专题二     不等式性质及应用

考点1：两个实数比较大小的方法

(1)作差法 (a，b∈R)        (2)作商法 (a∈R，b>0)

考点2：等式的基本性质

性质1 对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

性质3 可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；

性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.

考点2：不等式的基本性质

考点3 二次函数与一元二次方程、不等式

1、解一元二次不等式的方法和步骤

2、解含参数的一元二次不等式的步骤

3、一元二次不等式在R上恒成立的条件

(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；

(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；

(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足；

(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足.

注：①已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；

②已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．

③含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解．

设f(x)的最大值为M，最小值为m.

(1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m.

(2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M.

4、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题

(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；

(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.

具体如下：

设

（1）当时，上恒成立，

上恒成立

（2）当时，上恒成立

上恒成立

注：①。

②

6、给定参数范围求x范围的恒成立问题的解法

解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．

7、一元二次方程的根的分布问题

解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.

题型一 比较两个数(式)的大小

1.已知x∈R,M=2x2-1,N=4x-6,则M,N的大小关系是(　　)

A.M>N　　　　　　B.M<N

C.M=N　　　　　　D.不能确定

【答案】A　

【解析】由题意,M-N=2x2-1-(4x-6)=2x2-4x+5=2(x-1)2+3>0,因此M>N,故选A.

2.已知a1,a2∈{x|0<x<1},记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是(　　)

A.M<N　　　　　　B.M>N

C.M=N　　　　　　D.不确定

【答案】B　

【解析】由题意得0<a1<1,0<a2<1,∴M-N=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1)>0,故M>N.故选B.

3.比较大小:+　　　　2+(填“>”“<”或“=”). 

【答案】　>

【解析】　∵-=13+2-(13+4)

=2-4=2-2=2(-)>0,

∴>,

因此+>2+.

4.已知a>b>0,且c>d>0,则与的大小关系是　　　　. 

【答案】　>

【解析】　∵a>b>0,c>d>0,∴ac>bd>0,∴>>0,

∴>.

题型二 不等式的性质及其简单应用

4.若a>b,c<0,则下列不等式成立的是(　　)

A.ac2>bc2　　　　　　B.>

C.a+c<b+c　　　　　　D.a>b-c

【答案】A　

【解析】对于A,c2>0,a>b,则ac2>bc2,选项A成立;对于B,<0,a>b,则<,选项B不成立;对于C,a>b,则a+c>b+c,选项C不成立;对于D,若a=1,b=0,c=-2,则a<b-c,选项D不成立.故选A.

5.下列说法正确的是(　　)

①若|a|>b,则a2>b2;②若a>b,c>d,则a-c>b-d;③若a<b<0,c<d<0,则ac>bd;④若a>b>0,c<0,则>.

A.①④　　　　B.②③        C.③④　　　　 D.①②

【答案】C　

【解析】对于①,取a=0,b=-2,则a2<b2,①错误;对于②,取a=c=0,b=d=-1,则a-c=b-d,②错误;对于③,∵a<b<0,c<d<0,∴-a>-b>0,-c>-d>0,

∴ac>bd,③正确;对于④,∵a>b>0,∴>0,∴a·>b·,即>,又c<0,∴>,④正确.故选C.

6.在一次调查中发现甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系:甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同,丙、丁的阅读量之和大于甲、乙的阅读量之和,乙的阅读量大于甲、丁的阅读量之和.那么这四名同学中阅读量最大的是(　　)

A.甲　　　　　B.乙　　　　　C.丙　　　　　D.丁

【答案】C　

【解析】设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为x1,x2,x3,x4,

则x1≥0,x2≥0,x3≥0,x4≥0.

由甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同,可得x1+x3=x2+x4,①

由丙、丁的阅读量之和大于甲、乙的阅读量之和,可得x1+x2<x3+x4,②

由乙的阅读量大于甲、丁的阅读量之和,可得x2>x1+x4,③

②-①得x2-x3<x3-x2⇒2(x2-x3)<0⇒x2<x3,

②+①得2x1+x2+x3<x2+x3+2x4⇒x1<x4,

由③得x2>x1,x2>x4,

∴x3>x2>x4>x1,即阅读量最大的是丙.

故选C.

题型三 利用不等式的性质求代数式的取值范围

7.已知1≤a≤8,-2≤b≤3,则a-b的取值范围是(　　)

A.3≤a-b≤5　　　　　　B.-2≤a-b≤10

C.-2≤a-b≤5　　　　　　D.3≤a-b≤10

【答案】B　

【解析】因为-2≤b≤3,所以-3≤-b≤2,又1≤a≤8,

所以-2≤a-b≤10.故选B.

8.若x,y满足-1<x<y<1,则x-y的取值范围是(　　)

A.-2<x-y<0　　　　　　B.-2<x-y<2

C.-1<x-y<0　　　　　　D.-1<x-y<1

【答案】A　

【解析】∵-1<y<1,∴-1<-y<1,

又-1<x<1,∴-2<x-y<2.

∵x<y,∴x-y<0,∴-2<x-y<0,

故选A.

解题模板　不等式-1<x<y<1有三层意思:-1<x<1,-1<y<1,x<y,由此结合不等式的性质求解.

9.若3<x<4,2<y<3,则的取值范围是　　　　.

【答案】　1<<2

【解析】　由2<y<3,得<<,又3<x<4,∴×3<<×4,即1<<2.

题型四 解不含参数的一元二次不等式

10.不等式的解集是（       ）

A． B．

C． D．

【解析】

解得：.

故选：C.

11.不等式的解集是________．

【解析】由得，

，，

解得，

所以不等式的解集是.

故答案为：

12.解下列不等式：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5).

【解析】（1）由，可得，

解集为.

（2）由，可得或，

解集为或；

（3）由恒成立，故解集为R；

（4），整理得：，，

故不等式在实数范围内无解，不等式解集为：.

（5），可得或，

解集为或.

题型五 解不含参数的一元二次不等式

13.解不等式

【解析】由于的两个根为且，结合二次函数图象和性质，不等式的解集为.

14.若，则不等式的解集是（       ）．

A． B．

C． D．

【解析】由

可得或

则不等式的解集是

故选：D

15.设，则关于的不等式的解集是_________.

【解析】时，，且，

则关于的不等式可化为，

解得或，   所以不等式的解集为，，．

故答案为：

16.解关于的不等式.

【解析】①当时，原不等式可化为，解得；

②当时，原不等式可化为，解得；

③当时，原不等式可化为，

<i>当，即时，解得或；

<ⅱ>当，即时，解得或；

<ⅲ>当，即时，解得或.

综上所述，当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为.

题型六 分式不等式

17.不等式的解集为______________．

【解析】由，得，

所以或，

故不等式得解集为或．

故答案为：或．

18.与不等式同解的不等式是（       ）

A． B．

C． D．

【解析】，即，解得，

A项：，解得，不正确；

B项：，解得，正确；

C项：，即，解得，不正确；

D项：，解得，不正确，

故选：B.

19.不等式的解集为__________.

【解析】原不等式可化为，即，

所以解得.

故答案为：

题型七 绝对值不等式

20.设，则“”是“”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】由，可得，

∴“”是“”的充分而不必要条件.

故选：A.

21.已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【解析】因为，

所以.

故选：D.

22.不等式的解集为_________.

【解析】，，或，则不等式的解集为：或.

故答案为：或.

23.若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________.

【解析】由不等式，

当时，不等式的解集为空集，显然不成立；

当时，不等式，可得，

要使得不等式的一个充分条件为，则满足，

所以，即

∴实数a的取值范围是.

故答案为：.