2022-2023学年宁夏石嘴山九中八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年宁夏石嘴山九中八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各曲线中表示是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  若式子有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B. 且 C.  D. 且

3.  下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是(    )

A. 一组对边平行 B. 对角线互相平分 C. 一组对边相等 D. 对角线互相垂直

4.  关于数据：，，，，，，下列说法正确的是(    )

A. 中位数是 B. 众数是和 C. 极差是 D. 平均数是

5.  满足下列条件的，不是直角三角形的是(    )

A.  B. ：：：：
C.  D. ：：：：

6.  将矩形纸片按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形若，则菱形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  同一直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象如图所示，则满足的取值范围是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、若，，则下列结论：垂直平分；≌；；：：其中正确结论的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  与最简二次根式是同类二次根式，则______．

10.  在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移个单位长度后恰好经过点，则的值为______．

11.  实数在数轴上的位置如图，化简______．

12.  若直角三角形其中两条边的长分别为，，则该直角三角形斜边上的高的长为______．

13.  一组数据、、、的方差是，则另一组数据、、、的方差是______ ．

14.  若点关于轴的对称点在第四象限内，则一次函数的图象不经过第______象限．

15.  如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是______．

 

16.  如图，正方形在直角坐标系中，其中边在轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线：沿轴的正方向以每秒个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为，平移的时间为秒，与的函数图象如图所示，则图中的值为______．
 

三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算．
；
．

18.  本小题分
先化简，再求值：已知，求的值．

19.  本小题分
如图，在中，，是中线，是高，，，求的长．

20.  本小题分
如图，矩形中，是的中点，延长，交于点，连接，．
求证：四边形是平行四边形．

21.  本小题分
我市二月份某一周每天的最高气温统计如下表：

求这一周最高气温这组数据的众数与中位数；
求这一周最高气温这组数据的极差与方差．

22.  本小题分
如图，等腰三角形中，，垂直，点是上一点，延长至点，使，
求证：四边形是菱形；
如果，求证：．

23.  本小题分
已知直线经过点，且平行于直线
求该函数的解析式，并画出它的图象；
如果这条直线经过点，求的值；
若为坐标原点，求直线的解析式；
求直线和直线与轴所围成的图形的面积．

24.  本小题分
某公司到果品基地购买某种优质水果慰问医务工作者，果品基地对购买量在以上含的顾客采用两种销售方案．甲方案：每千克元，由基地送货上门；乙方案：每千克元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费用为元．
分别写出该公司两种购买方案付款金额元与所购买的水果量之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
当购买量在哪一范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由．

25.  本小题分
阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如善于思考的小明进行了以下探索：设其中、、、均为整数，
则有，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
当、、、均为整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：______，______；
利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空：________________________；
若，且、、均为正整数，求的值？

26.  本小题分
如图，已知直线：与直线：相交于轴的点，且分别交轴于点、，已知．
如图，求点的坐标及的值；
如图，若为直线上一点，且点的横坐标为，点为轴上一个动点，求当最大时，点的坐标；
若为轴上一点，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
主要考查了函数的定义．注意函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
根据函数的意义求解即可求出答案．
【解答】
解：根据函数的意义可知：对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，故D正确．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，本题属于基础题型．根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：
且
故选D．  

3.【答案】 

【解析】解：、一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、两条对角线互相平分的四边形为平行四边形，故此选项符合题意；
C、一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，分别进行判断即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：把这组数据从小到大排列为：，，，，，，，最中间的数是，则中位数是；
平均数是：；
极差是：；
和都出现了次，出现的次数最多，则众数是和；
故选B．
根据平均数、众数、中位数及极差的定义和公式分别对每一项进行分析，再进行判断即可．
此题考查了平均数、众数、中位数及极差的知识，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数，极差是用最大值减去最小值．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，是直角三角形，故此选项不合题意；
B、，是直角三角形，故此选项不合题意；
C、，，
，
是直角三角形，故此选项不合题意；
D、：：：：，则，不是直角三角形，故此选项符合题意，
故选：．
根据勾股定理逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形；三角形内角和定理进行分析即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形内角和定理，关键是正确掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，
假设，则，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，利用勾股定理得出：
，
，
又，
则菱形的面积是：．
故选：．
根据菱形，得，再利用，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得的长，则利用菱形的面积公式即可求解．
此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
 

