2022年湖北省武汉市中考数学试卷

这是一份2022年湖北省武汉市中考数学试卷，共23页。

2022年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．实数2022的相反数是　　
A． B． C． D．2022
2．彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是　　
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
3．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是　　
A． B． C． D．
4．计算的结果是　　
A． B． C． D．
5．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是　　
A．B． C．D．
6．已知点，，，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是　　
A． B． C． D．
7．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是　　
A．B．C． D．
8．班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是　　

A． B． C． D．
9．如图，在四边形材料中，，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是　　

A． B． C． D．
10．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是　　
A．9 B．10 C．11 D．12
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置．
11．计算的结果是 　　．
12．某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双学生运动鞋，各种尺码运动鞋的销售量如下表．则这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是 　　．
尺码
24
24.5
25
25.5
26
销售量双
1
3
10
4
2
13．计算的结果是 　　．
14．如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工．取，，，则，两点的距离是 　　．

15．已知抛物线，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若点，，，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 　　（填写序号）．
16．如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，．若，，则四边形的面积是 　　．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 　　；
（2）解不等式②，得 　　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是 　　．
18．（8分）如图，在四边形中，，．
（1）求的度数；
（2）平分交于点，．求证：．

19．（8分）为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：项参观学习，项团史宣讲，项经典诵读，项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）本次调查的样本容量是 　　，项活动所在扇形的圆心角的大小是 　　，条形统计图中项活动的人数是 　　；
（2）若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．













20．（8分）如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接．
（1）判断的形状，并证明你的结论；
（2）若，，求的长．





21．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，，分别是边，与网格线的交点．先将点绕点旋转得到点，画出点，再在上画点，使；
（2）在图（2）中，是边上一点，．先将绕点逆时针旋转，得到线段，画出线段，再画点，使，两点关于直线对称．







22．（10分）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．
小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：、运动距离（单位：随运动时间（单位：变化的数据，整理得下表．
运动时间
0
1
2
3
4
运动速度
10
9.5
9
8.5
8
运动距离
0
9.75
19
27.75
36
小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．
（1）直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；
（3）若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．



23．（10分）问题提出
如图（1），在中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，点，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．
















24．（12分）抛物线交轴于，两点在的左边），是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点．
（1）直接写出，两点的坐标；
（2）如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点，使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标；
（3）如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）．



2022年湖北省武汉市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．实数2022的相反数是　　
A． B． C． D．2022
【分析】根据相反数的定义直接求解．
【解答】解：实数2022的相反数是，
故选：．
2．彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是　　
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可判断．
【解答】解：彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是随机事件，
故选：．
3．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
4．计算的结果是　　
A． B． C． D．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算即可解答．
【解答】解：，
故选：．
5．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是　　

A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看共有两层，底层三个正方形，上层左边是一个正方形．
故选：．
6．已知点，，，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】先根据反比例函数判断此函数图象所在的象限，再根据判断出，、，所在的象限即可得到答案．
【解答】解：反比例函数中的，
该双曲线位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，
点，，，在反比例函数的图象上，且，
点位于第三象限，点位于第一象限，
．
故选：．
7．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是　　

A． B． C． D．
【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是平缓，稍陡，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为选项．
故选：．
8．班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是　　

A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有24种等可能的结果数，再找出，两位同学座位相邻的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：

共有24种等可能的结果数，其中，两位同学座位相邻的结果数为12，
故，两位同学座位相邻的概率是．
故选：．
9．如图，在四边形材料中，，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是　　

A． B． C． D．
【分析】如图，当，，相切于于点，，时，的面积最大．连接，，，，，，，过点作于点．利用面积法构建方程求解．
【解答】解：如图，当，，相切于于点，，时时，的面积最大．连接，，，，，，，过点作于点．

，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，
则有，
，
故选：．
10．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是　　

