2022年湖北省武汉市中考数学试卷

这是一份2022年湖北省武汉市中考数学试卷，共32页。

2022年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．（3分）实数2022的相反数是　　
A． B． C． D．2022
2．（3分）彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是　　
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
3．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是　　
A． B． C． D．
4．（3分）计算的结果是　　
A． B． C． D．
5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是　　

A． B．
C． D．
6．（3分）已知点，，，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是　　
A． B． C． D．
7．（3分）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是　　

A． B． C． D．
8．（3分）班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是　　

A． B． C． D．
9．（3分）如图，在四边形材料中，，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是　　

A． B． C． D．
10．（3分）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是　　

A．9 B．10 C．11 D．12
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置．
11．（3分）计算的结果是 　　．
12．（3分）某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双学生运动鞋，各种尺码运动鞋的销售量如下表．则这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是 　　．
尺码
24
24.5
25
25.5
26
销售量双
1
3
10
4
2
13．（3分）计算的结果是 　　．
14．（3分）如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工．取，，，则，两点的距离是 　　．

15．（3分）已知抛物线，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若点，，，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 　　（填写序号）．
16．（3分）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，．若，，则四边形的面积是 　　．

三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 　　；
（2）解不等式②，得 　　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是 　　．
18．（8分）如图，在四边形中，，．
（1）求的度数；
（2）平分交于点，．求证：．

19．（8分）为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：项参观学习，项团史宣讲，项经典诵读，项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

（1）本次调查的样本容量是 　　，项活动所在扇形的圆心角的大小是 　　，条形统计图中项活动的人数是 　　；
（2）若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．

20．（8分）如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接．
（1）判断的形状，并证明你的结论；
（2）若，，求的长．

21．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，，分别是边，与网格线的交点．先将点绕点旋转得到点，画出点，再在上画点，使；
（2）在图（2）中，是边上一点，．先将绕点逆时针旋转，得到线段，画出线段，再画点，使，两点关于直线对称．


22．（10分）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．

小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：、运动距离（单位：随运动时间（单位：变化的数据，整理得下表．
运动时间
0
1
2
3
4
运动速度
10
9.5
9
8.5
8
运动距离
0
9.75
19
27.75
36
小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．
（1）直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；
（3）若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．

23．（10分）问题提出
如图（1），在中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，点，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．


24．（12分）抛物线交轴于，两点在的左边），是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点．
（1）直接写出，两点的坐标；
（2）如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点，使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标；
（3）如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）．



2022年湖北省武汉市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．（3分）实数2022的相反数是　　
A． B． C． D．2022
【分析】根据相反数的定义直接求解．
【解答】解：实数2022的相反数是，
故选：．
2．（3分）彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是　　
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可判断．
【解答】解：彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是随机事件，
故选：．
3．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
4．（3分）计算的结果是　　
A． B． C． D．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算即可解答．
【解答】解：，
故选：．
5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是　　

A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看共有两层，底层三个正方形，上层左边是一个正方形．
故选：．
6．（3分）已知点，，，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】先根据反比例函数判断此函数图象所在的象限，再根据判断出，、，所在的象限即可得到答案．
【解答】解：反比例函数中的，
该双曲线位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，
点，，，在反比例函数的图象上，且，
点位于第三象限，点位于第一象限，
．
故选：．
7．（3分）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是　　

A． B． C． D．
【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是平缓，稍陡，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为选项．
故选：．
8．（3分）班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是　　

A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有24种等可能的结果数，再找出，两位同学座位相邻的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：

共有24种等可能的结果数，其中，两位同学座位相邻的结果数为12，
故，两位同学座位相邻的概率是．
故选：．
9．（3分）如图，在四边形材料中，，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是　　

A． B． C． D．
【分析】如图，当，，相切于于点，，时，的面积最大．连接，，，，，，，过点作于点．利用面积法构建方程求解．
【解答】解：如图，当，，相切于于点，，时时，的面积最大．连接，，，，，，，过点作于点．