7.【答案】 

【解析】分析
确定直线在上包括相等方部分所有的点的横坐标的范围即可．
本题考查了一次函数与不等式的关系，了解一次函数图象位置表示的不等关系是本题解题关键．
详解
解：当时，直线：都在直线：的上方包括相等，即．
故选A．
 

8.【答案】 

【解析】解：矩形中，为中点，
，
，
是等边三角形，
，
，
垂直平分，
故正确；
为等边三角形，，
，，
，
，
与不全等；
故错误；
易知≌，，
，，
，，
，
，
故正确；
易知≌，
，
，
：：，
，
，，
，
：：，
故正确；
所以其中正确结论的个数为个；
故选：．
利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；
在和中，对应直角边不相等，则两三角形不全等；
可证明；
可通过面积转化进行解答．
本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】

【解答】
解：，
，
，
故答案为．
【分析】
本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式得到，然后解方程即可．  

10.【答案】 

【解析】解：根据一次函数的平移，
可知平移后的解析式为，
根据题意，将点代入，
得，
解得，
故答案为：．
根据一次函数的平移，可知平移后的解析式，再将点代入平移后的解析式，即可求出的值．
本题考查了一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图所示：，
则，
故．
故答案为：．
首先得出的符号，进而化简求出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出的符号是解题关键．
 

12.【答案】或 

【解析】解：设斜边上的高为，分两种情况：
当边长为的边为斜边时，
该直角三角形中斜边长为，一条直角边长为，
另一条直角边长；
斜边上的高；
当边长为的边为直角边时，
则根据勾股定理得斜边长为，
斜边上的高；
故该直角三角形斜边上的高为或，
故答案为或．
直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为的边是否为斜边，所以要讨论边长为的边为斜边；边长为的边为直角边；由三角形面积即可得出结果．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，本题中运用分类讨论思想讨论边长为的边是直角边还是斜边是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：数据、、的方差是，
数据、、、的方差是．
故答案为：．
根据方差的特点：若在原来数据前乘以同一个数，方差要乘以这个数的平方，若数据都加上一个数或减去一个数时，方差不变，即可得出答案．
本题考查的是方差的求法．一般地设有个数据，，，，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后，其方差也有相对应的变化．
 

14.【答案】一 

【解析】解：点关于轴的对称点在第四象限内，
点位于第三象限，
且，
解得：，
，，
经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故答案为：一．
首先确定点所处的象限，然后确定和的符号，从而确定一次函数所经过的象限，得到答案．
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数中，当，时，函数图象经过二、三、四象限．
 

15.【答案】 

【解析】解：在中，，
．
四边形是平行四边形，
，．
当取最小值时，线段最短，此时．
是的中位线，
，
；
故答案为：．
由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当时，线段取最小值，由中位线定理即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理以及垂线段最短．熟练掌握平行四边形的性质，由垂线段最短得出是关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：直线中，令，得；令，得，
即直线与坐标轴围成的为等腰直角三角形，
直线与直线平行，即直线沿轴的负方向平移时，同时经过，两点，
由图可得，时，直线经过点，
，
，
由图可得，时，直线经过点，
当时，直线经过，两点，
，
等腰中，，
即当时，．
故答案为：．
先根据为等腰直角三角形，可得直线与直线平行，即直线沿轴的负方向平移时，同时经过，两点，再根据的长即可得到的值．
本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．解决问题的关键是掌握正方形的性质以及平移的性质．
 

