2022-2023学年安徽省蚌埠市G5联动八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省蚌埠市G5联动八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

3.  下列方程是关于的一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一元二次方程根的情况是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 只有一个实数根

5.  在直角坐标系中，点到原点的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  用配方法解方程，方程应变形为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若，则应是(    )

A. 负数 B. 正数 C. 非零实数 D. 有理数

8.  某商厦月份的营业额是万元，第四季度的营业额是万元问第四季度后两个月的月平均营业额的增长率是多少？设平均增长率为，以下方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值为(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

10.  如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  若关于的方程是一元二次方程，则______．

12.  如图，，则数轴上点所表示的数为______．

13.  已知，则 ______ ．

14.  如图，在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为，若，
则的长为______ ．
则的长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：
；
．

16.  本小题分
用适当方法解下列方程：
．
．

17.  本小题分
如图，在正方形网格中，小正方形的边长为，，，为格点．
判断的形状，并说明理由；
求边上的高．

18.  本小题分
已知关于的方程是一元二次方程，求这个一元二次方程的解．

19.  本小题分
算法统宗是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在算法统宗中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”注：步尺
译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地尺，将它往前推送尺水平距离时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．”

 

20.  本小题分
观察下列等式：；；．
解决下列问题：
根据上面个等式的规律，写出第个式子；
用含为正整数的等式表示上面各个等式的规律；
利用上述结果计算：．

21.  本小题分
阅读下面的材料：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点．
它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，当时，，所以；当时，，所以；所以原方程有四个根：，，，．
仿照上述换元法解下列方程．
；
．

22.  本小题分
在蚌埠花博园附近某盆栽销售处发现：进货价为每盆元，销售价为每盆元的某盆栽平均每天可售出盆现此店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利经市场调查发现：如果每盆降价元，那么平均每天就可多售出盆，设每盆降价元．
现在每天卖出______ 盆，每盆盈利______ 元用含的代数式表示；
求当为何值时，平均每天销售这种盆栽能盈利元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
要想平均每天盈利元，可能吗？请说明理由．

23.  本小题分
如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．
当秒时，求的周长；
当在的垂直平分线上时，求的值；
另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动，当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．，故不是最简二次根式，不符合题意；
B.，故不是最简二次根式，不符合题意；
C.，故不是最简二次根式，不符合题意；
D. 是最简二次根式，符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不能含有开得尽方的因数或因式；熟练掌握最简二次根式必须满足的两个条件是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：设第三边长为，
当为斜边时，；
当为斜边时，，解得负值舍去．
综上所述，第三边的长为或．
故选：．
设第三边长为，再根据为斜边或为斜边两种情况进行分类讨论．
本题考查的是勾股定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
 

3.【答案】 

【解析】解：该方程是分式方程，故本选项不合题意；
B.该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C.该方程是一元一次方程，故本选项不合题意；
D.该方程中含有两个未知数，故本选项不合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
方程没有实数根．
故选：．
先把一元二次方程整理为一般形式，再计算的值，根据一元二次方程根与系数的关系即可判断．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：点到原点的距离为，
故选：．
根据勾股定理可求点到原点的距离．
本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，即，
故选：．
常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．
本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【解答】
解：，
是负数，
故选：．
【分析】
根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据分式的值等于，可得的值．
本题考查了二次根式，二次根式的性质，可化简二次根式，根据分式的值等于，可得的值．  

8.【答案】 

【解析】解：依题意得，，
故选：．
设平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
，，
，
解得：或，
把代入方程得：，，此时方程有解；
把代入方程得：，，此时方程无解，即舍去．
故选：．
根据根与系数关系得出：，，代入中，求出的值，再进行检验即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

10.【答案】 

【解析】解：是等腰直角三角形，
，，
，
，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“，依此规律即可解决问题．
本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
．
根据二次项次数不等于，未知数最高次数是可列出关于的关系式，计算即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，解题的关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
 