A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，
最左下角的数为：，
最中间的数为：，或，
最右下角的数为：，或，
，
解得：，
，
故选：．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置．
11．计算的结果是 　2　．
【分析】利用二次根式的性质计算即可．
【解答】解：法一、

；
法二、

．
故答案为：2．
12．某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双学生运动鞋，各种尺码运动鞋的销售量如下表．则这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是 　25　．
尺码
24
24.5
25
25.5
26
销售量双
1
3
10
4
2
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：由表知，这组数据中25出现次数最多，有10次，
所以这组数据的众数为25，
故答案为：25．
13．计算的结果是 　　．
【分析】先通分，再加减．
【解答】解：原式


．
故答案为：．
14．如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工．取，，，则，两点的距离是 　　．

【分析】过点作，在中先求出，再在中利用边角间关系求出．
【解答】解：过点作，垂足为．
，
．
在中，
，
，．
，
．
在中，
，


．
故答案为：．

15．已知抛物线，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若点，，，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 　①③④　（填写序号）．
【分析】①正确．根据对称轴在轴的右侧，可得结论；
②错误．；
③正确．由题意，抛物线的对称轴直线，，由点，，，在抛物线上，，且，推出点到对称轴的距离点到对称轴的距离，推出；
④正确，证明判别式即可．
【解答】解：对称轴，
对称轴在轴右侧，
，
，
，
故①正确；
当时，对称轴，
，
当时，，
，
，故②错误；
由题意，抛物线的对称轴直线，，
点，，，在抛物线上，，且，
点到对称轴的距离点到对称轴的距离，
，故③正确；
设抛物线的解析式为，
方程，
整理得，，
△
，
，，
△，
关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．故④正确，
故答案为：①③④．
16．如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，．若，，则四边形的面积是 　80　．

【分析】过点作于点，过点作于点，由正方形的性质可证得，，可得，，可证得，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，由勾股定理可得，，从而可得，可得与，即可求解．
【解答】解：过点作，交的延长线于点，过点作于点，

为直角三角形，四边形，为正方形，过点作的垂线，，
，，，，，，，，
，，
，，
，，
，，，，
，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理可得：
，
，
，，
，
四边形为正方形，
，
四边形为矩形，
四边形的面积为：，
故答案为：80．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 　　；
（2）解不等式②，得 　　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是 　　．
【分析】分别解这两个不等式，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，找到解集的公共部分即可得到原不等式组的解集．
【解答】解：（1）解不等式①，得：；
（2）解不等式②，得：；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：

（4）原不等式组的解集为：．
故答案为：（1）；
（2）；
（4）．
18．（8分）如图，在四边形中，，．
（1）求的度数；
（2）平分交于点，．求证：．

【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出；
（2）根据角平分线的定义求出，根据平行线的性质求出，得到，根据平行线的判定定理证明结论．
【解答】（1）解：，
，
，
；
（2）证明：平分，
，
，
，
，
，
．
19．（8分）为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：项参观学习，项团史宣讲，项经典诵读，项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

（1）本次调查的样本容量是 　80　，项活动所在扇形的圆心角的大小是 　　，条形统计图中项活动的人数是 　　；
（2）若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．

【分析】（1）根据两幅统计图提供的信息列式计算即可；
（2）根据样本估计总体列式计算即可．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是，项活动所在扇形的圆心角的大小是，条形统计图中项活动的人数是（人，
故答案为：80，，20；
（2）（人，
答：该校意向参加“参观学习”活动的人数约为800人．
20．（8分）如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接．
（1）判断的形状，并证明你的结论；
（2）若，，求的长．

【分析】（1）由角平分线的定义可知，，，所以，所以，因为为直径，所以，所以是等腰直角三角形．
（2）连接、、，交于点．因为．所以．因为．所以垂直平分．由是等腰直角三角形，，可得．因为．设，则．在和中，，解出的值即可．
【解答】解：（1）为等腰直角三角形．理由如下：
平分， 平分，
，．
，，
．
．
为直径，

