2023年四川省乐山市市中区海棠实验中学中考数学适应性试卷（含解析）

这是一份2023年四川省乐山市市中区海棠实验中学中考数学适应性试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中，13的相反数是( )
A. 3B. −3C. 13D. −13
2.下列计算中，正确的是( )
A. a2+a3=a5B. (a3)2=a5C. a10÷a2=a5D. a3⋅a2=a5
3.下面图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. 科克曲线B. 笛卡尔心形线C. 阿基米德螺旋线D. 赵爽弦图
4.航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温.气凝胶，是一种具有纳米多孔结构的新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于0.00000002m，数据0.00000002用科学记数法表示为( )
A. 2×10−8B. 2×10−9C. 0.2×10−8D. 2×108
5.已知方程x2−3x+1=0的两个根分别为x1、x2，则x1+x2−x1⋅x2的值为( )
A. 7B. 5C. 3D. 2
6.每年的6月6日是全国爱眼日，就在手机充斥着人们生活，占用大部分时间的同时，其蓝光危害以及用眼过度带来的影响也在悄然的威胁着人们的视力健康，某班为了解全班学生的视力情况，随机抽取了10名学生进行调查，将抽取学生的视力统计结果如下表.下列说法错误的是( )
A. 平均数为4.7B. 中位数为4.8C. 众数为4.8D. 方差为0.0236
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB，AC于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内相交于点M，作射线AM交BC于点F，以点A为圆心，AF的长为半径作弧，交AB于点H.若∠B=26°，则∠BHF的度数为( )
A. 100°B. 106°C. 110°D. 120°
8.如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是( )
A. 175π3cm2B. 175π2cm2C. 175πcm2D. 350πcm2
9.如图，点A(a,1)、B(−1,b)都在双曲线y=−3x(x<0)上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是( )
A. y=x
B. y=x+1
C. y=x+2
D. y=x+3
10.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A(−2,0)和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB=2OC，则下列结论：①a−bc>0；②2b−4ac=1；③a=14；④当−1A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若 x−2023在实数范围内有意义，则x的取值范围为______．
12.分解因式ma2−4m= ______．
13.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AC⊥BD，②AC=BD，③∠ABC=∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则应选择______(填序号)．
14.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为______．
15.关于x的一元二次方程ax2−3x−1=0的两个不相等的实数根都在−1和0之间(不包括−1和0)，则a的取值范围是______．
16.已知矩形ABCD中，AB=2AD=8，点E、F分别是边AB、CD的中点，点P为AD边上动点，过点P作与AB平行的直线交AF于点G，连接PE，点M是PE中点，连接MG，则MG的最小值= ______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：2xx−1=1−21−x．
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算：sin45°−|2− 2|+(π−1)0+(−12)−1．
19.(本小题8分)
某中学为积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程，以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展，学校面向八年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？(要求必须选修一门且只能选修一门)”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如图两幅不完整的统计图：

请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有 名学生参与了本次问卷调查；“手工”课程在扇形统计图中所对应的圆心角是 度；
(2)补全调查结果条形统计图；
(3)小明和小红分别从“文学鉴赏”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
20.(本小题8分)
如图，∠A=∠D=90°，AC=BD．
(1)求证：△ABC≌△DCB；
(2)若∠OCB=30°，OC=2，求△OBC的面积．
21.(本小题8分)
某商场用2500元购进A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示．
(1)这两种台灯各购进多少盏？