，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，
则有，
，
故选：．
10．（3分）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是　　

A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，
最左下角的数为：，
最中间的数为：，或，
最右下角的数为：，或，
，
解得：，
，
故选：．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置．
11．（3分）计算的结果是 　2　．
【分析】利用二次根式的性质计算即可．
【解答】解：法一、

；
法二、

．
故答案为：2．
12．（3分）某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双学生运动鞋，各种尺码运动鞋的销售量如下表．则这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是 　25　．
尺码
24
24.5
25
25.5
26
销售量双
1
3
10
4
2
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：由表知，这组数据中25出现次数最多，有10次，
所以这组数据的众数为25，
故答案为：25．
13．（3分）计算的结果是 　　．
【分析】先通分，再加减．
【解答】解：原式


．
故答案为：．
14．（3分）如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工．取，，，则，两点的距离是 　　．

【分析】过点作，在中先求出，再在中利用边角间关系求出．
【解答】解：过点作，垂足为．
，
．
在中，
，
，．
，
．
在中，
，


．
故答案为：．

15．（3分）已知抛物线，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若点，，，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 　①③④　（填写序号）．
【分析】①正确．根据对称轴在轴的右侧，可得结论；
②错误．；
③正确．由题意，抛物线的对称轴直线，，由点，，，在抛物线上，，且，推出点到对称轴的距离点到对称轴的距离，推出；
④正确，证明判别式即可．
【解答】解：对称轴，
对称轴在轴右侧，
，
，
，
故①正确；
当时，对称轴，
，
当时，，
，
，故②错误；
由题意，抛物线的对称轴直线，，
点，，，在抛物线上，，且，
点到对称轴的距离点到对称轴的距离，
，故③正确；
设抛物线的解析式为，
方程，
整理得，，
△
，
，，
△，
关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．故④正确，
故答案为：①③④．
16．（3分）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，．若，，则四边形的面积是 　80　．

【分析】过点作于点，过点作于点，由正方形的性质可证得，，可得，，可证得，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，由勾股定理可得，，从而可得，可得与，即可求解．
【解答】解：过点作，交的延长线于点，过点作于点，

为直角三角形，四边形，为正方形，过点作的垂线，，
，，，，，，，，
，，
，，
，，
，，，，
，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理可得：
，
，
，，
，
四边形为正方形，
，
四边形为矩形，
四边形的面积为：，
故答案为：80．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 　　；
（2）解不等式②，得 　　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是 　　．
【分析】分别解这两个不等式，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，找到解集的公共部分即可得到原不等式组的解集．
【解答】解：（1）解不等式①，得：；
（2）解不等式②，得：；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：

（4）原不等式组的解集为：．
故答案为：（1）；
（2）；
（4）．
18．（8分）如图，在四边形中，，．
（1）求的度数；
（2）平分交于点，．求证：．

【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出；
（2）根据角平分线的定义求出，根据平行线的性质求出，得到，根据平行线的判定定理证明结论．
【解答】（1）解：，
，
，
；
（2）证明：平分，
，
，
，
，
，
．
19．（8分）为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：项参观学习，项团史宣讲，项经典诵读，项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

（1）本次调查的样本容量是 　80　，项活动所在扇形的圆心角的大小是 　　，条形统计图中项活动的人数是 　　；
（2）若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．

【分析】（1）根据两幅统计图提供的信息列式计算即可；
（2）根据样本估计总体列式计算即可．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是，项活动所在扇形的圆心角的大小是，条形统计图中项活动的人数是（人，
故答案为：80，，20；
（2）（人，
答：该校意向参加“参观学习”活动的人数约为800人．
20．（8分）如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接．
（1）判断的形状，并证明你的结论；
（2）若，，求的长．

【分析】（1）由角平分线的定义可知，，，所以，所以，因为为直径，所以，所以是等腰直角三角形．
（2）连接、、，交于点．因为．所以．因为．所以垂直平分．由是等腰直角三角形，，可得．因为．设，则．在和中，，解出的值即可．
【解答】解：（1）为等腰直角三角形．理由如下：
平分， 平分，
，．
，，
．
．
为直径，

