专题八     空间几何体专题训练

一、单选题(共60分）

1．(本题5分)若一个圆锥的底面半径为2，母线长为3，则该圆锥的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据圆锥的侧面积公式计算出答案即可.

【详解】该圆锥的侧面积为.

故选：B.

2．(本题5分)已知是圆锥的一个轴截面，分别为母线的中点，，则圆锥的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据轴截面求出底面半径和母线长，再根据侧面积公式可求出结果.

【详解】如图：

因为，所以，则圆锥底面半径，

，即母线，

所以圆锥的侧面积.

故选：D

3．(本题5分)如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（    ）

A．一个球、一个四校柱、一个圆台构成

B．一个球、一个长方体、一个棱台构成

C．一个球、一个四校台、一个圆台构成

D．一个球、一个五棱柱、一个校台构成

【答案】B

【分析】根据组合体基本构成即可得答案.

【详解】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成.

故选：B.

4．(本题5分)下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是（    ）

A．棱柱的侧棱互相平行

B．以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥

C．正三棱锥的各个面都是正三角形

D．棱台各侧棱所在直线会交于一点

【答案】C

【分析】根据相应几何体的定义和性质判断即可.

【详解】根据棱柱的性质可知A正确；

当以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴时，所得几何体为两个圆锥的组合体，故B正确；

正三棱锥的底面是正三角形，其余侧面是全等的等腰三角形，故C错误；

棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得，故侧棱所在直线必交于一点，D正确.

故选：C

5．(本题5分)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意知，该几何体是一个半圆锥，其底面半径为1，高为1，计算体积即可.

【详解】由题意知，该几何体是一个半圆锥，其底面半径为1，高为1，

则该几何体的体积为．

故选：A.

6．(本题5分)如图，A，B，C是正方体的顶点，，点P在正方体的表面上运动，若三棱锥的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，则三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三棱锥的三视图的面积确定点的位置，从而求出体积.

【详解】因为三棱锥的主视图、左视图的面积都是1，俯视图的面积为2，正方体边长为2，

所以点在如图所示的顶点位置，，

三棱锥的体积为.

故选：C

7．(本题5分)一个圆锥的母线长为26cm，一条母线与底面直径的夹角为，则圆锥的高为（    ）cm.

A．13 B． C．26 D．

【答案】B

【分析】根据圆锥的结构特征，由已知条件求圆锥的高即可.

【详解】由题意，圆锥的高cm.

故选：B

8．(本题5分)灯罩的更新换代比较快，而且灯具大部分都是设计师精心设计，对于灯来说，不用将灯整个都换掉，只需要把灯具的外部灯罩进行替换就可以改变灯的风格.杰斯决定更换卧室内的两个灯罩来换换氛围，已知该灯罩呈圆台结构，上下底皆挖空，上底半径为10，下底半径为18，母线长为17，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计做工布料的浪费，则更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】运用圆台的侧面积公式计算即可.

【详解】由题意可得更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积.

故选：B.

9．(本题5分)辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎（如图1）出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（忽略鼎壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用球体、圆柱体体积公式求鼎的容积.

【详解】由题设，此鼎的容积为半球体积与圆锥体积的和，

所以容积约为.

故选：D

10．(本题5分)棱长为2的正方体的外接球的球心为O，则四棱锥的体积为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】求出到平面的距离，利用体积公式进行求解.

【详解】正方体的外接球的球心为O，由对称性可知O为正方体的中心，

O到平面的距离为1，即四棱锥的高为1，而底面积为，

所以四棱锥O-ABCD的体积为．

故选：B

11．(本题5分)已知球的半径是2，则该球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用球的表面积公式计算即可.

【详解】，

故选：D.

12．(本题5分)由于正六边形兼具美感与稳定性，许多建筑中都有出现正六边形.图中塔的底面是边长为的正六边形，则该塔底面的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分成六个等边三角形，计算面积和.

【详解】因为正六边形的边长为，所以正六边形可以分成六个等边三角形，

所以面积.

故选：D.