(2)在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场计划销售这批台灯的总利润至少为1400元，问至少需购进B种台灯多少盏？
22.(本小题8分)
如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE=3cm．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
23.(本小题8分)
利用风力发电非常环保，且风能蕴量巨大，因此风力发电日益受到重视.2022年9月，河南省发改委下发《关于2022年风电和集中式光伏发电项目建设有关事项的通知》，共73个风电项目进入河南省新能源前期项目库.风电机组主要由塔杆和叶片组成(如图1)，图2是从图1引出的平面图.王丹同学站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，她又沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现当一叶片到达最高位置时，测得叶片的顶端D的仰角是45°(点D、C、H在同一直线上).已知塔杆CH的高为60米(塔杆与叶片连接处的长度忽略不计)，山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求叶片DC的长度.(答案精确到0.1米，参考数据：tan55°≈1.4，cs55°≈0.6，sin55°≈0.82)
24.(本小题8分)
如图，一次函数y=x+8的图象与反比例函数y=kx(x<0)的图象交于A(a,6)，B两点．

(1)求此反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)在y轴上存在点P，使得AP+BP的值最小，求AP+BP的最小值．
(3)M为反比例函数图象上一点，N为x轴上一点，是否存在点M、N，使△MBN是以MN为底的等腰直角三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
25.(本小题8分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12.点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G．
(1)如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．
①若点G为DE中点，求FG的长．
②若DG=GF，求BC的长．
(2)已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．
26.(本小题8分)
如图，顶点为P(4,−4)的二次函数图象经过原点(0,0)，点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON，
(1)求该二次函数的关系式；
(2)若点A的坐标是(6,−3)，求△ANO的面积；
(3)若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：
①证明：∠ANM=∠ONM；
②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：13的相反数是−13．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】D
【解析】【分析】
直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【解答】
解：A.a2+a3，无法合并，故此选项不合题意；
B.(a3)2=a6，故此选项不合题意；
C.a10÷a2=a8，故此选项不合题意；
D.a3⋅a2=a5，故此选项符合题意．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】解：A、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
观察四个选项中的图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，仔细观察图形根据定义正确判断是解答本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：0.00000002=2×10−8，
故选：A．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5.【答案】D
【解析】解：∵方程x2−3x+1=0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2=3，x1⋅x2=1，
∴x1+x2−x1⋅x2=3−1=2，
故选：D．
根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=3，x1⋅x2=1，进而即可求解．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，x1+x2=−ba，x1x2=ca，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：A.平均数为：4.5+4.6+4.7×2+4.8×3+4.9+5.0×210=4.78，故选项A符合题意；
B.中位数为4.8+4.82=4.8，故选项B不符合题意；
C.众数为4.8，故选项C不符合题意；
D.方差为110×[(4.5−4.78)2+(4.6−4.78)2+2×(4.7−4.78)2+3×(4.8−4.78)2+(4.9−4.78)2+(5.0−4.78)2]=0.0236，故选项D不符合题意；
故选：A．
根据众数、中位数、平均数及方差的定义列式计算即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数及方差的定义．
7.【答案】B
【解析】解：∵∠C=90°，∠B=26°，