12.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得，，
，
点表示的数是，
点表示的数是．
故答案为：．
根据勾股定理列式求出的长，即为的长，再根据数轴上的点的表示解答．
本题考查了勾股定理，实数与数轴，是基础题，熟记定理并求出的长是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：令，
则由题知，．
解得或．
又，
所以舍去．
因此．
故答案为：．
可将看作一个整体，再进行计算，即可解决问题．
本题考查整式的混合运算与化简求值，整体思想的运用是解题的关键．
 

14.【答案】   

【解析】解：四边形是正方形，，
，，
是的中点，
，
故答案为：．
由折叠得，，，
，
，
，
，且，
，
解得，
故答案为：．
正方形的性质得，，由是的中点，得，于是得到问题的答案；
由折叠得，，，所以，因为，所以，由勾股定理得，所以，求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地求出的长及的长是解题的关键．
 

15.【答案】解：

；


 

【解析】根据完全平方公式，二次根式的混合运算进行计算即可求解；
根据二次根式的性质化简，化简绝对值，零指数幂，进行计算即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
，，，，
，
；
，
，
即或，
解得：． 

【解析】根据公式法解一元二次方程即可求解；
根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
 

17.【答案】解：是直角三角形，
理由：由勾股定理得：
，，，
，
是直角三角形；
设的边上的高为，
在中，，，，
的面积，
，
，
边上的高是． 

【解析】根据勾股定理的逆定理进行计算即可解答；
设的边上的高为，然后利用等面积法进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

18.【答案】解：关于的方程是一元二次方程，
，，
解得：，
原方程为，
即，
解得：． 

【解析】根据一元二次方程解的定义求得的值，进而根据因式分解法即可求解．
本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
 

19.【答案】解：设绳索有尺长，
由题意得：，
解得：，
即绳索长尺． 

【解析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键．设绳索有尺长，由勾股定理得出方程，解方程即可．
 

20.【答案】解：；
；
；
第个式子是：；
第个等式为；
原式


． 

【解析】利用题中等式的规律即可得到；
根据题目中式子的特点，找到规律得出第个等式；
利用的结论得出的规律，再裂项计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算的应用，根据题意正确总结规律是解题的关键．
 

21.【答案】解：令，
，
，
，，
舍去，，
；
令，
，
，
，
，，
，，
，，
经检验，，为原方程的解． 

【解析】设，则由已知方程得到：，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于的一元二次方程；
设，则由已知方程得到：，利用因式分解法求得该方程的解，然后进行检验即可．
本题主要考查了换元法解一元二次方程，分式方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
 

22.【答案】   

【解析】解：设每盆降价元，由题意得：每天卖出盆栽的数量为：件，
每件的盈利为：元，
故答案为：，；
设每盆降价元，由题意得：，
解得：，
为使顾客得到较多的实惠，应取；
不可能，理由如下：
设每盆降价元，依题意得：，
整理得：，，
则原方程无实数解．
则不可能每天盈利元．
根据题意列出相应的代数式即可；
根据题意列出方程，即每盆盆栽的利润销售量总盈利，再求解，把不符合题意的舍去；
根据题意列出方程进行求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．
 

23.【答案】解：如图所示，

，
是直角三角形，
，
动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，
出发秒后，，
，
在中，由勾股定理得：，
的周长为
如图，作的垂直平分线，交于，交于，连接，则，，

当点与点重合时，，
此时，，，
在中，
解得：
当点与点重合时，，
此时，，即，
解得，
当在的垂直平分线上时，或；
分两种情况：当、相遇前：如图

点走过的路程为，走过的路程为，
直线把的周长分成相等的两部分，
，
，
当、相遇后：如图

当点在上，在上，则，，
直线把的周长分成相等的两部分，
，
，
故当为秒或秒时，直线把的周长分成相等的两部分． 

【解析】由勾股定理得，再由题意得，，然后由勾股定理求出，即可求解；
分两种情况：点在上和点在上，分别根据移动的路程，求得时间的值即可；
分两种情况：当、没相遇前：点走过的路程为，走过的路程为，根据题意得出方程，解方程即可；当、没相遇后：当点在上，在上，则，，根据题意得出方程，解方程即可；即可得出结果．
本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．