二、填空题(共20分）

13．(本题5分)圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为________．

【答案】

【分析】根据扇形弧长与底面半径关系得，解出弧长，最后利用侧面积公式即可.

【详解】设圆锥的母线为,则,所以,

则圆锥的侧面积为.

故答案为：.

14．(本题5分)棱台的上下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是___.

【答案】

【分析】由面积之比得到边长之比，结合相似得到高的比.

【详解】不妨设原棱锥为四棱锥，

设棱台的高为，截得棱台的原棱锥的高为，如图所示，即

因为四边形与四边形相似，且上下底面面积分别为4和9，

故，

由∽，故，故，

换作其他棱台答案也一样，

这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比为.

故答案为：

15．(本题5分)山楂冰糖葫芦是将可近似为球的山楂外围裹上冰糖浆凝固制成的，假设山楂大小均匀，直径均约为3cm，外层冰糖层均匀裹在山楂上，厚度在0.5cm左右，若有的冰糖浆，则大约可制作__________颗冰糖葫芦（取3，最后结果精确到整数）．

【答案】54

【分析】利用球的体积公式分别求出一个山楂涂上糖浆前后的体积，相减，进而得出结果.

【详解】一个山楂的体积为，

一个山楂涂上糖浆后的体积为，

所以一个山楂需要糖浆，

，

所以大约可制作54个冰糖葫芦．

故答案为：54.

16．(本题5分)把一个母线长为10cm的圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面积的比为1∶4，则圆台的母线长是______cm．

【答案】5

【分析】根据圆台的上、下底面积的比可得半径比，利用比例可得答案.

【详解】作出圆锥的轴截面如图，因为圆台的上、下底面积的比为1∶4，所以上、下底面圆的半径之比为1∶2，所以；

利用平行线截线段成比例，则，

因为圆锥的母线长为10cm，即，所以，

所以圆台的母线长是.

故答案为：5.

三、解答题(共70分）

17．(本题10分)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.

(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.

【答案】(1)答案见解析

(2)是；三棱柱BB1M－CC1N；四棱柱ABMA1－DCND1

【分析】根据棱柱的定义及结构特征可解答.

【详解】（1）该长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义．

（2）各部分形成的几何体还是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.

18．(本题12分)圆锥底面积为，母线与底面所的成角为，求它的体积．

【答案】

【分析】由圆锥底面积，可求得底面圆的半径，由母线，底面半径，高组成的直角三角形中求得圆锥的高，即可求得体积.

【详解】由圆锥底面积为，即，从而圆锥的高，

所以圆锥的体积为

故答案为：

19．(本题12分)某中学革命师生自己动手油漆一个直径为1.2米的地球仪，如果每平方米面积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数）

【答案】(克)

【分析】由球体表面积公式得到需油漆面积后可得答案.

【详解】(平方米)

则需油漆(克).

20．(本题12分)如图所示的几何体是圆柱的一部分，它由矩形ABCD的边AB所在的直线为旋转轴旋转得到的，.

(1) 求这个几何体的体积；

(2) 这个几何体的表面积.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求出矩形旋转一周所得圆柱的体积，根据几何体与圆柱体积比求其体积即可；

（2）分别求出几何体外侧曲面、上下底面、两个矩形的面积，进而加总即可得结果.

【详解】（1）由题设，若将矩形旋转一周所得圆柱的体积为，

其中为底面积，且，故，

因为几何体是矩形旋转得到，故几何体体积为.

（2）由题设，则几何体外侧曲面的面积为，

上下底面的面积和为，矩形的面积和为，

综上，几何体的表面积为.

21．(本题12分)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图．

【答案】见解析

【分析】根据三视图的定义，可得答案.

【详解】主视图如下图：

左视图如下图：

俯视图如下图：

22．(本题12分)长方体的体积为，是的中点，是上的动点，求四面体的体积．

【答案】.

【分析】因为是上的动点，且，可求出，再根据，即可求出四面体的体积.

【详解】设长方体的长、宽、高分别为，，，则有.

是的中点，所以，

因为是上的动点，且，所以，

所以.