∴∠BAC=64°，
由作法得AF平分∠BAC，AH=AF，
∴∠BAF=12∠BAC=12×64°=32°，
∵AH=AF，
∴∠AHF=∠AFH=12×(180°−32°)=74°，
∴∠BHF=180°−∠AHF=180°−74°=106°．
故选：B．
先根据三角形内角和计算出∠BAC=64°，再利用基本作图得到AF平分∠BAC，AH=AF，所以∠BAF=12∠BAC=32°，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AHF=74°，然后利用平角的定义计算出∠BHF的度数．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
8.【答案】C
【解析】解：在Rt△AOC中，AC= 72+242=25(cm)，
所以圆锥的侧面展开图的面积=12×2π×7×25=175π(cm2).
故选：C．
先利用勾股定理计算出AC=25cm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式可计算出圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
9.【答案】C
【解析】解：分别把点A(a,1)、B(−1,b)代入双曲线y=−3x(x<0)得a=−3，b=3，则点A的坐标为(−3,1)、B点坐标为(−1,3)，
作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，所以C点坐标为(−3,−1)，D点坐标为(1,3)，
连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C(−3,−1)，D(1,3)分别代入−3k+b=−1k+b=3，
解得k=1b=2，
所以直线CD的解析式为y=x+2．
故选：C．
先把A点坐标和B点坐标代入反比例函数进行中可确定点A的坐标为(−3,1)、B点坐标为(−1,3)，再作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，根据对称的性质得到C点坐标为(−3,−1)，D点坐标为(1,3)，CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，根据两点之间线段最短得此时四边形PABQ的周长最小，然后利用待定系数法确定PQ的解析式．
本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式；熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题．
10.【答案】B
【解析】解：∵A(−2,0)，OB=2OC，
∴C(0,c)，B(−2c,0)．
由图象可知，a>0，b<0，c<0．
①：∵a>0，b<0，
∴a−b>0，
∴a−bc<0.故①错误；
②：把B(−2c,0)代入解析式，得：
4ac2−2bc+c=0，又c≠0，
∴4ac−2b+1=0，
即2b−4ac=1，故②正确；
③：∵抛物线与x轴交于点A(−2,0)和点B(−2c,0)，
∴x1=−2和x2=−2c为相应的一元二次方程的两个根，
由韦达定理可得：x1⋅x2= ca=(−2)×(−2c)=4c，
∴a=14.故③正确；
④：如图，
∵a=14，2b−4ac=1，
∴c=2b−1．
故原抛物线解析式为y=14x2+bx+(2b−1)，顶点坐标为(−2b,−b2+2b−1)．
∵C(0,2b−1)，OB=2OC，
∴A(−2,0)，B(2−4b,0)．
∴对称轴为直线x=−2b．
要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB=90°，且点P一定在对称轴上，
∵△APB为等腰直角三角形，
∴PQ=12AB=12[2−4b−(−2)]=2−2b，
∴P(−2b,2b−2)，且有2b−2>−b2+2b−1，
整理得：b2>1，
解得：b>1或b<−1，这与−1综上所述，正确的有②③，一共2个，
故选：B．
首先根据函数图象可判断a，b，c的符号，a>0，b<0，c<0，从而可判断①错误；由OB=2OC可推出点B(−2c,0)代入解析式化简即可判断②正确；由抛物线与x轴的交点A(−2,0)和点B(−2c,0)，再结合韦达定理可得x1⋅x2= ca=(−2)×(−2c)=4c，可得a=14，即可判断③正确；根据a=14，2b−4ac=1，可得c=2b−1，从而可得抛物线解析式为y=14x2+bx+(2b−1)，顶点坐标为(−2b,−b2+2b−1)，继而可求得A(−2,0)，B(2−4b,0).所以对称轴为直线x=−2b.要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB=90°，且点P一定在对称轴上，则△APB为等腰直角三角形，PQ=PQ=12AB=2−2b，得P(−2b,2b−2)，且2b−2>−b2+2b−1，解得b>1或b<−1，故可判断④错误．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点与相应的一元二次方程的根的关系，解此题的基础关键在于根据函数图象判断出a、b、c的符号，其中第④问有一定的难度．
11.【答案】x≥2023
【解析】解：要使二次根式 x−2023有意义，必须x−2023≥0，
解得：x≥2023．
故答案为：x≥2023．
根据二次根式有意义的条件得出x−2023≥0，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记 a中a≥0是解此题的关键．
12.【答案】m(a+2)(a−2)
【解析】解：ma2−4m=m(a2−4)=m(a+2)(a−2)．
故答案为：m(a+2)(a−2)．
先提取公因式再利用平方差公式法因式分解即可．
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法和平方差公式法的运用．