17.【答案】解：


；






． 

【解析】根据二次根式的性质化简即可；
根据二次根式的乘除法法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，分式的乘除法以及分母有理化，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
原式


，
当时，
原式． 

【解析】原式利用完全平方公式及二次根式性质化简，约分后得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示：
，是中线，
，
在中，由勾股定理得：，
是高，
，
． 

【解析】由直角三角形斜边上的中线性质求出，由勾股定理求出，再由三角形的面积关系即可求出．
此题主要考查了勾股定理、直角三角形的性质以及三角形面积的计算，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
．
是的中点，
．
在和中，

≌，
．
又，
四边形是平行四边形． 

【解析】证明≌得出，即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：根据图表得出数据有：，，，，，，，
根据众数定义出现次数最多的是众数，这组数据的众数为：，
中位数为：；

根据极差最大值最小值，
极差为：，
这组数据的平均数为：，
方差为：，
，
． 

【解析】根据将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，以及一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．分别求出即可；
根据极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差，极差最大值最小值，以及方差公式求出即可．
此题考查了确定一组数据的中位数和众数以及极差与方差等知识，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

22.【答案】证明：，，
．
，
四边形是平行四边形．
又，
四边形是菱形．

证明：四边形是菱形．
．
，，
．

．

．
．
即：． 

【解析】根据题意可证得为等腰三角形，由，则，从而得出四边形是菱形；
由得，再根据，得，由，得，从而得出．
本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．
 

23.【答案】解：与直线平行，
，将
代入，解得
该函数解析式为，
图象如图所示；
将代入解析式，则有，解得，
设此解析式为，将点代入，，解得，
即此解析式为，
设直线与轴交点为，与轴交点为，则过点分别做与轴和轴的垂线，分别交轴轴于点、则，，，
两直线与轴围成的图形为，
面积为：． 

【解析】根据两直线平行的问题得到，然后把代入得求出即可得到该函数解析式为；
把代入即可得到的值；
利用待定系数法求直线的解析式；
先求出直线与轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
 

24.【答案】解：甲方案：每千克元，由基地送货上门，
根据题意得：；，
乙方案：每千克元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为元，
根据题意得：；．
根据题意可得：当时，
，
当购买千克时两种购买方案付款相同，
当大于千克时，，
甲方案付款多，乙付款少，
当小于千克时，，
甲方案付款少，乙付款多． 

【解析】本题主要考查一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，及所求量的等量关系．要会用分类的思想来讨论求得方案的问题．本题要注意根据，，，三种情况分别讨论，也可用图象法求解．
根据甲，乙两种销售方案，分别得出两种购买方案的付款元与所购买的水果质量千克之间的函数关系式，即单价质量，列出即可；
根据分析与的大小关系，得出不等式的解集可以得出购买方案付款的多少问题．
 

25.【答案】           

【解析】解：若，则有，
，．
故答案为：；；
令，，
由可知，，，
故答案为：；；；答案不唯一；
由可知，，，

而、、均为正整数，
，或者，，
当，时，；
当，时，．
综上，或者．
根据小明的方法，将按照完全平方公式展开，得到，再和的系数进行对比，即可求出和的值；
任意找出一组和的值，预设，代入中探索的结论中即可求出和的值；
若要求、、的值，需要先求出、的值，根据题意可知，进而得出，再结合、均为正整数即可求出、的值，然后根据分类讨论即可求出的值．
本题主要考查了完全平方公式在二次根式混合运算中的应用，分类讨论思想是本题的关键．
 

26.【答案】解：直线：与直线：相交于轴的点，
，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
，
，
，
把点坐标代入中，得到；

如图中，

由题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最大，
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为，
；

如图中，

，，
，，
，
当时，可得，
当时，设，则有，
，
，
．
当时，或．
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 

【解析】首先判断出，求出点，点的坐标，可得结论；
由题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最大，
分三种情形：当时，当时，当时，分别求解即可．
本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题关键是学会利用轴对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．