDO，
在△ECN和△CDO中，
∠ECN=∠CDO∠CNE=∠DOC=90°CE=DC，
∴△ECN≌△CDO(AAS)，
∴OC=EN=2，
∴C(2,0)，
代入y=kx+4得，0=2k+4，
解得k=−2，
故答案为：−2．
作EM⊥AB于M，EN⊥x轴于N，由等腰三角形的性质即可求得E的纵坐标，然后通过证得△ECN≌△CDO求得OC=EN=2，得到C(2,0)，代入解析式即可求得k的值．
本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形变化−旋转，三角形全等的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征，求得E点的纵坐标是解题的关键．
15.【答案】解：(1)原式=2− 6；
(2)原式=3 3−(2+ 3)
=3 3−2− 3
=2 3−2．
【解析】(1)直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案；
(2)直接利用二次根式的性质以及分母有理化分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
16.【答案】证明：在▱ABCD中，DC//AB，DC=AB，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴EB//FD，EB=FD，
∴四边形EBFD是平行四边形．
【解析】由平行四边形的性质得出AB=CD，BE//DF，证出BE=DF，即可得出四边形EBFD是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
17.【答案】解：如下图：
(1)如图①，△ABC1，△ABC2即为所求；
(2)如图②，正方形DFEG即为所．
【解析】(1)根据勾股定理的性质和直角三角形的判定定理作图；
(2)根据勾股定理的性质及正方形的面积公式作图．
本题考查了作图的应用和设计，掌握勾股定理、直角三角形的判定定理和正方形的判定定理是解题的关键．
18.【答案】(1)将点A(1,3)代入y=mx，
解得：m=3．
∴反比例函数解析式为y=3x．
∵点B的横坐标为−3，
∴点B坐标(−3,−1)．
把A(1,3)，B(−3,−1)代入y=kx+b得：
k+b=3−3k+b=−1，
解得：k=1b=2，
∴一次函数的解析式为y=x+2；
(2)由图象可知kx+b
(2)观察图象kx+b
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵EF//CD，
∴四边形CDEF为平行四边形，
∵CE平分∠BCD，
∴∠ECB=∠ECD，
∵AD//BC，
∴∠ECB=∠DEC，
∴∠ECD=∠DEC，
∴CD=DE，
∴四边形CDEF是菱形；
(2)解：∵四边形CDEF为菱形，
∴EO=CO=12CE=12×16=8，DO=FO=12DF=12×12=6，CE⊥DF，
在Rt△COF中，由勾股定理得：CF= CO2+FO2= 82+62=10，
∵OG⊥CF，
∴S△COF=12CO⋅FO=12CF⋅OG，
∴OG=CO⋅FOCF=8×610=245．
【解析】(1)证四边形CDEF为平行四边形，再证∠ECD=∠DEC，则CD=DE，然后由菱形的判定即可得出结论；
(2)由菱形的性质得EO=CO=12CE=8，DO=FO=12DF=6，CE⊥DF，再由勾股定理得CF=10，然后由三角形面积即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】12 0.32 82
【解析】解：(1)抽取的学生总人数为4÷0.08=50(人)，
a=50−(4+18+16)=12，
b=1−(0.08+0.36+0.24)=0.32．
故答案为：12，0.32；
(2)将九年级学生测试成绩为“80分～89分”这组的数据重新排列为80，81，81，83，83，84，85，85，85，86，87，88，
不及格和及格段的学生一共有4+18=22(人)，优秀的学生有16人，
∴所抽取的50名学生测试成绩中间的两个数分别是是81分和83分，
∴所抽取的50名学生测试成绩的中位数应该是(81+83)÷2=82(分)，
故答案为：82；
(3)x−=(92×16+84×12+70×18+45×4)÷50=78.4．
答：参加本次体质监测的学生的平均成绩为78.4．
(4)(4+18)÷20%=110(人)．
答：该校九年级体质监测成绩未达到“良好”等级及以上的学生人数约为110人．
(1)根据不及格的人数及其对应频率可得抽取的学生总人数，根据各组频数之和等于数据总数可得a的值，根据各组频率之和等于1可得b的值；
(2)根据中位数的意义进行解答即可；
(3)根据平均数公式计算即可；
(4)用样本中成绩为未达到“良好”等级及以上的学生数除以20%即可．
本题考查统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数的意义是正确解答的前提，用到样本估计总体是统计中常用的方法．
21.【答案】甲 2
【解析】解：(1)由图象可知，甲、乙两人中甲出发时间早，早2小时，
故答案为：甲，2；
(2)设乙从A地驶向B地时s与t之间的函数关系式为s=kt+b(k≠0)，
将(2,0)、(4,80)代入，得2k+b=04k+b=80