13.【答案】①
【解析】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形；故①符合题意；
②不能证明四边形ABCD为菱形；故②不符合题意；
③不能证明四边形ABCD为菱形；故③不符合题意；
故答案为：①．
①根据对角线垂直的平行四边形为菱形，可得四边形ABCD为菱形；②不能证明四边形ABCD为菱形；③不能证明四边形ABCD为菱形．
本题考查菱形的判定．熟练掌握对角线垂直的平行四边形为菱形，是解题的关键．
14.【答案】2
【解析】解：如图，连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF=CF=12CD，BF=12BE，CD=BE，BE⊥CD，
∴BF=CF，
根据题意得：AC/​/BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP=BD：AC=1：3，
∴DP：DF=1：2，
∴DP=PF=12CF=12BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF=BFPF=2，
∵∠APD=∠BPF，
∴tan∠APD=2．
故答案为：2
首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
15.【答案】−94【解析】【分析】
本题主要考查了一元二次方程根的情况及抛物线与x轴的交点，数形结合确定当x=0和当x=−1时函数值的取值范围是解答此题的关键．
首先根据根的情况利用根的判别式解得a的取值范围，然后根据根两个不相等的实数根都在−1和0之间(不包括−1和0)，结合函数图象确定其函数值的取值范围得a的取值范围．
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程ax2−3x−1=0的两个不相等的实数根
∴Δ=(−3)2−4×a×(−1)>0，
解得：a>−94
∵实数根都在−1和0之间，
∴−1<−−32a<0，
∴a<−32，
∴一元二次方程对应的二次函数y=ax2−3x−1图像开口向下，如图所示，
当x=−1时，y=ax2−3x−1=a×(−1)2−3×(−1)−1<0
当x=0 时，y=ax2−3x−1=−1<0，
解得：a<−2，
∴−9416.【答案】2 55
【解析】解：方法一：如图，过点M作MN⊥PG于点N，取AP的中点H，连接MH，EF，
设AP=x，则AH=PH=12x，
∵四边形ABCD是矩形，且AB=2AD=8，
∴AB=CD=8，AD=4，∠BAD=∠D=90°，AB/​/CD，
∵PG/​/AB，
∴PG//CD，
∴∠APG=∠D=90°，
∵点E、F分别是边AB、CD的中点，AB=2AD=8，
∴AE=AD=DF=4，
∵点M是PE中点，点H是AP的中点，
∴MH//AB，MH=12AE=2，
∴∠PHM=∠BAD=90°，
∵MN⊥PG，
∴∠MNP=∠MNG=90°=∠PHM=∠APG，
∴四边形MNPH是矩形，
∴PN=MH=2，MN=PH=12x，
∵AD=DF，∠D=90°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠AFD=45°，
∵PG//CD，
∴∠AGP=∠AFD=45°，
∵∠APG=90°，
∴△APG是等腰直角三角形，
∴PG=AP=x，
∴NG=PG−PN=x−2，
在Rt△MNG中，MG2=MN2+NG2=(12x)2+(x−2)2=54(x−85)2+45，
∵54>0，
∴当x=85时，MG2取得最小值45，
∵MG= MG2= 45=2 55，
∴MG的最小值为2 55，
故答案为：2 55．
方法二：如图，以点D为原点，直线CD为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系，
∵四边形ABCD是矩形，且AB=2AD=8，
∴A(0,4)，B(−8,4)，C(−8,0)，D(0,0)，
∵点E、F分别是边AB、CD的中点，
∴E(−4,4)，F(−4,0)，
设P(0,t)，
∵点M是PE中点，
∴M(−2,t+42)，
设直线AG的解析式为y=kx+b，则−4k+b=0b=4，
解得：k=1b=4，
∴直线AG的解析式为y=x+4，
∵PG/​/x轴交AF于G，
∴G(t−4,t)，
∴MG2=[(t−4)−(−2)]2+(t−t+42)2=54t2−6t+8=54(t−125)2+45，
∵54>0，
∴MG2有最小值45，
∵MG>0，
∴MG的最小值为 45=2 55，
故答案为：2 55．
方法一：如图，过点M作MN⊥PG于点N，取AP的中点H，连接MH，EF，设AP=x，则AH=PH=12x，利用矩形性质和三角形中位线定理可得：MH=12AE=2，再证明四边形MNPH是矩形，可得：PN=MH=2，MN=PH=12x，再证得△APG是等腰直角三角形，得出PG=AP=x，推出NG=PG−PN=x−2，运用勾股定理可得MG2=MN2+NG2=(12x)2+(x−2)2=54(x−85)2+45，再运用二次函数性质即可求得答案．
方法二：如图，以点D为原点，直线CD为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系，设P(0,t)，运用中点坐标公式可得M(−2,t+42)，利用待定系数法求得直线AG的解析式为y=x+4，进而可得G(t−4,t)，再运用两点间距离公式即可求得答案．
本题考查了矩形性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形性质，勾股定理，运用待定系数法求一次函数解析式，两点间距离公式，二次函数的最值等知识，解题关键是运用函数思想解决几何问题．
17.【答案】解：方程两边同乘(x−1)得：2x=x−1+2，
解得x=1，
检验：当x=1时，x−1=0，
则x=1是增根，所以原方程无解．
【解析】此题考查了解分式方程，解分式方程注意要检验．