是等腰直角三角形．
另解：计算也可以得证．
（2）解：连接、、，交于点
．
．
．
垂直平分．
是等腰直角三角形，，
．
，
．
设，则．
在和中，，
解得，
．
．
另解：分别延长，相交于点．则为等腰三角形，先计算，，，再根据面积相等求得．

21．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，，分别是边，与网格线的交点．先将点绕点旋转得到点，画出点，再在上画点，使；
（2）在图（2）中，是边上一点，．先将绕点逆时针旋转，得到线段，画出线段，再画点，使，两点关于直线对称．


【分析】（1）构造平行四边形即可解决问题，交格线于点，连接交于点，点，点即为所求；
（2）取格点，，，连接，交于点，连接，，交于点，连接，延长交 于点，线段，点即为所求．
【解答】解：（1）如图（1）中，点，点即为所求；
（2）如图（2）中，线段，点即为所求．

22．（10分）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．

小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：、运动距离（单位：随运动时间（单位：变化的数据，整理得下表．
运动时间
0
1
2
3
4
运动速度
10
9.5
9
8.5
8
运动距离
0
9.75
19
27.75
36
小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．
（1）直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；
（3）若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．

【分析】（1）设，代入，，利用待定系数法可求出和；设，代入，，，利用待定系数法求解即可；
（2）令，代入（1）中关系式，可先求出，再求出的值即可；
（3）设黑白两球的距离为，根据题意可知，化简，再利用二次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）设，将，代入，得，
解得，，
；
设，将，，代入，得，
解得，
．
（2）令，即，
解得或，
当时，；
当时，（舍；
（3）设黑白两球的距离为，
根据题意可知，

，
，
当时，的最小值为6，
黑白两球的最小距离为，大于0，黑球不会碰到白球．
另解1：当时，，判定方程无解．
另解2：当黑球的速度减小到时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球．先确定黑球速度为时，其运动时间为，再判断黑白两球的运动距离之差小于70 ．
23．（10分）问题提出
如图（1），在中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．
问题探究
（1）先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展
如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，点，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．


【分析】问题探究
（1）取的中点，连接，利用等边三角形的性质可得点为的中点，从而得出答案；
（2）取的中点，连接，利用证明，得，则，再根据，得，从而得出答案；
问题拓展
取的中点，连接，由（2）同理可证明，得，得，再根据，得，同理可得答案．
【解答】解：（1）如图，取的中点，连接，

点是的中点，
是的中位线，
，
，，
是等边三角形，
点是的中点，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
（2）取的中点，连接，
点为的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
问题拓展
取的中点，连接，

由（2）同理可证明，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．（12分）抛物线交轴于，两点在的左边），是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点．
（1）直接写出，两点的坐标；
（2）如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点，使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标；
（3）如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）．


【分析】（1）令，解方程可得结论；
（2）分两种情形：①若点在的下方时，过点作的平行线与抛物线交点即为．②若点在的上方时，点关于点的对称点，过点作的平行线交抛物线于点，，，符合条件．构建方程组分别求解即可；
（3）设点的横坐标为，过点的直线的解析式为，由，可得，设，是方程的两根，则，推出可得，设直线的解析式为，同法可得推出，推出，推出，可得结论．
【解答】解：（1）令，得，
解得或，
，；

（2），
，
直线的解析式为．
①若点在的下方时，
过点作的平行线与抛物线交点即为．
，，
直线的解析式为，
由，解得或，
，
的横坐标为0．
②若点在的上方时，点关于点的对称点，
过点作的平行线交抛物线于点，，，符合条件．
直线的解析式为，
由，可得，
解得或，
，的横坐标为，，
综上所述，满足条件的点的横坐标为0，，．

（3）设点的横坐标为，过点的直线的解析式为，
由，可得，
设，是方程的两根，则，

，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
同法可得
，
，
，
．