解得k=40b=−80
∴乙从A地驶向B地时s与t之间的函数关系式为s=40t−80(2≤x≤4)；
(3)画出函数图象如图：
甲从A地驶向B地时的速度为806=403(km/h)，
∴403t+40(t−2)=2×80，
解得t=4.5．
答：乙从B地返回A地时，与甲相遇时t的值为4.5．
(1)由图象直接得出结论；
(2)用待定系数法求函数解析式即可；
(3)根据相遇时两人的路程之和为2×80列出方程，解方程即可．
本题考查一次函数的应用，根据题意明确图象中得信息是解题关键．
22.【答案】30 43
【解析】解：【操作感知】：由折叠知，∠APB=∠MPB，∠ABP=∠MBP，∠A=∠M=90°，
∵∠DPM=60°，
∴∠APB=∠MPB=(180°−∠DPM)÷2=60°，
∴∠ABP=∠MBP=30°，
∴∠MBC=90°−∠ABP−∠MBP=30°，
故答案为：30；
【迁移探究】(1)判断：△MBQ≌△CBQ，
证明：∵正方形纸片ABCD按照【操作感知】进行折叠，
∴AB=BM=BC，∠A=∠BMP=∠BMQ=∠C=90°
在Rt△MBQ和Rt△CBQ中，
BQ=BQBM=BC，
∴Rt△MBQ≌Rt△CBQ(HL)，
即△MBQ≌△CBQ；
(2)设CQ的长为x，
∵正方形ABCD的边长为4，点P为AD中点，
∴DQ=4−x，MQ= BQ2−BM2= BC2+CQ2−BM2=x，PM=AP=12×4=2，
在Rt△PDQ中，PQ2=PD2+DQ2，
即(2+x)2=22+(4−x)2，
解得x=43，
故答案为：43．
操作感知：根据折叠求出∠ABP=∠MBP=30°，即可得出结论；
迁移探究：(1)根据HL证Rt△MBQ≌Rt△CBQ即可；
(2)设CQ的长为x，则DQ=4−x，MQ= BQ2−BM2= BC2+CQ2−BM2=x，利用勾股定理求出x的值即可．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，长方形的性质，全等三角形的判定等知识是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵点B的坐标为(4,2)，M为CB中点，
∴M的坐标为(2,2)，
将M点的坐标代入y=kx得，k=2×2=4，
∴y=4x，
∴当x=4时，y=1，
∴N的坐标为(4,1)；
(2)连结OM，设M的坐标为(t,1t)，B的坐标为(3t,1t)，
∴S△OBC=12⋅3t⋅1t=32，
∴S△OBC=S△OMC+S△OBM=12⋅t⋅1t+12⋅m⋅n=32，
∴mn=2，即m=2n．
【解析】(1)根据题意得到M(2,2)，然后利用待定系数法即可求得k，进一步求得点N的坐标；
(2)连结OM，设M的坐标为(t,1t)，B的坐标为(3t,1t)，利用S△OBC=S△OMC+S△OBM得到12⋅t⋅1t+12⋅m⋅n=32，进一步得到m与n的函数关系式．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，三角形面积，正确表示出点的坐标是解题的关键．
24.【答案】(2,0) (0,4)
【解析】解：(1)当m=3时，Q(3,5)，点P、Q的“相关矩形”PDQE如图所示：
∵四边形PDQE是矩形，
∴PE=DQ=5，PD=EQ=2，
∴矩形PDQE的周长=2×(5+2)=14．
(2)∵P(1,0)，Q(m,5)，DQ⊥x轴，PE⊥x轴，EQ⊥y轴，PD⊥y轴，
∴D(m,0)，E(1,5)，
∴PD=|m−1|，PE=5，
∵四边形PDQE是正方形，
∴PD=PE，
∴|m−1|=5，
∴m=6或−4．
(3)①在一次函数y=−2x+4中，令x=0，得y=4，令y=0，得x=2，
∴A(2,0)，B(0,4)，
故答案为：(2,0)(0,4)．
②如图，
∵点C线段AB上，
∴设C(n,−2n+4)，且0≤n≤2，
则D(m,−2n+4)，E(n,5)，
∴CD=|m−n|，CE=5−(−2n+4)=2n+1，
∵点C、Q的“相关矩形”是正方形，即四边形CDQE是正方形，
∴CD=CE，即|m−n|=2n+1，
∴m=3n+1或m=−n−1，
当m=3n+1时，
∵0≤n≤2，
∴1≤3n+1≤7，
即1≤m≤7；
当m=−n−1时，
∵0≤n≤2，
∴−3≤−n−1≤−1，
即−3≤m≤−1；
综上所述，m的取值范围为−3≤m≤−1或1≤m≤7．
(1)根据点P、Q的“相关矩形”的定义画出图形，利用矩形的周长公式即可求得点P、Q的“相关矩形”的周长．
(2)利用点P、Q的“相关矩形”的定义可得：D(m,0)，E(1,5)，即PD=|m−1|，PE=5，根据正方形的性质可得PD=PE，即|m−1|=5，解方程即可得出答案．
(3)设C(n,−2n+4)，且0≤n≤2，则D(m,−2n+4)，E(n,5)，可得CD=|m−n|，CE=5−(−2n+4)=2n+1，根据正方形性质可得CD=CE，即|m−n|=2n+1，得出m=3n+1或m=−n−1，利用不等式性质即可求得答案．
本题考查新定义问题，涉及一次函数的图象和性质，矩形的性质，正方形的性质，解答本题需要我们理解点P、Q的“相关矩形”的定义，对学生的综合能力要求较高，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
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