先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到答案．
18.【答案】解：sin45°−|2− 2|+(π−1)0+(−12)−1
= 22−2+ 2+1+(−2)
=32 2−3．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
19.【答案】120 75
【解析】解：(1)参与了本次问卷调查的学生人数为：30÷25%=120(名)，
则选修“厨艺”的人数为120×15%=18(名)，
则选修“手工”的人数为120−30−20−18−27=25(名)，
则“手工”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°×25120=75°，
故答案为：120，75；
(2)补全条形统计图如下：
(3)把“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小明和小红两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴小明和小红两人恰好选到同一门课程的概率为525=15．
(1)由选修“文学鉴赏”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，求出选修“手工”的学生人数，用360°乘以手工所占总数的百分比即可解决问题；
(2)补全条形统计图即可；
(3)画树状图，共有25种等可能的结果，其中小明和小红两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】(1)证明：∵∠A=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
AC=BDBC=CB，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)．
(2)∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴OB=OC=2，∠DOC=∠OBC+∠OCB=30°+30°=60°，
∴∠DCO=90°−∠DOC=90°−60°=30°，
∴OD=12OC=12×2=1，
∴CD= OC2−OD2= 22−12= 3，
∴S△OBC=12OB⋅CD=12×2× 3= 3．
【解析】(1)因为∠A=∠D=90°，所以由斜边直角边定理证明全等即可．
(2)由Rt△ABC≌Rt△DCB得，∠OBC=∠OCB=30°，进一步得到OB=OC=2，∠DCO=30°，再求出CD，即可求出面积．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确运用判定定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设A型台灯购进x盏，B型台灯购进y盏，
根据题意，得x+y=5040x+65y=2500,
解得：x=30y=20；
答：A型台灯购进30盏，B型台灯购进20盏．
(2)设购进B种台灯m盏，
根据题意，得利润(100−65)⋅m+(60−40)⋅(50−m)≥1400，
解得，m≥803，
∵m是整数，
故要使销售这批台灯的总利润不少于1400元，至少需购进B种台灯27盏．
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意、找到等量关系，将实际问题转化为数学问题求解．
(1)根据题意可得等量关系：A、B两种新型节能台灯共50盏，A种新型节能台灯的台数×40+B种新型节能台灯的台数×65=2500元；设A型台灯购进x盏，B型台灯购进y盏，列方程组即可求得；
(2)根据题意可知，总利润=(A种新型节能台灯的售价−A种新型节能台灯的进价)×A种新型台灯的盏数+(B种新型节能台灯的售价−B种新型节能台灯的进价)×B种新型台灯的盏数；根据总利润不少于1400元，设购进B种台灯m盏，列不等式即可求得．
22.【答案】(1)证明：连接OC，如图：
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD/​/OC，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
(2)∵E是BC的中点，且OA=OB，
∴OE是△ABC的中位线，AC=2OE，
∵OE=3，
∴AC=6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°=∠ADC，
又∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴ADAC=ACAB，即AD6=610，
∴AD=185．
【解析】(1)连接OC，由AC平分∠BAD，OA=OC，可得∠DAC=∠OCA，AD/​/OC，根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线；
(2)由OE是△ABC的中位线，得AC=6，再证明△DAC∽△CAB，得ADAC=ACAB，即AD6=610，从而可得AD=185．
本题考查圆的切线及圆中的计算，涉及圆周角定理、相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．
23.【答案】解：如图，过点B作BE⊥DH于点E，则GH=BE，BG=EH=10．
在Rt△CAH中，tan55°=CHAH，
∴AH=CHtan55∘=601.4≈42.9(米)，
∴BE=GH=GA+AH=43+42.9=85.9(米)，
∵∠DBE=45°，
∴△DBE是等腰直角三角形，
∴DE=BE=85.9米．
∵CH=60米，
∴CE=CH−EH=60−10=50(米)，
∴DC=DE−CE=85.9−50=35.9(米)．
答：叶片DC的长度约为35.9米．
【解析】【分析】
过点B作BE⊥DH于点E，首先得到GH=BE，BG=EH=10，然后利用三角函数值求出AH=CHtan55∘=601.4≈42.9，然后证明出△DBE是等腰直角三角形，利用线段的和差求解即可．
