2022-2023学年安徽省安庆市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省安庆市八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  用配方法解方程，变形后的结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列二次根式中，与是同类二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若关于的一元二次方程有实数根，则满足条件的正整数个数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某工厂计划用两年时间使产值增加到目前的倍，并且使第二年增长的百分数是第一年增长百分数的倍，设第一年增长的百分数为，则可列方程得(    )

A.  B.
C.  D.

6.  代数式的最小值是(    )

A.  B.  C.  D. 不存在的

7.  三边长分别为，，下列条件：；：：：：；：：：：；，，其中能判断是直角三角形的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  若关于的一元二次方程两根为和，则关于的方程的实数根个数为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图的方式放置在最大正方形内．若知道．图中阴影部分的面积，则一定能求出(    )
 

A. 直角三角形的面积 B. 较小两个正方形重叠部分的面积
C. 最大正方形的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和

10.  若是方程的一个根，设，，则与的大小关系正确的为(    )

A.  B.  C.  D. 不确定

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  化简：______．

12.  已知关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根是______．

13.  如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为，则网格上的三角形中，边上的高是______ ．

14.  如图，在锐角中，，，的平分线交于点，点，分别是线段和上的两个动点，则的最小值是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

15.  解方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
已知方程的两根为，，求的值．

18.  本小题分
如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图．

在图中，画一个正方形，使它的面积为；
在图中，西一个三角形，使它的三边长分别为，，；
请写出图中所画的面积为______ 直接写出结果

19.  本小题分
观察下列等式：
第个等式：；第个等式：；第个等式；
根据以上规律，解决下列问题：
写出第个等式：______ ；
写出你猜想的第个等式：______ 用含的式子表示，并证明．

20.  本小题分
如图，有一块直角三角形纸片两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长．

21.  本小题分
阅读材料．
将一个代数式或代数式的某一部分通过改写化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种解题方法称为配方法这种方法常常被用到代数式的恒等变形中，其作用在于揭示代数式的非负性，是挖掘隐含条件的利器，添项，拆项是常用的方法与技巧．
例如，我们可以通过配方法，求代数式的最小值，解题过程如下：
解：，
又，当时，有最小值为．
请根据上述方法，解答下列问题：
，则的值是______ ；
若代数式的最小值为，求的值．

22.  本小题分
如图，利用一面墙墙长米，用总长度米的栅栏图中实线部分围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米．
______ 米用含的代数式表示；
若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长；
矩形围栏面积是否有可能达到平方米？若有可能，求出相应的值；若不可能，则说明理由．

23.  本小题分
在中，，为中点，点、分别在边、上，且．

如图，如果，，试求和的长度；
猜想线段、和长度之间的数量关系
如图，如果，中、和之间的关系还成立吗？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，不是最简二次根式，不合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不合题意；
D、，不是最简二次根式，不合题意；
故选：．
直接利用二次根式的性质结合最简二次根式化简得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：方程，整理得：，
配方得：，即，
故选：．
方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，与被开方数相同，故是同类二次根式；
B、，与被开方数不同，故不是同类二次根式；
C、，与被开方数不同，故不是同类二次根式；
D、，与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：．
根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．
此题主要考查了同类二次根式的定义，解决本题的关键是掌握其定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
 

4.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
且．
又为正整数，
或或，
所以满足条件的值有个，
故选：．
由关于的一元二次方程有实数根，可得且，再解不等式组结合为正整数，即可得到答案．
本题考查的是一元二次方程的定义及一元二次方程根的判别式，掌握利用一元二次方程根的情况求解参数的范围是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设第一年增长的百分数为，则第二年增长的百分数为，
根据题意，得．
故选：．
设第一年增长的百分数为，则第二年增长的百分数为，根据“计划用两年时间使产值增加到目前的倍”列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
 

