【中职专用】高中数学 人教版2021·基础模块上册 5.1.2弧度制（教案）

5.1.2  弧度制

课  型

新授课

课  时

1

授课班级

授课时间

授课教师

教材分析

教材来源：“十四五”职业教育国家规划教材，人民教育出版社出版，高中一年级基础模块上册第五章；

教材内容：角的概念的推广及其度量、任意角的三角函数、三角函数的图象和性质；

地位与作用：本章内容为高中一年级基础模块上册第五章，系学生高中数学的重点内容，高考中的必然考查部分，难度适中，主要学习角的概念的推广及其度量、任意角的三角函数、三角函数的图象和性质.通过本章内容学习，学生应初步掌握任意角三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式、倍角公式、函数y=f(sinx)的最值、正弦型函数图象和性质及定理的应用.

学情分析

1. 14~16岁年龄段学生身心都有较大程度发展，情感更加丰富，认知发展变化迅速，逻辑思维、记忆能力逐步提高；
2. 通过弧度制学习，理解角度制、弧度、弧度制的概念，理解角的度量的常用方法，掌握弧度制与角度制的换算关系，明确角的集合与实数集R之间建立的一种一一对应关系；
3. 职教高考学生在初中学业水平偏弱，因此在本节课教学中需通过复习初中所学角度制的概念，引出数学和其他科学研究中常用另一种角的度量制度——弧度制，使同学们掌握弧度制与角度制的换算关系.

学习目标

1. 理解角度制、弧度、弧度制的概念，理解角的度量的常用方法；
2. 学生运用分组探讨、合作学习，掌握弧度制与角度制的换算关系，明确角的集合与实数集R之间建立的一种一一对应关系，提高学生的数学运算能力；
3. 通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质。

学习重难点

1. 理解角度制、弧度、弧度制的概念，理解角的度量的常用方法；
2. 掌握弧度制与角度制的换算关系；
3. 明确角的集合与实数集R之间建立的一种一一对应关系.

教学方法

讲授法、谈话法、谈论法

课前准备

教师：认真备课，设计教学方法，创设问题情境，做好授课过程中出现的突发状况预案；

学生：认真预习教材，标记预习中不清楚、模糊的知识点，准备笔记本；

教学媒体

教学课件PPT、多媒体展板

教学过程

第一课时

教学环节

教师活动设计

学生活动设计

设计意图

活动一：

创设情境

生成问题

问题导入：我们知道，把一圆周360等分，则其中1份所对的圆心角是1度角.这种用度作单位来度量角的制度称为角度制.由此可看到，在同一圆内，角是用它对的圆弧来度量的，角的大小与它所对的圆弧长成正比，弧长扩大几倍，则这段弧所对的角也相应地扩大相同的倍数．

下面我们来介绍在数学和其他科学研究中常用的另种度量角的制度一弧度制．

根据问题思考，

并尝试利用初中所学知识解答。

通过创设问题情境，使学生回忆初中所学知识，并引出本节课所讲内容。

活动二：

调动思维

探究新知

问题情境:

角度制的度量单位是度，那么弧度制的度量单位是什么呢？

我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度

的角.例如，设的长等于半径 r ,所对的圆心角就是1弧度的角（图5-7)，记作1rad.

于是长为的弧所对的圆心角（正角）

.

拓展延伸

观察图5-7，几个大小不同的同心圆，虽然同一圆心角所对弧长与半径都不相等，但弧长与半径长成正比例，即它们的比值相等，这表示弧长与半径的比值，与半径长无关，而只与的大小有关，这就启示我们用圆的半径作单位长去量弧．

我们知道，圆周长l=2πr，因此，

周角==2πrad .

平角=πrad ，

直角=rad .

探索研究

平角等于180，且平角等于πrad ，由此你知道角度制与弧度制的换算关系了吗？

πrad =180°；

      1rad=；

由此，容易得到弧度制与角度制的换算关系：

设一个角的弧度数为，角度为n°（分和秒都要先转换为度表示），则

利用上面的公式，我们就可按要求的精确度，把任意角的角度值换算为它的弧度值或把任意角的弧度值换算为它的角度值．

角的概念推广以后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（角度数或弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应.

拓展延伸

在理解角的集合与实数集R之间的对应关系时，应注意角度制是60进位制，遇到如35°6’这样的角，应把它化为10进制的数值35.1°，但是弧度制不存在这个问题，弧度数是十进制的实数，这是角度制与弧度制的一个重要区别．

分组讨论，尝试概括问题情境中问题，理解弧度的相关概念，掌握弧度制与角度制的换算法则

认真习读并理解教材中“拓展延伸”中的内容，理解圆弧的另一种度量方法

认真习读并理解教材中“探索研究”中的内容，掌握弧度制与角度制的换算关系

认真习读并理解教材中“探索研究”中的内容，理解角的集合与实数集R之间的对应关系

通过分组讨论方法，解答问题情境问题，理解弧度的相关概念，掌握弧度制与角度制的换算法则

，有利于提高学生动手动脑能力，使学习效率更高效

活动三：

巩固练习

素质提升

例 1. 把67°30′化成弧度.

解   ,

     .

例2  把弧度化成度.

解    .

例3   使用函数型计算器，把下列度数化为弧度数或把弧度数化为度数（精确到小数点后2位数）:

(1)    67°,-86°；(2)1.2rad，-3.5rad.

解  (1）先将计算器置于RAD（以弧度为单位）的计算状态再求解：

所以67°≈1.17rad.

所以-86°≈1.50rad.

(2）先将计算器置于DEG（以度为单位）的计算状态再求解：

所以1.2rad≈68.75°.

所以-3.5rad≈-200.54°.

一些常用特殊角的度数与弧度数的对应值，列表如下：

由于角有正负，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.

这种用“弧度”做单位来度量角的制度称为弧度制.今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字通常略去不写，例如等于2就表示是2弧度的角.

由弧度的定义，我们知道弧长l与半径r的比值等于所对圆心角的弧度数（正值）（图5.8)，即

.             ①

①式中是弧度制下的弧长计算公式.

例4  如图5-9所示，所对的圆心角是60°，半径为5cm ，求的长l（精确到0.1 cm ).

解   在因为60°=，所以

.

即的长约为5.2cm.

例5  利用弧度制证明扇形的面积公式，其中R是扇形的半径，(0＜＜2π）为圆心角，1是扇形的弧长，S是扇形的面积.

证明  因为半径为R，圆心角为n°的扇形的孤长公式和面积公式分别是

将n°转换为弧度，得于是.

将代入上式，即得.

分组讨论，限时完成，学生上台黑板作答，并进行讲解

鼓励学生勇于展示自己，提高学生对知识的准确认识，调动学生的课堂气氛与学习的积极性，培养学生对数学的热爱，巩固学生对本节课知识的掌握，纠正学习过程中的偏差

活动四：

课堂小结作业布置

（一）课堂小结

（二）作业布置

完成课本中P151  ——   A组1. /2./3.

B组1./2.

活动五：

板书设计

5.1.2 弧度制

一、角度制的概念                                       例题                 小结  

二、弧度与弧度制                                       练习                 作业

三、弧度与弧度制换算

活动六：

教学反思

（留白）

教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。