此题考查了三角函数的应用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
24.【答案】解：(1)将A(a,6)代入y=x+8得：6=a+8，
解得：a=−2，
所以，A(−2,6)，
将A(−2,6)代入y=kx得：k=xy=−12，
即反比例函数的表达式为：y=−12x，
联立y=x+8y=−12x，解得：x=−2y=6或x=−6y=2，
所以，B(−6,2)；
(2)作点A关于y轴的对称点A′(2,6)，
连接A′B交y轴于点P，此时AP+BP的周长最小，
则AP+BP的最小值=A′B= [2−(−6)2]+(6−2)2=4 5AP+BP=A′P+BP=A′B=4 5；
(3)存在，理由：
设M(a,−12a)，N(n,0)
当点M在点B的右侧时，如图：

过点B作BF⊥x轴于点F，交过点M和x轴的平行线于点H，
∵△MBN是以MN为底的等腰直角三角形，
则∠MBN=90°，MB=NB，
∴∠FBN+∠HBM=90°，∠HBM+∠HMB=90°，
∴∠FBN=∠HMB，
∵∠MHB=∠BFN=90°，MB=NB，
∴△MHB≌△BFN(AAS)，
∴HM=BF，HB=FN，
即a−(−6)=2−0且−12a−2=n−(−6)，
解得：a=−4，n=−5，
即点M(−4,3)；
当M在B点左侧时，同理可得M(−8,32)，
∴M(−4,3)或M(−8,32)．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)作点A关于y轴的对称点A′(2,6)，连接A′B交y轴于点P，此时AP+BP的周长最小，即可求解；
(3)证明△MHB≌△BFN(AAS)，得到HM=BF，HB=FN，即可求解；当M在B点左侧时，同理可解．
本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形全等、最值问题等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
25.【答案】解：(1)①在正方形ACDE中，DG=GE=6，
中Rt△AEG中，AG= AE2+EG2=6 5，
∵EG/​/AC，
∴△ACF∽△GEF，
∴FGAF=EGAC，
∴FGAF=612=12，
∴FG=13AG=2 5．
②如图1中，正方形ACDE中，AE=ED，∠AEF=∠DEF=45°，
∵EF=EF，
∴△AEF≌△DEF，
∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x，
∵AE//BC，
∴∠B=∠1=x，
∵GF=GD，
∴∠3=∠2=x，
在△DBF中，∠3+∠FDB+∠B=180°，
∴x+(x+90°)+x=180°，
解得x=30°，
∴∠B=30°，
∴在Rt△ABC中，BC=ACtan30∘=12 3．
(2)在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2= 122+92=15，
如图2中，当点D中线段BC上时，此时只有GF=GD，
∵DG/​/AC，
∴△BDG∽△BCA，
设BD=3x，则DG=4x，BG=5x，
∴GF=GD=4x，则AF=15−9x，
∵AE/​/CB，
∴△AEF∽△BCF，
∴AEBC=AFBF，
∴9−3x9=15−9x9x，
整理得：x2−6x+5=0，
解得x=1或5(舍弃)
∴腰长GD为=4x=4．
如图3中，当点D中线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF=DG，设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，
∴FG=DG=12+4x，
∵AE//BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴AEBC=AFBF，
∴3x9=9x+129x+27，
解得x=2或−2(舍弃)，
∴腰长DG=4x+12=20．
如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF=DG，过点D作DH⊥FG．
设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x+12，
∴FH=GH=DG⋅cs∠DGB=(4x+12)×45=16x+485，
∴GF=2GH=32x+965，
∴AF=GF−AG=7x+965，
∵AC/​/DG，
∴△ACF∽△GEF，
∴ACEG=AFFG，
∴124x=7x+96532x+965，
解得x=12 147或−12 147(舍弃)，
∴腰长GD=4x+12=84+48 147，
如图5中，当点D中线段CB的延长线上时，此时只有DF=DG，作DH⊥AG于H．
设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x−12，
∴FH=GH=DG⋅cs∠DGB=16x−485，
∴FG=2FH=32x−965，
∴AF=AG−FG=96−7x5，
∵AC/​/EG，
∴△ACF∽△GEF，
∴ACEG=AFFG，
∴124x=96−7x532x−965，
解得x=12 147或−12 147(舍弃)，
∴腰长DG=4x−12=−84+48 147，
综上所述，等腰三角形△DFG的腰长为4或20或84+48 147或−84+48 147．
【解析】(1)①只要证明△ACF∽△GEF，推出FGAF=EGAC，即可解决问题；②如图1中，想办法证明∠1=∠2=30°即可解决问题；
(2)分四种情形：①如图2中，当点D中线段BC上时，此时只有GF=GD，②如图3中，当点D中线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF=DG，
③如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF=DG，如图5中，当点D中线段CB的延长线上时，此时只有DF=DG，分别求解即可解决问题；
