专题三     指数函数与对数函数专题训练

一、单选题（本大题共10小题。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  函数的定义域为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

B 

【解析】

【分析】

本题考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
由根式内部的代数式大于等于，对数式的真数大于，联立不等式组求解．

【解答】

解：函数，
要使函数有意义，则，解得．
故函数的定义域为．
故本题选B．

2.  人们通常以分贝符号是为单位来表示声音强度的等级，强度为的声音对应的等级为装修房屋时电钻的声音约为，室内正常交谈的声音约为，则装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的倍(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

A 

【解析】

【分析】

本题考查函数模型的应用，考查对数方程的解法，是基础题．
在中分别取、求得值，作比得答案．

【解答】

解：，
当时，可得，即，则；
当时，可得，即，则．
装修房屋时电钻的声音强度是室内正常交谈的声音强度的．
故选：．

3.  围棋是一种古老的智力游戏，相传是中国“五帝”之一的尧帝发明的，至今已有多年的历史．围棋最早被称为“弈”或“棋”后来，人们根据下棋时黑白双方总是互相攻击，互相包围的特点，称“下棋”是“围棋”这样，“围棋”作为一个专门名词就固定下来．南北朝时候，棋盘定型为现在的道棋盘即棋盘上有纵横各条线段将棋盘分成个交叉点根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是参考数据：(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

A 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是对数的运算，属于基础题．
令，得，计算即可得出，本题可解．

【解答】

解：令，
则
．
故．
故选A．

4.  变量，的几组实验测量数据如下表所示：

则根据上表数据，在下列函数中，拟合变量，关系的最佳函数是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

A 

【解析】

【分析】

本题考查了一次函数、指数函数、对数函数，二次函数的增长差异，属于基础题．
作出散点图可排除，，根据所给数据，代入，计算验证可得结论．

【解答】

解：画出散点图：

根据图象可得该函数的增长越来越快，故可排除，，
根据，，代入计算，可以排除
将各数据代入函数，可知满足题意，
故选A．

5.  已知，，，则下列判断正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

C 

【解析】

【分析】

本题考查了对数的单调性与大小比较，合理转化是关键．
利用对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论．

【解答】

解：，
即．

故选C．

6.  若，，，则下列关系式正确的为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

D 

【解析】

【分析】

本题考查利用指数函数、对数函数的性质比较大小，属于基础题．
利用指数函数、对数函数的单调性，以及与“”，“”的关系，即可判定．

【解答】

解：，
．
故选D．

7.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

B 

【解析】

【分析】

本题考查了指数与指数幂的运算，属于基础题．
根据指数幂的运算法则求解即可．

【解答】

解：，
则．
故选B．

8.  (    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

B 

【解析】

【分析】

本题考查了有理数指数幂及根式的运算，主要考查了有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质，属于基础题．
利用有理数指数幂与根式的互化以及有理指数幂的运算性质即可求出答案．

【解答】

解：原式．
故选：．

9.  函数是(    )

A. 奇函数，在区间上单调递增 B. 奇函数，在区间  上单调递减
C. 偶函数，在区间上单调递增 D. 偶函数，在区间上单调递减

【答案】

A 

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题．
根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，借助指数函数的性质判断单调性．

【解答】

解：令，则，所以函数是奇函数，排除，．
又函数，都是上的增函数，
由增函数与增函数的和还是增函数的结论可知，是上的增函数，故选择．

10.  设，，，则，，的大小关系(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

A 

【解析】

【分析】

本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．

【解答】

解：，
，
，
．
故选A．

二、填空题（本大题共10小题）

11.  计算          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查对数和指数幂运算，考查计算能力，属于基础题．
利用对数和指数幂的运算规律即可求解．

【解答】

解：


．
故答案为：．

12.  一种产品的成本原来是元，在今后年内，计划使成本平均每年比上一年降低，则成本随经过的年数变化的函数关系为          ．

【答案】

，，且 

【解析】

【分析】

此题考查指数函数模型的构建，考查分析解决问题的能力，属于基础题．

根据在今后年内，计划使成本平均每年比上年降低，可得指数函数模型，即可求得函数解析式．

【解答】

解：设成本经过年降低到元，，
经过一年为，
经过二年为，
经过三年为，

则随着年份变化的函数关系式为，，且，
故答案为，，且

13.  计算          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查对数的运算，属于基础题．
根据对数的运算法则化简即可．

【解答】

解：，

故答案为．

14.  求值：          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了对数运算与指数运算的应用，属于基础题．
利用对数运算和指数运算法则化简求值即可．

【解答】

解：

．
故答案为：．

15.  若函数且的图象恒过定点，则坐标为          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查指数函数图象过定点问题，属于基础题．
令，得，可得函数值是一个定值，与参数无关，即可得到定点．

【解答】

解：函数且，
令，解得，则，

所以该函数图象恒过定点为 ．

故答案为：．

16.  若，，则          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题．
先把指数式化为对数式，再结合对数的运算性质求解即可．

【解答】

解：，，，，
，
故答案为：．

17.  生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象．若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型为常数来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间单位：天之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的倍所需要的时间为          天．结果保留一位小数参考数据：，

【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查利用对数函数模型解决实际应用，考查了对数的运算性质，属于基础题．

根据已知数据可求出，设初始时间为，累计繁殖数量倍后的时间为，利用，结合对数运算性质可求出结果．

【解答】

解：，，，
，解得，
设初始时间为，初始累计繁殖数量为，累计繁殖数量增加倍后的时间为，
则，
故估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的倍所需要的时间为天．
故答案为：．

