人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线教案

第三章 圆锥曲线的方程

3.2.1 双曲线及其标准方程

教学设计

教学目标

1.经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程.

2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.

3.通过双曲线标准方程的推导过程理解数形结合思想.

教学重难点

教学重点：双曲线的定义、标准方程.

教学难点：双曲线标准方程的推导.

教学过程

新知积累

1.双曲线的定义

一般地，平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

2.双曲线的标准方程

①焦点在x轴上的双曲线的标准方程

双曲线也具有对称性，直线是它的一条对称轴，取经过两焦点和的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy.设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，那么，焦点，的坐标分别是，，又设（a为大于0的常数）.

由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：

，.

因为，，

所以.①

化简①得，

两边同除以，得.

由双曲线的定义知，，即，所以.

令，其中，代入上式，得.②

从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都是方程②的解；以方程②的解为坐标的点与双曲线的两个焦点，的距离之差的绝对值都为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上.我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在x轴上，焦点分别是，的双曲线，这里.

②焦点在y轴上的双曲线的标准方程

如图，双曲线的焦距为2c，焦点分别是，，a，b的意义同上，这时双曲线的方程是，这个方程也是双曲线的标准方程.

总结：

例题巩固

例1 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与，的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.

解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为.

由，，得，

又，因此.

所以双曲线的标准方程为.

例2 已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程.

解：如图，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B两点在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合.

设炮弹爆炸点P的坐标为，

则，即，.

又，所以，，.

因为，

所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此.

所以炮弹爆炸点的轨迹方程为.

课堂练习

1.“”是“方程表示双曲线”的(   )

A.充要条件  B.充分不必要条件

C.必要不充分条件  D.既不充分也不必要条件

答案：B

解析：当时，，，方程表示焦点在y轴上的双曲线；但当时，，，方程也表示双曲线，所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选B.

2.（多选）若，是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且，则下列说法中正确的是(   )

A.  B.

C.的面积是24 D.的面积是48

答案：ABC

解析：由题意得，，则.由，得，，故A，B正确；因为，所以是直角三角形，面积，故C正确，D错误.故选ABC.

3.过双曲线左焦点的直线交双曲线的左支于M，N两点，为其右焦点，则的值为___________.

答案：8

解析：由双曲线的方程可知.因为M，N两点在双曲线的左支上，所以由双曲线定义得，，所以，而，所以.

小结作业

小结：本节课学习了双曲线及其标准方程.

作业：完成本节课课后习题.

板书设计

3.2.1 双曲线及其标准方程

1.双曲线的定义

2.双曲线的标准方程