本题考查四边形综合题、正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
26.【答案】解：(1)∵二次函数的顶点坐标为(4,−4)，
∴设二次函数的解析式为y=a(x−4)2−4，
又二次函数过(0,0)，
∴0=a(0−4)2−4，解得：a=14，
∴二次函数解析式为y=14(x−4)2−4=14x2−2x．
(2)设直线OA的解析式为y=kx，将A(6,−3)代入得−3=6k，解得k=−12，
∴直线OA的解析式为y=−12x，
把x=4代入y=−12x得y=−2，
∴M(4,−2)，
又∵点M、N关于点P对称，
∴N(4,−6)，
∴MN=4，
∴S△ANO=12×6×4=12．
(3)①证明：过A作AH⊥l于H，l与x轴交于点D，如图所示：

设A(m,14m2−2m)，又O(0,0)，
∴直线AO的解析式为y=14m2−2mmx=(14m−2)x，
则M(4,m−8)，N(4,−m)，H(4,14m2−2m)，
∴OD=4，ND=m，HA=m−4，NH=ND−HD=14m2−m，
在Rt△OND中，tan∠ONM=ODDN=4m，
在Rt△ANH中，tan∠ANM=HAHN=m−414m2−m=4(m−4)m(m−4)=4m，
∴tan∠ONM=tan∠ANM，
则∠ANM=∠ONM；
②△ANO能为直角三角形，理由如下：
分三种情况考虑：
(i)若∠ONA为直角，由①得：∠ANM=∠ONM=45°，
∴△AHN为等腰直角三角形，
∴HA=NH，即m−4=14m2−m，
整理得：m2−8m+16=0，即(m−4)2=0，
解得：m=4，
此时点A与点P重合，故不存在A点使△ONA为直角三角形；
(ii)若∠AON为直角，根据勾股定理得：OA2+ON2=AN2，
∵OA2=m2+(14m2−2m)2，ON2=42+m2，AN2=(m−4)2+(14m2−2m+m)2，
∴m2+(14m2−2m)2+42+m2=(m−4)2+(14m2−2m+m)2，
整理得：m(m2−8m−16)=0，
解得：m=0或m=4+4 2或4−4 2(舍去)，
当m=0时，A点与原点重合，故∠AON不能为直角，
当m=4+4 2，即A(4+4 2,4)时，N为第四象限点，成立，故∠AON能为直角；
(iii)若∠NAO为直角，可得∠NAM=∠ODM=90°，且∠AMN=∠DMO，
∴△AMN∽△DMO，
又∠MAN=∠ODN=90°，且∠ANM=∠OND，
∴△AMN∽△DON，
∴△AMN∽△DMO∽△DON，
∴MDOD=ODND，即8−m4=4m，
整理得：(m−4)2=0，
解得：m=4，
此时A与P重合，故∠NAO不能为直角，
综上，点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，△ANO能为直角三角形，当m=4+4 2，即A(4+4 2,4)时，N为第四象限点，成立，故∠AON能为直角．
【解析】(1)由二次函数的顶点坐标，设出二次函数的顶点式，再由二次函数过原点，将原点坐标代入设出的解析式中，确定出a的值，即可求出二次函数的解析式；
(2)首先通过求出OA直线方程求出M点的坐标，再通过对称性求出N点的坐标，进而求出MN的长度，△ANO的面积可以通过A点的横坐标长度和MN的长度计算得到；
(3)①过A作AH垂直于直线l，直线l与x轴交于点D，由A在二次函数图象上，设A横坐标为m，将x=m代入二次函数解析式，表示出纵坐标，确定出A的坐标，再由O的坐标，表示出直线AO的解析式，进而表示出M，N及H的坐标，得出OD，ND，HA，及NH，在直角三角形OND中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠ONM，在直角三角形ANH中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠ANM，化简后得到tan∠ONM=tan∠ANM，可得出∠ONM=∠ANM，得证；
②△ANO不能为直角三角形，理由为：分三种情况考虑：若∠ONA为直角，由①得到∠ANM=∠ONM=45°，可得出三角形AHN为等腰直角三角形，得到AH=HN，将表示出的AH及HN代入，得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值为0或4± 2，进而得到此时A与P重合，不合题意，故∠ONA不能为直角；若∠AON为直角，利用勾股定理得到OA2+ON2=AN2，由A的坐标，利用勾股定理表示出OA2，由OD及DN，利用勾股定理表示出ON2，由AH及HN，利用勾股定理表示出AN2，代入OA2+ON2=AN2，得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值为4±4 2或0，然后判断∠AON是否为直角；若∠NAO为直角，则有△AMN∽△DMO∽△DON，由相似得比例，将各自的值代入得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值为4，此时A与P重合，故∠NAO不能为直角，综上，点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，△ANO不能为直角三角形．
此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，两点坐标确定一次函数解析式，锐角三角函数定义，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，本题(3)中的第②小问利用的是反证法，先假设结论成立，利用逻辑推理的方法得出与已知条件，定理，公理矛盾，可得出假设错误，原结论不成立．视力
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人数
1
1
2
3
1
2
类型
价格
A型
B型
进价(元/盏)
40
65
标价(元/盏)
60
100