18.  已知幂函数为常数的图象经过点，则          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查幂函数和对数函数，意在考查学生的计算能力，属于基础题．
根据幂函数计算得到，代入计算得到答案．

【解答】

解：根据题意：，故，故．

故答案为：．

19.  已知，且，，则          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查指数幂的化简求值，考查指数式与对数式的互化．属于中档题．
由已知直接化对数式为指数式可得，进一步求得，再由完全平方式求解．
 

【解答】

解：由，
得；
．
．
则．
故答案为：．

20.  函数的定义域为           ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数的定义域，属于基础题．

【解答】

解：由解得．

三、解答题（本大题共10小题。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.已知指数函数经过点．

Ⅰ求的解析式及的值；

Ⅱ若，求的取值范围．

【答案】

解：Ⅰ因为经过点，
所以，所以，
所以 ，
所以；
Ⅱ因为，即，
又 在上为增函数，
所以，
的取值范围为：． 

【解析】本题考查了指数函数的定义、指数函数的单调性以及不等式的解法，属于基础题
Ⅰ将点代入到，解得的值，即可求出解析式，由此可求出的值；
Ⅱ根据指数函数为增函数，转化不等式，解之即可．
 

22. 计算：
；
 

【答案】

解：原式；
原式． 

【解析】本题考查了根式转化为指数式的方法，指数和对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．
进行根式和指数式的运算即可；
进行对数的运算即可．
 

23.已知函数，且，．

求，的值

若，求的值域．

【答案】

解： ，
，
即，
所以，．

由可知，

令，因为，所以．

所以函数等价于，

所以当时，；
当时，，

所以若，则的值域为．

【解析】本题考查指数函数，考查函数的值域，属于基础题．
由，，建立方程组进行求解即可求得，的值；
由可知，，令，由，可得，从而函数等价于，根据二次函数的性质可求解．
 

24.已知对数函数的图象经过点．

求函数的解析式；

如果不等式成立，求实数的取值范围．

【答案】

解：对数函数的图象经过点，
 则，解得，
故函数的解析式为；

由，得 ，
所以，解得，

故实数的取值范围是．

【解析】本题考查对数函数的解析式，利用对数函数的单调性解不等式，属于基础题．
将点代入函数解析式，求出，可得函数的解析式；

由得，求解即可求出实数的取值范围．

25.已知是定义在上的偶函数。

求的值

若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．

【答案】

解：由题意知，，即，解得，
则，
，
所以函数为偶函数，；          
由知
当时，，的最小值为，
又，

关于的方程有个不相等的实数根，即为函数与的图象有两个不同的交点，
因为函数为偶函数，只需函数与的图象在上有一个交点，
由数形结合可知，实数的取值范围为 

【解析】本题考查偶函数的性质、根据方程有解求参数的范围，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力，属于基础题．
根据函数为偶函数可得，解方程即可求出，然后验证即可；
将问题转化为两个函数图象交点问题，结合中函数图像，即可得答案．
 

26.已知函数．
用函数单调性的定义证明在区间上单调递增；
若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】

解：证明：设，则，
因为，所以，，
所以，即，
所以在区间上单调递增；
即为，
化为在时恒成立，
由，当，即时，取得最大值．
所以，即，
则的取值范围是． 

【解析】本题考查函数的单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
由单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、下结论等步骤；
运用参数分离和指数函数的值域、配方法和二次函数的最值求法，可得所求取值范围．
 

27.已知是定义在上的奇函数，，当时的解析式为．
写出在上的解析式；
求在上的最值．

【答案】

解：因为是定义在上的奇函数，所以，即，
由，得，得，，则当时的解析式为．
设，则，，即当时，．
，其中，
当，即时，的最大值为，
当，即时，的最小值为． 

【解析】本题考查函数的奇偶性的运用：求函数的解析式，考查函数的最值的求法，属于中档题．
利用，，求出，，结合时函数解析式，可得在上的解析式；
利用配方法，即可求在上的最值．
 

28.求函数．
定义域和值域
增区间和减区间．

【答案】

解：由题设得，，
解得，
的定义域为，
设，
则，，
的值域为；
因为函数的定义域为，
且函数在上单调递增，在上单调递减，
而对数函数在其定义域内单调递增，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为． 

【解析】本题考查函数的定义域，值域，复合函数的单调性，属于基础题．
利用对数函数、二次函数的性质求解即可；
由复合函数的单调区间求解即可．
 

29.解下列方程：
；                          
 

【答案】

解：，
，
或，
或
，
，
解得． 

【解析】本题考查指数方程对数方程的求法，解题时要注意等价转化思想、运算法则的合理运用，属于基础题．
由，得到，解得即可
由已知方程等式，得到，解得即可．
 

30.函数的定义域为集合，函数的值域为集合．

求；
若集合，且，求实数的取值范围．

【答案】

解：函数，
由，解得或，
集合或，则；
函数，
，，
，则集合，
；
集合，，
当，即时，，满足；
当，即时，，则，且，解得，
综上所述，实数的取值范围，
即实数的取值范围为 

【解析】本题考查集合的交集和补集运算及函数的定义域与值域，考查指对数函数的性质及集合关系中参数取值问题，熟练掌握这些知识点是解题的关键，属于基础题．
分别求出集合，，结合集合的补集及交集的定义，可得答案；
分为空集和不为空集两种情况，可求出满足条件的实数的取值范围．