6.【答案】 

【解析】解：由条件得，则．
．
即代数式的最小值是．
故选：．
根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数列不等式组求的取值范围，再确定代数式的最小值．
主要考查了二次根式的意义和性质及解一元一次不等式组．
二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
故是直角三角形；
：：：：，可得：，
故是直角三角形；
：：：：，最大角，
故不是直角三角形；
，，，
，
故不是直角三角形；
是直角三角形的有个；
故选：．
根据直角三角形的定义，三角形内角和定理、勾股定理的逆定理一一判断即可．
此题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程两根为和，
或，
解，得，
此方程无实数解；
解，得，
，
关于的方程的实数根个数为个，
故选：．
根据关于的一元二次方程两根为和，可知或，分别解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的解，以及解一元二次方程，根据方程的解得出或是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短的直角边为，
根据勾股定理得，，
阴影部分的面积，
较小的两个正方形重叠部分的长，宽，
较小的两个正方形重叠部分的面积阴影部分的面积，
知道图中阴影部分的面积，则一定能求的是两个小正方形重叠部分的面积，
故选：．
设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短的直角边为，根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式及长方形的面积公式，表示出阴影面积，再与各选项有关的面积联系，得出结论．
本题主要考查正方形的性质和勾股定理等知识点，用、、表示出阴影部分的面积和较小两个正方形重叠部分的面积是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：是方程的一个根，
，即，
则



，
，
故选：．
把代入方程得，作差法比较可得．
本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
先算出的值，再根据算术平方根的定义直接进行计算即可．
本题考查的是算术平方根的定义，把化为的形式是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设另一个根为，
由根与系数的关系可知：，
解得，
故答案为：．
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：每个小正方形的边长为，
所在的长方形的面积为：，
，，
设的高为，则，即，
．
故答案为：．
先利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积，求出的面积，再求出的长，再利用面积公式即可求出结果．
本题考查勾股定理，利用求差法求出的面积是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值．

是的平分线，
，
是点到直线的最短距离垂线段最短，
，，
是等腰直角三角形，
，
．
的最小值是，
故答案为：．
作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，再根据是的平分线可知，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
本题考查的是轴对称最短路线问题，解答此类问题的关键是将已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
 

15.【答案】解：方程变形得：，
分解因式得：，
解得：，． 

【解析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：、是原方程的两个实数根，
，，
又
．
的值为． 

【解析】因为、是原方程的两个实数根，所以，，又因为，然后把前面的值代入即可求出其值．
解题关键是把转化为与根与系数有关的式子解答，此题体现了转化思想在解决数学问题时的作用．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，正方形即为所求作．
如图，即为所求作．

，
故答案为：．
根据要求作出图形即可．
根据要求作出图形即可．
利用三角形的面积公式计算即可．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】  

【解析】解：第个等式：；
第个等式：；
第个等式；
第个等式；
故答案为：；
由可得第个等式为：，
证明：
左边右边．
所以等式成立．
根据前三个等式分别写出第个等式即可得到答案；
由得到结论，证明左边等于右边即可．
本题主要考查分式的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出的规律．
 

20.【答案】解：有一块直角三角形纸片两直角边，，
，
将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，
，，，
设，则，
故DE，
即，
解得：，
则的长为． 

【解析】利用翻折变换的性质得出，，，进而利用勾股定理得出的值．
此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，表示出的长是解题关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：，
，，
，
故答案为：；
代数式的最小值为，
，
是一个完全平方式，
，
．
根据阅读材料的方法，把配方成的形式，即可求解；
代数式的最小值为，必须是一个完全平方式，据此求解即可．
本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式将一个代数式或代数式的某一部分通过改写化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式是解题的关键，
 

22.【答案】 

【解析】解：设栅栏长为米，
栅栏的全长为米，且中间共留两个米的小门，
米，
故答案为：；
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去，
当时，，符合题意，
答：栅栏的长为米；
不可能，理由如下：
依题意，得：，
整理得：，
，
方程没有实数根，
矩形围栏面积不可能达到平方米．
设栅栏长为米，根据栅栏的全长结合中间共留个米的小门，即可用含的代数式表示出的长；
根据矩形围栏面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
根据矩形围栏面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏面积不可能达到平方米．
本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出的长；找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．
 

23.【答案】解：连接，

，，
是等腰直角三角形．
点是的中点，
，，．
又，
，
，，
．
在与中，
，
≌，
，
，，，，
在中，由勾股定理得；
猜想：．
证明：由可知≌，
，
，
，即．
在中，由勾股定理，得，
；
结论：还成立．理由如下：
如图，延长至点，使，连接，．

点为中点，
，
，，
≌，
，，
，
．
又，，
是的垂直平分线，
，
在中，由勾股定理，得，
． 

【解析】利用“”证明≌，求得，，在中，由勾股定理即可求解；
由全等三角形的性质可知，结合题意可求出在中，再由勾股定理，可得出答案；
延长至点，使，连接，易证≌，得出，，从而判断，即证明再根据线段垂直平分线的判定和性质可知最后在中，由勾股定理，得，即得出．
本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质以及平行线的性质等知识．掌握三角形全等的判定条件和正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键．