是等腰直角三角形．
另解：计算也可以得证．
（2）解：连接、、，交于点
．
．
．
垂直平分．
是等腰直角三角形，，
．
，
．
设，则．
在和中，，
解得，
．
．
另解：分别延长，相交于点．则为等腰三角形，先计算，，，再根据面积相等求得．

21．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，，分别是边，与网格线的交点．先将点绕点旋转得到点，画出点，再在上画点，使；
（2）在图（2）中，是边上一点，．先将绕点逆时针旋转，得到线段，画出线段，再画点，使，两点关于直线对称．


【分析】（1）构造平行四边形即可解决问题，交格线于点，连接交于点，点，点即为所求；
（2）取格点，，，连接，交于点，连接，，交于点，连接，延长交 于点，线段，点即为所求．
【解答】解：（1）如图（1）中，点，点即为所求；
（2）如图（2）中，线段，点即为所求．

22．（10分）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．

小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：、运动距离（单位：随运动时间（单位：变化的数据，整理得下表．
运动时间
0
1
2
3
4
运动速度
10
9.5
9
8.5
8
运动距离
0
9.75
19
27.75
36
小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．
（1）直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；
（3）若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．

【分析】（1）设，代入，，利用待定系数法可求出和；设，代入，，，利用待定系数法求解即可；
（2）令，代入（1）中关系式，可先求出，再求出的值即可；
（3）设黑白两球的距离为，根据题意可知，化简，再利用二次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）设，将，代入，得，
解得，，
；
设，将，，代入，得，
解得，
．
（2）令，即，
解得或，
当时，；
当时，（舍；
（3）设黑白两球的距离为，
根据题意可知，

，
，
当时，的最小值为6，
黑白两球的最小距离为，大于0，黑球不会碰到白球．
另解1：当时，，判定方程无解．
另解2：当黑球的速度减小到时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球．先确定黑球速度为时，其运动时间为，再判断黑白两球的运动距离之差小于70 ．
23．（10分）问题提出
如图（1），在中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，点，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．


【分析】问题探究
（1）取的中点，连接，利用等边三角形的性质可得点为的中点，从而得出答案；
（2）取的中点，连接，利用证明，得，则，再根据，得，从而得出答案；
问题拓展
取的中点，连接，由（2）同理可证明，得，得，再根据，得，同理可得答案．
【解答】解：（1）如图，取的中点，连接，

点是的中点，
是的中位线，
，
，，
是等边三角形，
点是的中点，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
（2）取的中点，连接，
点为的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
问题拓展
取的中点，连接，

由（2）同理可证明，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．（12分）抛物线交轴于，两点在的左边），是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点．
（1）直接写出，两点的坐标；
（2）如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点，使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标；
（3）如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）．


【分析】（1）令，解方程可得结论；
（2）分两种情形：①若点在的下方时，过点作的平行线与抛物线交点即为．②若点在的上方时，点关于点的对称点，过点作的平行线交抛物线于点，，，符合条件．构建方程组分别求解即可；
（3）设点的横坐标为，过点的直线的解析式为，由，可得，设，是方程的两根，则，推出可得，设直线的解析式为，同法可得推出，推出，推出，可得结论．
【解答】解：（1）令，得，
解得或，
，；

（2），
，
直线的解析式为．
①若点在的下方时，
过点作的平行线与抛物线交点即为．
，，
直线的解析式为，
由，解得或，
，
的横坐标为0．
②若点在的上方时，点关于点的对称点，
过点作的平行线交抛物线于点，，，符合条件．
直线的解析式为，
由，可得，
解得或，
，的横坐标为，，
综上所述，满足条件的点的横坐标为0，，．

（3）设点的横坐标为，过点的直线的解析式为，
由，可得，
设，是方程的两根，则，

，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
同法可得
，
，
，
．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/6/28 20:45:33；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557